ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Loi de composition interne :    

Étant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), toute application de E × F (produit cartésien de E par F) vers G est appelée loi de composition de E × F à valeurs dans G. On parle de loi de composition interne (ou simplement de loi interne) dans E lorsque E = F = G. Il s'agit donc alors d'une application de E × E dans E.

Soustraction et division dans un groupe :  »

Loi de composition externe (également dite action) :    

On parle de loi de composition externe (ou simplement loi externe) dans E (ou à valeurs dans E) dans le cas d'une application de F x E dans E. Une telle loi est aussi appelée action de F sur E dont F est le domaine d'opérateurs ou de multiplicateurs. On parlera plus précisément d'une loi externe à gauche, le domaine d'opérateurs F s'écrivant en premier. Par exemple :

»  Groupes , Anneaux & corps , Espaces vectoriels & algèbres

    Dans le cas général, et tout particulièrement en topologie et analyse fonctionnelle, on appelle opérateur toute application entre deux espaces de même nature.

Groupe opérant sur un ensemble (action de groupe) :  »

Pour simplifier, on donne un nom et une notation pour désigner une loi de composition : si c est l'image du couple (a,b) par la loi de composition notée T, on note c = a T b. Lorsque la loi s'apparente à une multiplication on la note souvent * (astérisque). L'appellation opération est généralement utilisée et réservée pour les lois de composition interne.

Magma, commutativité, centre, associativité, monoïde :

Un ensemble E muni d'une opération T est appelé magma et est noté (E,T). Un magma (E,T) est une structure algébrique élémentaire. Il existe des structures plus subtiles dans lesquelles un ensemble est muni de plusieurs lois :

Structures algébriques usuelles :  »

Si, pour tout couple (x,y) d'éléments de E, on a xTy = yTx, la loi T est dite commutative. (E,T) est dit commutatif. Cette importante propriété de commutativité fut prouvée par Euclide pour la multiplication des nombres usuels (Livre VII, proposition XVI) :

Si deux nombres se multipliant l'un l'autre en produisent d'autres, les nombres produits seront égaux entre eux.

 i   Les qualificatifs commutatif et distributif apparaissent pour la première fois, en 1815 dans un article du mathématicien et officier d'artillerie français François-Jospeh Servois (1768-1847), publié dans les Annales de Gergonne.

Dans un magma (M,*), on appelle centre, la partie C des éléments qui commutent avec tout élément de M :

C = {c∈M, ∀ x∈M : c*x = x*c}

Un élément tel que c est dit central.

Associativité, monoïde :    

Si, pour tout triplet (x,y,z) d'éléments de E, on a (x T y) T z = x T (y T z), la loi T est dite associative. Le magma (E,T) est dit associatif. Dans un tel magma, les parenthèses sont facultatives.

Un magma associatif est aussi appelé monoïde (anciennement demi-groupe) et, suivant les auteurs, on peut exiger qu'il admette un élément neutre (» ci-après) : magma associatif unifère.

Lorsque la loi T est associative, on peut écrire une suite d'éléments composés en omettant les parenthèses et en calculant les composés intermédiaires afin de simplifier l'écriture (si possible), à condition de NE PAS CHANGER l'ordre des éléments de cette suite.

Partie stable d'un magma :

Soit A une partie non vide d'un magma (E,*). On dira que A est stable pour la loi * ou que A est une partie stable de E (lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la loi en cause) si la restriction à A de la loi * est une loi de composition interne dans A. Autrement dit :

A⊂E, A stable pour la loi * ⇔∀(a,b)∈A × A , a * b∈A

On parle de loi induite dans A par celle de E.


Prouver que le centre C (supposé non vide) d'un monoïde M est une partie stable : si c et c' sont dans C, alors c*c' aussi.

Élément neutre, magma unifère :

Un élément e de E vérifiant x T e = e T x = x pour tout x de E est dit neutre pour la loi T. Le magma (E,T) est dit unifère.

Un élément e de E vérifiant x T e = x (resp. e T x = x) pour tout x de E est dit neutre à droite (resp. à gauche). Par définition, un élément neutre doit l'être à droite et à gauche (bilatère).

 !   Un magma non commutatif peut admettre plusieurs éléments neutres d'un "même côté".


Montrer que si un magma admet au moins deux éléments neutres d'un même côté, il ne peut admettre un élément neutre (tout court).

Un magma ne peut admettre un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite distincts. Voici deux résultats certes bien évidents mais importants, permettant par ailleurs de faciliter la recherche d'un élément neutre :

Théorème 1 :   

Dans un magma (E,T) quelconque, un élément neutre, s'il existe est unique.

Preuve : en supposant l'existence de deux éléments neutres e et e', il suffit d'appliquer la définition d'un élément neutre pour constater que l'on a e T e' = e' ainsi que e T e' = e, donc e = e'.

Corollaire :   

Un élément à la fois neutre à gauche et à droite est unique : c'est l'élément neutre du magma.

     On parle également d'élément unité au lieu d'élément neutre mais cette appellation est ambiguë eu égard aux éléments unités d'un anneau désignant les éléments inversibles de l'anneau (admettant un symétrique pour la seconde loi).

Élément symétrisable, symétrique :

Dans un magma unifère (E,T) d'élément neutre e, un élément x est dit symétrisable :

Lorsque l'élément est symétrisable à gauche et à droite (bilatère) et si x' = x", on a alors :

x' T x = x T x' = e

Dans ce cas, x et x' sont dits symétriques pour la loi T de E. On dit aussi que x' (resp. x) est un symétrique de x (resp. x'). Lorsque la loi T s'interprète come une multiplication, on parle plutôt d'éléments inversibles et d'inverses.

Groupe multiplicatif :  »          Anneaux et corps :  »

Si la loi T est commutative, les notions de symétrique à droite, symétrique à gauche et symétrique coïncident. L'élément neutre e est son propre symétrique, que la loi soit commutative ou non : c'est un élément involutif.

 !   Lorsque la loi n'est pas associative, un symétrique, lorsqu'il existe, peut ne pas être unique :

Théorème 2 :    

lorsque la loi T est associative :

  1. Si x admet un symétrique, ce symétrique est unique;

  2. Si x et y sont symétrisables, alors xTy est symétrisable et son symétrique est y'Tx' (ordre inversé ).

Preuve : supposons l'existence de deux symétriques x' et x" pour l'élément x : xTx' = e ⇒  x"(xTx') = x"Te. Par associativité, il vient : (x"Tx)Tx' = x". Mais x"Tx = e, donc x' = x". Maintenant si x et y admettent un symétrique, on aura (y'Tx')T(xTy) =  y'T(x'Tx)Ty = (y'Te)Ty = yTy = e.

 !   Le théorème 2.1 parle de symétrique, non pas de symétrique unilatéral à gauche ou bien à droite :

Théorème 3 :    

lorsque la loi T est associative :

  1. Si x et xTy sont symétrisables, alors y et yTx le sont aussi (résultat analogue si y au lieu de x est symétrisable)

  2. Deux éléments distincts et symétrisables admettent des symétriques distincts.

Preuve : x' désignant le symétrique de x, on peut écrire y = (x'Tx)Ty = x'T(xTy). L'élément y apparaît ainsi comme composé de deux éléments symétrisables; on applique alors le théorème 2.2. Concernant 3.2, un raisonnement par l'absurde conduit facilement au résultat énoncé.

Structure de groupe :  »                  Homomorphisme de groupe :  »

Élément régulier (ou simplifiable) :

Dans un magma (E,T) , un élément x est dit régulier (ou simplifiable) à gauche pour la loi T lorsque :

pour tout couple (a,b) d'éléments de E tels que x T a = x T b, alors a = b

On définit de même un élément régulier à droite. Un élément est dit régulier s'il est régulier à droite et à gauche. Si T est commutative, les notions d'élément régulier à gauche ou à droite coïncident.

   Dans le cas d'une loi externe * de domaine d'opérateurs K :

  1. Dans (N, +), tout élément est régulier et dans (N, ×), tout élément non nul est régulier.
    - Par exemple, dans l'équation x + 3 = 4, on peut écrire x + 3 = 1 + 3, donc x = 1.
    - Dans l'équation 6x = 9, on peut écrire 3 × (2 × x) = 3 × 3, donc 2x = 3.
  2. Dans (Z, *), avec a * b = | a | + b, tout élément est régulier à gauche mais non à droite.
  3. Dans (Z, *), avec a * b = | a - b |, on a 3*4 = 3*2 mais 4 ≠ 2.
  4. Dans (Z/6Z), anneau des classes résiduelles modulo 6, l'élément 2, classe de 2,  n'est pas régulière : 2 × 4 = 2 × 1 mais 4 1.
  5. Dans un anneau un élément x non nul et non simplifiable est un diviseur de zéro. En effet, l'égalité xa = xb peut s'écrire
    xa - xb = 0, soit x(a - b) = 0. Donc, si a est distinct de b, x est un diviseur de zéro (ainsi que a - b).
  6. Dans un espace vectoriel (E,+,.), tout vecteur est simplifiable dans (E,+) et tout vecteur non nul est simplifiable (à droite) dans (E,.)


Soit E l'ensemble des fonctions numériques indéfiniment dérivables.
à tout couple (n,f) de N × E, on associe f (n), fonction dérivée n-ème de f, avec f (o)= f.
Notons n & f = f (n). On définit ainsi une loi externe dans E dont le domaine d'opérateurs est N.
a) Montrer que x → sin(x) n'est pas simplifiable.
b) Soit  f : x → 2x3 - 7x + 6 et  g : x → 2x3 + x2 -1. L'entier 3 n'est pas régulier : 3 & f = 3 & g alors que f ≠ g.

Théorème 3 :    

Dans un magma associatif :

  1. le composé de deux éléments simplifiables à gauche (resp. à droite) est simplifiable à gauche (resp. à droite).
  2. si le magma est unifère, tout élément symétrisable à gauche (resp. à droite) est simplifiable à gauche (resp. à droite)

Preuve : 1) Notons T la loi du magma. Supposons x et y simplifiables à gauche et supposons l'égalité (xTy)Ta = (xTy)Tb.  Par associativité : xT(yTa) = xT(yTb); on peut simplifier par x à gauche : yTa = yTb; on peut maintenant simplifier par y à gauche : a = b. On raisonnerait de même à droite. 2) Supposons maintenant le magma unifère; soit e son élément neutre, et x' un symétrique à gauche de x vérifiant donc x'Tx = e  et supposons l'égalité xTa = xTb. En composant par x' à gauche et utilisant l'associativité, on obtient a  = b.


Dans
F(E) où E désigne un ensemble quelconque non vide, les éléments simplifiables sont les éléments symétrisables (bijections).
Plus précisément, les surjections (resp. les injections)  sont simplifiables à droite (resp. à gauche) : » exercice 8a, 8b

Corollaire :    

Tout élément d'un groupe (G,*) est simplifiable

Preuve : vu que la loi de groupe * est associative et que tout élément x admet un symétrique x', si x * a = x * b, alors, en composant à gauche par x', e désignant l'élément neutre de G : (x' * x) * a = (x' * x) * b, donc e * a = e * b, soit a = b. La régularité à droite s'obtiendrait de même.


Dans 
l'
anneau des matrices carrées réelles d'ordre 2, une matrice non inversible n'est pas régulière pour la multiplication. Vérifier que :

Théorème 4 (voir la preuve ici) :   

Dans un anneau intègre, tout élément non nul est simplifiable pour la multiplication

 !   Si le magma n'est pas associatif, rien n'est assuré :

Différence et différence symétrique de deux ensembles :  »

Loi produit :

On considère deux magmas (E,T) et (F,T'). On peut définir dans E × F la loi de composition interne T" dite loi produit de T et T' par :

(a, b) T" (c, d) = (aTc, bT'd)

Un cas particulier élémentaire est l'addition des couples de R2 correspondant à l'addition des vecteurs du plan rapporté à une base : E = F = R, T et T' désignent l'addition usuelle, T" est l'addition vectorielle, notée également + :

Si v(a,b) et w(c,d), alors v + w est le vecteur s(a + c, b + d)

Demi-groupe, semi-groupe, symétrisation :

L'appellation demi-groupe fut utilisée par Dubreil dans la théorie qu'il développa en 1941 (Contribution à la théorie des demi-groupes) pour désigner un monoïde, ensemble muni d'une loi interne associative. On désigne aujourd'hui par semi-groupe un magma associatif, commutatif et unifère (E,T), d'élément neutre e dans lequel tout élément est régulier.


Montrer que muni du pgcd, l'ensemble N des entiers naturels est un semi-groupe commutatif unifère

Tout semi-groupe (E,T) peut être symétrisé, en ce sens que l'on peut construire un groupe G dans lequel E s'identifiera à un sous-ensemble et dont sa loi T apparaîtra comme induite par celle de G. Pour ce faire on définit dans E × E la relation R :

(a,b) R (a',b')  ⇔ a T b' = b T a'

Théorème 5 :    

La relation R est une relation d'équivalence dans E × E compatible avec la loi produit de E × E. On peut donc munir l'ensemble quotient G = (E × E)/R, ensemble des classes d'équivalence, de la loi quotient T définie par Cl(a,b) T Cl(a',b') = Cl(aTa', bTb'). Ainsi muni de la loi T, (G,T) est un groupe commutatif d'élément neutre Cl(e,e); le symétrique dans G de Cl(a,b) est Cl(b,a) et tout élément a de E s'identifie à Cl(a,e) dont le symétrique dans (G,T) est Cl(e,a).

Preuve : L'élément neutre de G est la classe de (e,e); en effet Cl(e,e) T Cl(a,b) = Cl(eTa,eTb) = Cl(a,b); idem à gauche puisque T est commutative. Noter que la classe de (e,e) est la diagonale de E × E, ensemble des couples (a,b) tels que a = b car (e,e) R (a,b) signifie eTb = eTa. Cl(a,b)T Cl(b,a)= Cl(aTb, bTa)= Cl(aTb, aTb)= Cl(eTe); Cl(a,e)T Cl(e,a)= Cl(aTe, eTa)= Cl(aTa)= Cl(eTe).

Un exemple concret est la symétrisation du magma additif (N,+) des entiers naturels conduisant à Z :

Construction de (Z,+) groupe des entiers relatifs par symétrisation de (N,+) : »        Construction de Q : »

Théorème 6 :    

Avec les notations précédentes :

Le groupe (G,T) peut être ordonné au moyen de la relation ≤ définie par : ∀ a ≤ b ssi b T a' ∈ E

Preuve : L'élément neutre de G est la classe de (e,e); en effet Cl(e,e) T Cl(a,b) = Cl(eTa,eTb) = Cl(a,b); idem à gauche puisque T est commutative. Noter que la classe de (e,e) est la diagonale de E × E, c'est dire l'ensemble des couples (a,b) tels que a = b car (e,e) R (a,b) signifie eTb = eTa, c'est à dire a = b

Théorème 7 :    

Tout semi-groupe fini est un groupe (J. A. de Seguier, 1904)

Preuve : il suffit de montrer que tout élément ei d'un semi-groupe E = {e, e1, e2, ..., ep} de loi T, d'élément neutre e, admet un symétrique. Considérons l'équation eiTx = ek; si une solution existe, elle est unique car eiTx = eiTy implique x = y par régularité. Considérons maintenant l'ensemble des eiTx lorsque x décrit E; selon l'unicité, tous ces composés sont distincts deux à deux; il en existe donc un unique tel que eiTx = e : x est l'unique symétrique de ei dans E.

Élément absorbant :

Un élément u de E vérifiant x T u = u T x = u pour tout x de E est dit absorbant pour la loi T. Lorsque T n'est pas commutative, on parle aussi d'élément absorbant à gauche (u T x = u) ou à droite (x T u = u).


Dans (F(R),o), où o désigne la
loi de composition des applications, l'application nulle n'est absorbante qu'à gauche.
Qu'advient-il si on se restreint aux applications linéaires de la forme f(x) = ax ?

Élément involutif, élément idempotent, nilpotent :

Dans un magma unifère (E,*) d'élément neutre e, un élément x de E vérifiant x * x = e est dit involutif pour la loi * : x est son propre symétrique.

Un élément x de (E,*) vérifiant x * x = x est dit idempotent (de "même puissance").

 
1. Dans R2, on considère les applications f : (x,y)
→ (x + 2y,3y) et g : (x,y) → (-4x + y,4x - y).
Montrer par un contre-exemple que ni f et ni g ne sont idempotentes. Prouver cependant que f o g et g o f  le sont.
2a. Montrer que si deux fonctions f et g commutent (f o g et g o f ) et sont idempotentes, alors f o g et g o f sont idempotentes.
2b.
Dans F(R), on considère f : x → |x| et g : x → E(x), partie entière de x (= n, n ∈ Z, tel que n ≤ x < n+1)
Vérifier que f et g sont idempotentes, ne commutent pas, mais f o g et g o f sont idempotentes.

»  Burnside et groupe d'exposant fini

Dans un anneau (A,+,*) d'élément nul 0, élément neutre du groupe additif (A,+), un élément x de A vérifiant x * x = 0 est dit nilpotent (pour signifier de puissance nulle).

    Pour en savoir plus sur ces deux dernières notions, et en particulier l'idempotence et le nilpotence d'ordre k, on se reportera à la page consacrée au mathématicien américain Benjamin Peirce, à qui l'on doit ce vocabulaire.

Distributivité d'une loi sur une autre :

 i   Les qualificatifs commutatif et distributif apparaissent pour la première fois, en 1815 dans un article du mathématicien et officier d'artillerie français François-Jospeh Servois (1768-1847), publié dans les Annales de Gergonne.

Lorsqu'un magma E est muni de deux lois internes T et *, on dit que la loi * est distributive à gauche (resp. à droite) sur (ou par rapport à) la loi T si, pour tout triplet (a,b,c) d'éléments de E :

a * (b T c) = (a * b) T (a * c)   resp. : (a T b) * c = (a * c) T (b * c)

Exemples, structure d'anneau : »

[f o ( g + h)](x) = f[(g + h)(x)] = f[g(x) + h(x)] = f(g(x)) + f(h(x)) = (f o g)(x) + (f o h)(x).  CQFD

Distributivité mixte :    

Lorsque E désigne un ensemble muni de deux lois dont l'une est interne, ici notée T et l'autre externe, ici notée •, dont le domaine de multiplicateurs est K, la loi •est dite distributive sur (ou par rapport à) la loi T pour exprimer que :

∀ k∈K,  ∀ (a,b)∈E2 ,  k •(aTb) = (k •a) T (k •b)

Relation compatible avec une loi de composition interne, relation régulière :

Lorsque qu'un magma (E,T) est muni d'une relation binaire (par exemple un ordre, une relation d'équivalence) notée ici , on dit que la relation est compatible avec la loi T si :

∀ (a, b, a', b') ∈E4 :  a a'  et b b'  ⇒ (a T b) (a' T b')

On dit aussi que la relation respecte la loi T.

Une relation vérifiant :

∀ (a, b, b') de E3 : b b' ⇒ (a T b) (a T b')

est dite régulière à gauche pour la loi T. On définirait de façon similaire la régularité à droite. La relation sera dite régulière si elle est régulière à gauche et à droite.

Théorème 8 :    

Une relation binaire réflexive et transitive dans (E,T) est compatible avec la loi T si et seulement si elle est régulière.

Preuve :  Supposons la relation compatible avec T et b b'. étant réflexive, a a pour tout a; d'où (a T b) (a T b') par compatibilité. Donc est régulière à gauche. On montrerait de même, en composant à droite par a que est régulière à droite. Inversement, supposons régulière,  a a' et b b' : on aura (a T b') (a' T b') par régularité à droite et (a T b) (a T b') par régularité à gauche. D'où (a T b) (a' T b') par transitivité.

Lorsque la loi T est commutative, on peut limiter le raisonnement à une régularité à gauche ou à droite :


Lorsque la loi T est commutative et
la relation réflexive et transitive, montrer que sera compatible avec T
si et seulement si elle est régulière à gauche (ou à droite). 

   Ces résultats voient leurs applications dans le cas d'une relation d'ordre et, plus particulièrement, d'une relation d'équivalence pour la construction d'ensembles à partir de ses classes d'équivalence :

Classes d'équivalence et loi quotient :  »


Quelques exercices non corrigés 

1. Montrer que le magma (Z,*) avec a * b = 2a - b + 1

2. Dans (N,T), on pose :

3a. Montrer que dans le magma (N,T) avec a T b = a + Min(a,b), il existe un élément absorbant à gauche et neutre à droite.

3b. Montrer que dans un magma non réduit à un seul élément (singleton), un élément ne peut être neutre et absorbant d'un même côté.

3c. On considère l'ensemble F des applications de R dans R nulles en 0. On munit F de la loi de composition des applications. Montrer que (F,o) est un magma dans lequel l'application nulle est absorbante.

4. Montrer que dans un magma non réduit à un seul élément (singleton), il ne peut exister un élément absorbant à gauche distinct d'un élément absorbant à droite.

5. On munit R2 de la "multiplication" : (a,b) x (a',b') = (aa',bb'). On appelle D la "droite" constituée des couples de la forme (a,0) lorsque a décrit R.

6 Dans F(E), ensembles des applications de E vers E, vérifier que la loi de composition des applications est associative.

7a.  On considère l'ensemble R+ des nombres réels positifs muni de la loi de composition interne T définie par aTb = |ab - a - b|.

» Moralité : dans un magma unifère non associatif, deux éléments symétrisables peuvent admette un composé non symétrisable (» th. 2.1).

7b.  Dans le magma unifère (F(R),o), on considère les fonctions ainsi définies : d'une part f(x) = x - 1 si x < 0, f(x) = x + 1 sinon; d'autre part g(x) = x + 3 si x ≤ - 1, g(x) = x si -1 < x < 1, g(x) = x + 1 si x ≥ 1.

» Moralité : dans un magma unifère, deux éléments non symétrisables peuvent admette un composé symétrisable.
Noter que (f o g)(-7/2) = (f o g)(1/2) : f o g n'est donc pas bijective.

8a. 1°) Montrer que dans (F(E),o), où o désigne la loi de composition des applications avec Card E > 1, les éléments simplifiables sont les bijections de E. 2°) Vérifier que toute surjection est simplifiable à droite, alors qu'une injection est simplifiable à gauche.
Indic. : selon le théorème 3, toute bijection est simplifiable puisque symétrisable dans un magma associatif et unifère. Inversement, si f est surjective, alors pour tout y de E, il existe (au moins) un x de E tel que y = f(x). Notons Ey l'image réciproque de y par f , c'est à dire l'ensemble des x de E tels que y = f(x). Construisons g de E vers E en posant g(y) = x, x étant choisi dans Ey. Vérifier que g est un symétrique à droite de f pour la loi o. Noter que si f n'est pas bijective, l'application g est a priori non unique. Si f est injective, on procède de même en construisant g de f(E) vers E; g est alors un symétrique à gauche de f pour la loi o.

8b. Inversement, vérifier que si f est simplifiable à gauche (resp. à droite), alors f est injective (resp. surjective).
Indic. : supposons f simplifiable à gauche. E ayant au moins deux éléments, supposons que f(a) = f(b). Définissons g et h par g(x) = a et h(x) = b pour tout x de E. On a f o g = f o h, donc g = h. Conclure.
Supposons maintenant f simplifiable à droite. Si f est non surjective, il existe un élément a de E tel que f(x) ≠ a pour tout x de E (E a au moins deux éléments). Posons alors h(x) = x si x≠a et h(a) = b avec b≠a. On a h o f = f, donc h o f = idE o f. Conclure.

9. Montrer que si, dans un groupe G, tout élément est involutif, alors ce groupe est commutatif.  » structure de groupe


   Pour en savoir plus :


© Serge Mehl - www.chronomath.com