ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WILES Andrew John, anglais, 1953-

Né à Cambridge où il obtient son doctorat en 1976, Wiles étudia préalablement à Oxford dont il fut diplômé en 1974 et soutint sa thèse de doctorat portant sur kes courbes elliptiques (Reciprocity laws and conjecture of Birch-Swinnerton-Dyer, 1979) à Cambridge. Après des séjours d'enseignant chercher à Harvard (USA) et en France (IHES), Wiles obtient un poste d'assistant en la célèbre université de Princeton aux États-Unis (1982) et obtiendra une chaire en 1994.

En 1986, Wiles cherchait à prouver la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil, relative au lien très étroit, que l'on croyait jusqu'alors inexistant, entre fonctions elliptiques et formes modulaires. En résumant à l'extrême :

Toute fonction elliptique à coefficients rationnels peut être identifiée à une forme modulaire

Ce sujet très ardu de géométrie algébrique est lié à la recherche de l'existence de points à coordonnées entières sur une courbe elliptique. Historiquement, la recherche de points à coordonnées rationnelles sur une courbe ou une surface fut à la base du développement de la géométrie algébrique initiée par Chasles et développée à la fin du 19è par l'École italienne avec Véronèse et Castelnuovo.

Max Noether , Mordell , Zariski , Samuel

La preuve du célébrissime théorème de Fermat !

Andrew Wiles lors de son exposé sur le théorème de Fermat (1993), photo Pr Peter Goddard/Science Photo Library, Science & Vie n° 911, août 1993.

C'est ainsi que Wiles s'attaque au fameux grand théorème de Fermat que ce dernier disait avoir démontré, sans avoir laissé trace de sa démonstration.

Par exemple, si l'équation de Fermat an + bn = cn possède une solution non triviale pour n >2, alors la cubique d'équation y2 = x(x - an)(x - bn) ne vérifie pas la conjecture évoquée ci-dessus.

Taniyama émit sa conjecture en 1955. Elle fut complétée et étudiée par son ami Shimura. Le mathématicien André Weil l'étudia et l'adopta en 1966 tout en la complétant également, ce qui la fit connaître en Europe.

C'est le 23 juin 1993, au cours d'un congrès dans sa ville natale, à l'Institut Newton, que Wiles, faisant usage de la théorie des groupes de Galois, la démontra partiellement. Cette preuve incomplète permettait de conclure quant à la conjecture de Fermat. Wiles inscrivit alors, en corollaire, le théorème de Fermat que l'on peut nommer désormais théorème de Fermat-Wiles.

 La conjecture de Taniyama-Shimura-Weil fut entièrement démontrée en 1999 avec l'aide de Richard Taylor (1962-, ancien étudiant de Wiles, université de Harvard), le français Christophe Breuil (1969-, IHES) et les américains Brian Conrad (1970-, université de Stanford) et Fred Diamond (1964-, ancien étudiant de Wiles, King's College).

Une décennie plus tôt, en 1988, un mathématicien japonais, Y. Miyaoka, avait apporté une "preuve" faisant également appel à la géométrie algébrique mais qui s'avéra fausse après quelques mois de vérification.

On savait à la même époque, grâce aux travaux de Jean-Pierre Serre et du mathématicien américain Kenneth Ribet, que la preuve de la conjecture de Taniyama entraînerait celle de Fermat : en partant d'une solution supposée xn + yn = zn en nombres entiers ou rationnels, avec n premier, on construit une courbe elliptique non modulaire tombant donc une contradiction avec la conjecture de Taniyama selon laquelle toute courbe elliptique sur Q est modulaire.

Afin de s'assurer de la justesse du raisonnement, il fallut relire attentivement environ 200 belles pages d'exposé. Certaines rumeurs, dès décembre 1993, laissèrent planer un doute jusqu'en 1996 sur un point de la démonstration, mais de l'avis des plus grands mathématiciens actuels, il apparaît aujourd'hui que la conjecture de Fermat, souvent appelé (sans preuve...) dernier théorème de Fermat, aujourd'hui théorème de Fermat-Wiles ait fini de résister après plus de 350 ans de recherche.

De plus, les moyens et résultats intermédiaires mis en œuvre pour la démonstration permettent d'envisager la solution de nombreux problèmes mathématiques ouverts jusqu'alors.

Wiles reçut, en récompense de ce brillant résultat, le prix Fermat (bien sûr!) de l'université Paul Sabatier de Toulouse (20 000 euros),  le prix Ostrowski (1995), le prix Wolf (1996) de 100 000 dollars, le prix du Clay Mathematics Institute (1999), année où il apportait la preuve complète de la conjecture de Taniyama, le prix Shaw en 2005 et...

Le prix Abel 2016, un peu tard à mon sens (20 ans après...) car les motivations officielles invoquées sont :

"pour sa preuve éblouissante du dernier théorème de Fermat au moyen de la conjecture de modularité des courbes elliptiques semi-stables ouvrant une nouvelle ère en théorie des nombres".

Mais, bon, environ 730 000 euros (6 000 000 de couronnes norvégiennes), même un peu tard, c'est bien...

Avant sa fulgurante notoriété, il avait reçu le prix Whitehead 1988 de la Société Mathématique de Londres pour ses résultats innovants dans le domaine des courbes elliptiques. Il fut anobli par la reine Elisabeth II en l'an 2000, plus prompte donc (16 ans plus tôt) à reconnaître les siens...

7 problèmes à 1 million de dollars et Clay Mathematics Institute :               Langlands

 Pour en savoir plus :

  1. Page du prix Abel 2016 consacrée à Andrew Wiles : http://www.abelprize.no/c67107/seksjon/vis.html?tid=67109
  2. Le Dernier Théorème de Fermat, Simon Singh, Éd. Pluriel, Paris, 1998
  3. Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, Courbes elliptiques et formes modulaires : un article très complet et accessible (niveau maîtrise) de l'Encyclopédie Universalis : Encyclopaedia Universalis 2011.
  4. Pour les plus doués... : la preuve de Wiles est en ligne sur le site de l'université de Stanford : Modular elliptic curves and Fermat's last theorem : http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf
  5. Le rang des courbes de Mordell (CNRS, Images des mathématiques) et l'étude du groupe des points à coordonnées rationnelles : http://images.math.cnrs.fr/Le-rang-des-courbes-elliptiques.html
  6. Formes modulaires, in Cours d'arithmétique, Jean-Pierre Serre, ch. 7, en ligne sur le site de l'université Joseph Fourier (UJF) :
    https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/Livres/Serre_cours_d\'atithmetique.pdf
  7. Les courbes elliptiques racontées à mes enfants, conférence de Marc  Hindry (univ. Paris-Diderot) :
    http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/les_courbes_elliptiques_racontees_a_mes_enfants/
  8. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, Jean Dieudonné, Ch VII - Fonctions modulaires et fonctions automorphes, chapitre rédigé par Christian Houzel, Ed. Hermann - 1978 ,1992
  9. Science & Vie, août 1993 : Théorème de Fermat, le Graal des maths, par Renaud de la Taille

  10. De Diophante à Fermat par Christian Houzel et Fermat enfin démontré par Yves Hellegouarch in Pour la Science, janvier 1996.

  11. Revue Quadrature : n°22, été 95 : Grand théorème de Fermat.


Edward Witten & Don Zagier  Bourgain
© Serge Mehl - www.chronomath.com