ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Loi de composition interne :    

Étant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), toute application de E × F (produit cartésien de E par F) vers G est appelée loi de composition de E × F à valeurs dans G. On parle de loi de composition interne (ou simplement de loi interne) dans E lorsque E = F = G. Il s'agit donc alors d'une application de E × E dans E.

• Dans N, ensemble des entiers naturels et dans Z, ensemble des entiers relatifs, l'addition et la multiplication sont des lois de composition internes.

• La soustraction n'est pas une loi de composition interne dans N : par exemple, 2 - 3 n'est pas un entier naturel; 
  Cependant la soustraction en est une dans Z, Q (nombres rationnels) et R (nombres réels).

• La division n'est pas une loi interne dans N* : par exemple, 2 ÷ 3 n'est pas un entier naturel;
  Cependant elle en est une dans Q*, ensemble des nombres rationnels non nuls p/q, p et q entiers relatifs, p ≠ 0 car a/b ÷ c/d = ad/bc∈Q*.

Soustraction et division dans un groupe : »

Loi de composition externe (également dite action) :    

On parle de loi de composition externe (ou simplement loi externe) dans E (ou à valeurs dans E) dans le cas d'une application de F x E dans E. Une telle loi est aussi appelée action de F sur E dont F est le domaine d'opérateurs ou de multiplicateurs. On parlera plus précisément d'une loi externe à gauche, le domaine d'opérateurs F s'écrivant en premier. Par exemple :

• Dans le cas de la loi externe d'un espace vectoriel, F est un corps, appelé corps de scalaires. Lorsque F = R, on parle de multiplication d'un vecteur par un nombre réel : il s'agit de l'application de R x E dans E qui à (α,u) associe αu.

• La multiplication par un réel des vecteurs d'un plan euclidien P est une loi externe dans P : si u = AB en est un vecteur, 2u = AC est l'image de u dans l'homothétie de centre A, de rapport 2.

»  Groupes , Anneaux & corps , Espaces vectoriels & algèbres

 ➔   Dans le cas général, et tout particulièrement en topologie et analyse fonctionnelle, on appelle opérateur toute application entre deux espaces de même nature.

Groupe opérant sur un ensemble (action de groupe) : »

Pour simplifier, on donne un nom et une notation pour désigner une loi de composition : si c est l'image du couple (a,b) par la loi de composition notée T, on note c = a T b. Lorsque la loi s'apparente à une multiplication on la note souvent * (astérisque). L'appellation opération est généralement utilisée et réservée pour les lois de composition interne.

• L'addition (notée +) et  la multiplication (notée ×) des entiers naturels sont des opérations dans N.

• La soustraction dans N n'est pas une loi de composition interne bien qu'elle fasse partie des quatre opérations élémentaires apprises à l'école. En effet, la méconnaissance des entiers relatifs interdit une soustraction comme 3 - 4 = -1 ∉ N.

Considérons un anneau (A, ⊕, ⊗); sa loi de groupe ⊕ est commutative; on s'intéresse donc dans ce cas à sa "multiplication" ⊗ : le centre de l'anneau A est le centre de (A, ⊗).

• On peut reprendre l'exemple 2 précédent en remarquant que (L(E), +, o) est un anneau; son centre est (L(E), o).

∗∗∗
Prouver que le centre (C, ⊕, ⊗) d'un anneau (A, ⊕, ⊗) est un sous-anneau commutatif de A

Un magma ne peut admettre un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite distincts. Voici deux résultats certes bien évidents mais importants, permettant par ailleurs de faciliter la recherche d'un élément neutre :

Théorème 1 :   

Preuve : en supposant l'existence de deux éléments neutres e et e', il suffit d'appliquer la définition d'un élément neutre pour constater que l'on a e T e' = e' ainsi que e T e' = e, donc e = e'.

Corollaire :   

•  !   Attention, piège ! s'il s'avère que pour un certain a, a T b = b T a = a, cela signifie nullement que b est neutre : dans l'anneau Z/4Z = {0', 1', 2', 3'} des classes résiduelles modulo 4, on 2' × 3' = 3' × 2' = 2' car 6 = 2 [4], mais 3' n'est pas l'élément neutre de la multiplication !

 ➔    On parle également d'élément unité au lieu d'élément neutre mais cette appellation est ambiguë eu égard aux éléments unités d'un anneau désignant les éléments inversibles de l'anneau (admettant un symétrique pour la seconde loi).

 !   Lorsque la loi n'est pas associative, un symétrique, lorsqu'il existe, peut ne pas être unique :

• Rappel : la partie entière E(x) d'un nombre est ainsi définie : si n ≤ x < n + 1, n entier relatif (élément de Z), alors E(x) = n. Montrer que dans le magma (Z,*) avec a * b = E(ab/6), E désignant la fonction partie entière, 6 est neutre et l'entier 2 admet trois symétriques. Ce magma est-il associatif ?  ☼

• Voici un exemple de magma associatif et unifère dans lequel un élément peut admettre deux symétriques à gauche : on considère l'ensemble F(N) des fonctions de N dans lui-même muni de la loi de composition des applications. Soit f : n → 2n, g : n → E(n/2), h : n → n si n impair, n/2 sinon. Notons i l'application identique de N, à savoir n → n. Vérifier que g o f = h o f = i : f admet ainsi deux symétriques à gauche. Selon 2.1, f ne peut donc pas admettre un symétrique à droite. En d'autres termes f n'est pas bijective (elle est clairement injective, non surjective).

• Toujours dans F(N), considérer f : n → 2n + 1 et g(n) = (n - 1)/2 si n impair, 0 sinon. Vérifier que g est un symétrique à gauche de f mais pas à droite; par exemple (f o g)(2) = f(0) = 1 ≠ 2.

• Si une loi n'est pas associative, le composé de deux éléments symétrisables peut ne pas être symétrisable : » exercice 7a

• Le composé de deux éléments non symétrisables peut être symétrisable : » exercice 7b

Théorème 3 :    

lorsque la loi T est associative :

1. Si x et xTy sont symétrisables, alors y et yTx le sont aussi (résultat analogue si y au lieu de x est symétrisable)

2. Deux éléments distincts et symétrisables admettent des symétriques distincts.

Preuve : x' désignant le symétrique de x, on peut écrire y = (x'Tx)Ty = x'T(xTy). L'élément y apparaît ainsi comme composé de deux éléments symétrisables; on applique alors le théorème 2.2. Concernant 3.2, un raisonnement par l'absurde conduit facilement au résultat énoncé.

Dans un magma (E,T) , un élément x est dit régulier (ou simplifiable) à gauche pour la loi T lorsque :

On définit de même un élément régulier à droite. Un élément est dit régulier s'il est régulier à droite et à gauche. Si T est commutative, les notions d'élément régulier à gauche ou à droite coïncident.

 ➔  Dans le cas d'une loi externe * de domaine d'opérateurs K :

• Un élément k de K est dit simplifiable pour la loi * si pour tout (a,b) de E² : k*a = k*b ⇒ a = b.

• Un élément a de E est dit simplifiable pour la loi * si pour tout (k,k') de K² : k*a = k'*a ⇒ k = k'.

1. Dans (N, +), tout élément est régulier et dans (N, ×), tout élément non nul est régulier.
   - Par exemple, dans l'équation x + 3 = 4, on peut écrire x + 3 = 1 + 3, donc x = 1.
   - Dans l'équation 6x = 9, on peut écrire 3 × (2 × x) = 3 × 3, donc 2x = 3.
2. Dans (Z, *), avec a * b = | a | + b, tout élément est régulier à gauche mais non à droite.
3. Dans (Z, *), avec a * b = | a - b |, on a 3*4 = 3*2 mais 4 ≠ 2.
4. Dans (Z/6Z), anneau des classes résiduelles modulo 6, l'élément 2, classe de 2,  n'est pas régulière : 2 × 4 = 2 × 1 mais 4 ≠ 1.
5. Dans un anneau un élément x non nul et non simplifiable est un diviseur de zéro. En effet, l'égalité xa = xb peut s'écrire
   xa - xb = 0, soit x(a - b) = 0. Donc, si a est distinct de b, x est un diviseur de zéro (ainsi que a - b).
6. Dans un espace vectoriel (E,+,.), tout vecteur est simplifiable dans (E,+) et tout vecteur non nul est simplifiable (à droite) dans (E,.)

∗∗∗
Soit E l'ensemble des fonctions numériques indéfiniment dérivables. à tout couple (n,f) de N × E, on associe f ⁽ⁿ⁾, fonction dérivée n-ème de f, avec f ^(o)= f.
Notons n & f = f ⁽ⁿ⁾. On définit ainsi une loi externe dans E dont le domaine d'opérateurs est N.
a) Montrer que x → sin(x) n'est pas simplifiable.
b) Soit  f : x → 2x³ - 7x + 6 et  g : x → 2x³ + x² -1. L'entier 3 n'est pas régulier : 3 & f = 3 & g alors que f ≠ g.

Théorème 3 :    

Dans un magma associatif :

1. le composé de deux éléments simplifiables à gauche (resp. à droite) est simplifiable à gauche (resp. à droite).
2. si le magma est unifère, tout élément symétrisable à gauche (resp. à droite) est simplifiable à gauche (resp. à droite)

Preuve : 1) Notons T la loi du magma. Supposons x et y simplifiables à gauche et supposons l'égalité (xTy)Ta = (xTy)Tb.  Par associativité : xT(yTa) = xT(yTb); on peut simplifier par x à gauche : yTa = yTb; on peut maintenant simplifier par y à gauche : a = b. On raisonnerait de même à droite. 2) Supposons maintenant le magma unifère; soit e son élément neutre, et x' un symétrique à gauche de x vérifiant donc x'Tx = e  et supposons l'égalité xTa = xTb. En composant par x' à gauche et utilisant l'associativité, on obtient a  = b.

∗∗∗
Dans F(E) où E désigne un ensemble quelconque non vide, les éléments simplifiables sont les éléments symétrisables (bijections).
Plus précisément, les surjections (resp. les injections)  sont simplifiables à droite (resp. à gauche) : » exercice 8a, 8b

Corollaire :    

Tout élément d'un groupe (G,*) est simplifiable

Preuve : vu que la loi de groupe * est associative et que tout élément x admet un symétrique x', si x * a = x * b, alors, en composant à gauche par x', e désignant l'élément neutre de G : (x' * x) * a = (x' * x) * b, donc e * a = e * b, soit a = b. La régularité à droite s'obtiendrait de même.

∗∗∗
Dans l'anneau des matrices carrées réelles d'ordre 2, une matrice non inversible n'est pas régulière pour la multiplication. Vérifier que :

Théorème 4 (voir la preuve ici) :   

Dans un anneau intègre, tout élément non nul est simplifiable pour la multiplication

 !   Si le magma n'est pas associatif, rien n'est assuré :

• Considérer E, ensemble des entiers naturels au plus égaux à 10 et la loi T définie dans E par a T b = | a - b | (différence symétrique). 0 est neutre et tout élément est son propre symétrique. Seuls 0 et 10 sont simplifiables. T est non associative : considérer (1 T 2) T 3 et 1 T (2 T 3).

• Considérer dans Z, la loi T définie par a T b = ab + 3. T n'est pas associative. -1 et 3 sont simplifiables mais non pas -1 T 3 = 0.

Différence et différence symétrique de deux ensembles :  »

On considère deux magmas (E,T) et (F,T'). On peut définir dans E × F la loi de composition interne T" dite loi produit de T et T' par :

(a, b) T" (c, d) = (aTc, bT'd)

Un cas particulier élémentaire est l'addition des couples de R² correspondant à l'addition des vecteurs du plan rapporté à une base : E = F = R, T et T' désignent l'addition usuelle, T" est l'addition vectorielle, notée également + :

Si v(a,b) et w(c,d), alors v + w est le vecteur s(a + c, b + d)
 

L'appellation demi-groupe fut utilisée par Dubreil dans la théorie qu'il développa en 1941 (Contribution à la théorie des demi-groupes) pour désigner un monoïde, ensemble muni d'une loi interne associative. On désigne aujourd'hui par semi-groupe un magma associatif, commutatif et unifère (E,T), d'élément neutre e dans lequel tout élément est régulier.

∗∗∗
Montrer que muni du pgcd, l'ensemble N des entiers naturels est un semi-groupe commutatif unifère

Tout semi-groupe (E,T) peut être symétrisé, en ce sens que l'on peut construire un groupe G dans lequel E s'identifiera à un sous-ensemble et dont sa loi T apparaîtra comme induite par celle de G. Pour ce faire on définit dans E × E la relation R :

Théorème 5 :    

La relation R est une relation d'équivalence dans E × E compatible avec la loi produit de E × E. On peut donc munir l'ensemble quotient G = (E × E)/R, ensemble des classes d'équivalence, de la loi quotient T définie par Cl_(a,b) T Cl_(a',b') = Cl_{(aTa', bTb')}. Ainsi muni de la loi T, (G,T) est un groupe commutatif d'élément neutre Cl_(e,e); le symétrique dans G de Cl_(a,b) est Cl_(b,a) et tout élément a de E s'identifie à Cl_(a,e) dont le symétrique dans (G,T) est Cl_(e,a).

Preuve : L'élément neutre de G est la classe de (e,e); en effet Cl_(e,e) T Cl_(a,b) = Cl_(eTa,eTb) = Cl_(a,b); idem à gauche puisque T est commutative. Noter que la classe de (e,e) est la diagonale de E × E, ensemble des couples (a,b) tels que a = b car (e,e) R (a,b) signifie eTb = eTa. Cl_(a,b)T Cl_(b,a)= Cl_{(aTb, bTa)}= Cl_{(aTb, aTb)}= Cl_(eTe); Cl_(a,e)T Cl_(e,a)= Cl_{(aTe, eTa)}= Cl_(aTa)= Cl_(eTe).

Un exemple concret est la symétrisation du magma additif (N,+) des entiers naturels conduisant à Z :

Théorème 6 :    

Avec les notations précédentes :

Le groupe (G,T) peut être ordonné au moyen de la relation ≤ définie par : ∀ a ≤ b ssi b T a' ∈ E

Preuve : L'élément neutre de G est la classe de (e,e); en effet Cl_(e,e) T Cl_(a,b) = Cl_(eTa,eTb) = Cl_(a,b); idem à gauche puisque T est commutative. Noter que la classe de (e,e) est la diagonale de E × E, c'est dire l'ensemble des couples (a,b) tels que a = b car (e,e) R (a,b) signifie eTb = eTa, c'est à dire a = b

Théorème 7 :    

Tout semi-groupe fini est un groupe (J. A. de Seguier, 1904)

Preuve : il suffit de montrer que tout élément e_i d'un semi-groupe E = {e, e₁, e₂, ..., e_p} de loi T, d'élément neutre e, admet un symétrique. Considérons l'équation e_iTx = e_k; si une solution existe, elle est unique car e_iTx = e_iTy implique x = y par régularité. Considérons maintenant l'ensemble des e_iTx lorsque x décrit E; selon l'unicité, tous ces composés sont distincts deux à deux; il en existe donc un unique tel que e_iTx = e : x est l'unique symétrique de ei dans E.

Élément absorbant :

Un élément u de E vérifiant x T u = u T x = u pour tout x de E est dit absorbant pour la loi T. Lorsque T n'est pas commutative, on parle aussi d'élément absorbant à gauche (u T x = u) ou à droite (x T u = u).

• Dans le magma multiplicatif (N, x), 0 (zéro) est absorbant, c'est à dire que pour tout entier naturel n : n × 0 = 0 × n = 0.
• Dans un anneau commutatif (A,+,x), l'élément nul 0 du groupe est absorbant pour la seconde loi.
  En effet, vu que 0 + 0 = 0, il suit que a x 0 = a x (0 + 0) = a x 0 + a x 0 et comme tout élément est simplifiable pour la loi +, on a  a x 0 = 0. 

∗∗∗
Dans (F(R),o), où o désigne la loi de composition des applications, l'application nulle n'est absorbante qu'à gauche.
Qu'advient-il si on se restreint aux applications linéaires de la forme f(x) = ax ?

♦ Dans un magma unifère (E,*) d'élément neutre e, un élément x de E vérifiant x * x = e est dit involutif pour la loi * : x est son propre symétrique.

• En géométrie, la symétrie centrale est une transformation involutive pour la loi de composition des applications. Il en est de même d'une symétrie orthogonale par rapport à une droite est involutive : si M → M, alors M' → M. De telles symétries S vérifient donc S o S = id : M → M, application identique.

• Dans F(R), ensemble des fonctions numériques muni de la loi de composition des applications, la fonction x → 1/x est involutive.

♦ Un élément x de (E,*) vérifiant x * x = x est dit idempotent (de "même puissance").

• Dans F(R) la fonction x → |x|, valeur absolue de x, est idempotente.

• La projection sur une droite ou un plan est idempotente :  une telle projection p vérifie p o p = p

∗∗∗ 
1. Dans R², on considère les applications f : (x,y) → (x + 2y,3y) et g : (x,y) → (-4x + y,4x - y).
Montrer par un contre-exemple que ni f et ni g ne sont idempotentes. Prouver cependant que f o g et g o f  le sont.
2a. Montrer que si deux fonctions f et g commutent (f o g et g o f ) et sont idempotentes, alors f o g et g o f sont idempotentes.
2b. Dans F(R), on considère f : x → |x| et g : x → E(x), partie entière de x (= n, n ∈ Z, tel que n ≤ x < n+1)
Vérifier que f et g sont idempotentes, ne commutent pas, mais f o g et g o f sont idempotentes.

»  Burnside et groupe d'exposant fini

♦ Dans un anneau (A,+,*) d'élément nul 0, élément neutre du groupe additif (A,+), un élément x de A vérifiant x * x = 0 est dit nilpotent (pour signifier de puissance nulle).

• Dans F(R) la fonction f définie par f(x) = -x si x ≤ 0, f(x) = 0 sinon est nilpotente.
• La matrice M = est nilpotente (le noyau de l'application linéaire associée coïncide avec son image) : M x M = M² = 0, matrice nulle.
  Tout endomorphisme dont l'image est incluse dans le noyau est nilpotente.

 ➔   Pour en savoir plus sur ces deux dernières notions, et en particulier l'idempotence et le nilpotence d'ordre k, on se reportera à la page consacrée au mathématicien américain Benjamin Peirce, à qui l'on doit ce vocabulaire.

 i   Les qualificatifs commutatif et distributif apparaissent pour la première fois, en 1815 dans un article du mathématicien et officier d'artillerie français François-Jospeh Servois (1768-1847), publié dans les Annales de Gergonne.

Lorsqu'un magma E est muni de deux lois internes T et *, on dit que la loi * est distributive à gauche (resp. à droite) sur (ou par rapport à) la loi T si, pour tout triplet (a,b,c) d'éléments de E :

• L'exemple le plus élémentaire est, dans les ensembles N, Z, Q, R et C le cas de la multiplication distributive sur l'addition :
  a × (b + c) = a × b  +  a × c  et  (a + b) × c  = a × c  +  b × c.

• L'addition n'est pas distributive sur la multiplication : a + (b × c) ≠ (a + b) × (a + c) !!!

• Munissons N de l'addition et de la loi * définie par a*b = b. Cette loi est distributive à gauche sur l'addition : a*(b + c) = b + c = a*b + a*c mais pas à droite : (a + b)*c = c alors que a*c + b*c = c + c = 2c.

• Dans R, on pose a ∧ b = Max(a,b) et a ∨ b = Min(a,b). Montrer que la loi ∧ est distributive par rapport à elle même et que les lois ∧ et ∨ sont distributives l'une par rapport à l'autre. » treillis

• Dans un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à une base orthonormée, le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition vectorielle.

• Dans l'ensemble F(R) des fonctions numériques muni de l'addition et de la composition des applications : la loi o est distributive à droite sur l'addition : (f + g) o h = (f o h) + (g o h) mais non pas à gauche : en général : f o (g + h) ≠ (f o g) + (f o h). Par exemple, soit f : x → x², g : x → 1/x et h : x → 2x - 1.  [f o (g + h)](x) = (1/x + 2x - 1)²  alors que [(f o g) + (f o h)](x) = 1/x² + (2x - 1)².
  » La distributivité à gauche aura lieu si f est additive, en particulier si l'on remplace F(R) par L(E), ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel E dans lui-même (endomorphismes). En effet, dans ce cas, l'image d'une somme est la somme des images et on aura :

[f o ( g + h)](x) = f[(g + h)(x)] = f[g(x) + h(x)] = f(g(x)) + f(h(x)) = (f o g)(x) + (f o h)(x).  CQFD

Distributivité mixte :    

Lorsque E désigne un ensemble muni de deux lois dont l'une est interne, ici notée T et l'autre externe, ici notée •, dont le domaine de multiplicateurs est K, la loi •est dite distributive sur (ou par rapport à) la loi T pour exprimer que :

∀ k∈K,  ∀ (a,b)∈E² ,  k •(aTb) = (k •a) T (k •b)

• Il en est ainsi de la loi externe d'un espace vectoriel (multiplication par un scalaire) par rapport à l'addition vectorielle : 3(u + v) = 3u + 3v.

• A tout couple (n,z) de N × Z, associons l'entier relatif zⁿ. On définit ainsi une loi de composition externe dans Z dont le domaine d'opérateurs est N. Notons-la •. On a ainsi  n • z = zⁿ. Cette loi est distributive sur la multiplication de z : n • (z × z') = (n • z) × (n • z') car (z × z')ⁿ = zⁿ × z'ⁿ.
  » noter que (n + p) • z = z^{n + p} = zⁿ × z^p = (n • z) × (p • z); la loi • n'est pas distributive à droite par rapport à l'addition de N.

♦ Lorsque qu'un magma (E,T) est muni d'une relation binaire (par exemple un ordre, une relation d'équivalence) notée ici ‹, on dit que la relation ‹ est compatible avec la loi T si :

∀ (a, b, a', b') ∈E⁴ :  a ‹ a'  et b ‹ b'  ⇒ (a T b) ‹ (a' T b')

On dit aussi que la relation ‹ respecte la loi T.

• Dans R, la relation d'ordre usuelle ≤ est compatible avec l'addition mais non avec la multiplication : -2 ≤ 3  et  -3 ≤ -1 mais 6 ≤ - 3 est faux.

♦ Une relation ‹ vérifiant :

∀ (a, b, b') de E³ : b ‹ b' ⇒ (a T b) ‹ (a T b')

est dite régulière à gauche pour la loi T. On définirait de façon similaire la régularité à droite. La relation sera dite régulière si elle est régulière à gauche et à droite.

Théorème 8 :    

Une relation binaire ‹ réflexive et transitive dans (E,T) est compatible avec la loi T si et seulement si elle est régulière.

Preuve :  Supposons la relation ‹ compatible avec T et b ‹ b'. ‹ étant réflexive, a ‹ a pour tout a; d'où (a T b) ‹ (a T b') par compatibilité. Donc ‹ est régulière à gauche. On montrerait de même, en composant à droite par a que ‹ est régulière à droite. Inversement, supposons ‹ régulière,  a ‹ a' et b ‹ b' : on aura (a T b') ‹ (a' T b') par régularité à droite et (a T b) ‹ (a T b') par régularité à gauche. D'où (a T b) ‹ (a' T b') par transitivité.

Lorsque la loi T est commutative, on peut limiter le raisonnement à une régularité à gauche ou à droite :

∗∗∗
Lorsque la loi T est commutative et la relation ‹ réflexive et transitive, montrer que ‹ sera compatible avec T
si et seulement si elle est régulière à gauche (ou à droite).  ☼

 ➔  Ces résultats voient leurs applications dans le cas d'une relation d'ordre et, plus particulièrement, d'une relation d'équivalence pour la construction d'ensembles à partir de ses classes d'équivalence :

Classes d'équivalence et loi quotient :  »

Quelques exercices non corrigés 

1. Montrer que le magma (Z,*) avec a * b = 2a - b + 1

• n'est pas commutatif;
• n'est pas associatif;
• n'a pas d'élément neutre (bilatère ou non).

2. Dans (N,T), on pose :

• Montrer que ce magma n'est pas commutatif en calculant 1 T 2 et 2 T 1.

• Montrer que ce magma n'est pas associatif en calculant (2 T 1) T 3 et 2 T (1 T 3).
• Montrer que (N,T) admet un élément neutre.
  » Si e est cet élément, il nous faudrait avoir e ≤ b pour tout entier naturel b. Donc e = 0. On vérifie facilement que e = 0 est aussi neutre à droite : 0 est l'élément neutre de (N,T).

3a. Montrer que dans le magma (N,T) avec a T b = a + Min(a,b), il existe un élément absorbant à gauche et neutre à droite.

3b. Montrer que dans un magma non réduit à un seul élément (singleton), un élément ne peut être neutre et absorbant d'un même côté.

3c. On considère l'ensemble F des applications de R dans R nulles en 0. On munit F de la loi de composition des applications. Montrer que (F,o) est un magma dans lequel l'application nulle est absorbante.

4. Montrer que dans un magma non réduit à un seul élément (singleton), il ne peut exister un élément absorbant à gauche distinct d'un élément absorbant à droite.

5. On munit R² de la "multiplication" : (a,b) x (a',b') = (aa',bb'). On appelle D la "droite" constituée des couples de la forme (a,0) lorsque a décrit R.

• Prouver que (1,1) est neutre dans (R²,x)

• Prouver que D est stable pour la loi x.

• Prouver que (1,0) est neutre dans (D,x)
  » Moralité : Dans un magma unifère M, une partie stable peut admettre un élément neutre distinct de celui de M.

6 Dans F(E), ensembles des applications de E vers E, vérifier que la loi de composition des applications est associative.

7a.  On considère l'ensemble R⁺ des nombres réels positifs muni de la loi de composition interne T définie par aTb = |ab - a - b|.

• Montrer que 0 est neutre pour cette loi et que 1 est absorbant.

• Montrer que tout réel a > 1 admet un unique symétrique.

• Quel est le symétrique de 2 ? Quel est celui de  3 ? 3T2 est-il symétrisable ?

• Calculer 2T(3T4) et (2T3)T4. Conclusion ?

» Moralité : dans un magma unifère non associatif, deux éléments symétrisables peuvent admette un composé non symétrisable (» th. 2.1).

7b.  Dans le magma unifère (F(R),o), on considère les fonctions ainsi définies : d'une part f(x) = x - 1 si x < 0, f(x) = x + 1 sinon; d'autre part g(x) = x + 3 si x ≤ - 1, g(x) = x si -1 < x < 1, g(x) = x + 1 si x ≥ 1.

• Considérer l'équation f(x) = 0. Justifier que f est non bijective;

• Considérer g(0) et g(-3); Justifier que g est non bijective;

• Déterminer l'application composée g o f.   Rép. g : x → x + 2

» Moralité : dans un magma unifère, deux éléments non symétrisables peuvent admette un composé symétrisable.
Noter que (f o g)(-7/2) = (f o g)(1/2) : f o g n'est donc pas bijective.

8a. 1°) Montrer que dans (F(E),o), où o désigne la loi de composition des applications avec Card E > 1, les éléments simplifiables sont les bijections de E. 2°) Vérifier que toute surjection est simplifiable à droite, alors qu'une injection est simplifiable à gauche.
Indic. : selon le théorème 3, toute bijection est simplifiable puisque symétrisable dans un magma associatif et unifère. Inversement, si f est surjective, alors pour tout y de E, il existe (au moins) un x de E tel que y = f(x). Notons E_y l'image réciproque de y par f , c'est à dire l'ensemble des x de E tels que y = f(x). Construisons g de E vers E en posant g(y) = x, x étant choisi dans Ey. Vérifier que g est un symétrique à droite de f pour la loi o. Noter que si f n'est pas bijective, l'application g est a priori non unique. Si f est injective, on procède de même en construisant g de f(E) vers E; g est alors un symétrique à gauche de f pour la loi o.

8b. Inversement, vérifier que si f est simplifiable à gauche (resp. à droite), alors f est injective (resp. surjective).
Indic. : supposons f simplifiable à gauche. E ayant au moins deux éléments, supposons que f(a) = f(b). Définissons g et h par g(x) = a et h(x) = b pour tout x de E. On a f o g = f o h, donc g = h. Conclure.
Supposons maintenant f simplifiable à droite. Si f est non surjective, il existe un élément a de E tel que f(x) ≠ a pour tout x de E (E a au moins deux éléments). Posons alors h(x) = x si x≠a et h(a) = b avec b≠a. On a h o f = f, donc h o f = id_E o f. Conclure.

9. Montrer que si, dans un groupe G, tout élément est involutif, alors ce groupe est commutatif.  » structure de groupe

 ➔  Pour en savoir plus :

• Tout cours mathématiques L1 (1ère année de licence)
• Leçons d'algèbre moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin - Éd. Dunod, Paris -1961
• COURS DE MATHÉMATIQUES, Jean-Marie Arnaudiès, Henri Fraysse
  Classes préparatoires, 1er cycle universitaire - Dunod Université - 1987-89 (Tome 1)
• ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES, Nicolas Bourbaki, Théorie des ensembles, Livre I, Ed. Hermann