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Dénombrabilité des nombres algébriques

Selon Cantor, un ensemble infini E est dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble N des entiers naturels. Autrement dit, il existe une bijection de N sur E. C'est encore dire, naïvement, qu'il y a "autant" d'éléments dans E que dans N et plus précisément, en termes de cardinaux :

De plus, toute réunion dénombrable d'ensembles finis ou dénombrable est dénombrable :

Par définition, un nombre algébrique (le terme est d'Abel) est solution (réelle ou complexe) d'une équation polynomiale P(x) = 0 à coefficients rationnels.

Théorie des nombres algébriques : »

On ne restreint pas la généralité, en remplaçant "rationnels" par "entiers" : il suffit de multiplier tous les coefficients du polynôme P par le PPMC (plus petit multiple commun) de leurs dénominateurs éventuels.

Un nombre non algébrique est dit transcendant. De tels nombres ont été découverts et étudiés par Liouville. Le corps R des nombres réels n'étant pas dénombrable (Cantor), la preuve de la dénombrabilité des nombres algébriques entraîne la non dénombrabilité de l'ensemble des nombres transcendants. Pour montrer cela, posons :

P(x) = a_o + a₁x + a₂x² + ... a_nxⁿ   où les a_i sont des entiers relatifs

Lorsque a_n est différent de 0, le théorème fondamental de l'algèbre (également dit de d'Alembert) permet d'affirmer que P possède n solutions réelles ou complexes, distinctes ou non.

Considérons alors l'entier naturel :

et considérons les cas successifs A = 1, A = 2, A = 3, ... : A décrivant N*.

L'égalité (e) ci-dessus s'interprète comme une équation à n + 1 inconnues entières  |a_o| , | a₁| , | a₂| , ..., | a_n| et fournit toutes les combinaisons possibles des coefficients d'une équation algébrique. Pour chaque valeur de A = 1, 2, 3, ..., l'ensemble des combinaisons est en nombre fini et chaque combinaison fournit au plus A nombres algébriques.

Il est possible que deux équations distinctes fournissent des solutions (nombres algébriques) égales : collectionnons alors les solutions obtenues lorsque A décrit N* et supprimons, le cas échéant, les solutions déjà collectionnées pour les valeurs précédentes de A.

Conclusion :     

Les nombres algébriques apparaissent comme réunion dénombrable d'ensembles finis, ce qui assure leur dénombrabilité et, par là, la non dénombrabilité de l'ensemble des nombres transcendants.