ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

  Séries trigonométriques, séries de Fourier
 
Analyse de Fourier (analyse harmonique) | Séries de Fourier d'une fonction de carré intégrable

Une série trigonométrique est une série de fonctions Σun(x) (à termes réels ou complexes) dont le terme général un(x) est de la forme :

un(x) = ancos(nx) + bnsin(nx)

Les coefficients de Fourier d'une fonction f supposée 2π-périodique sont, pour tout n de N :

On peut bien entendu remplacer l'intervalle d'intégration [0,2π] par [-π,+π] où tout autre intervalle d'amplitude 2π. Les an (resp. bn) sont nuls pour tout n si f est impaire (resp. paire). La série trigonométrique, dite de Fourier, associée à f est alors :

Cette série n'est hélas pas nécessairement convergente et si elle converge, elle ne converge pas nécessairement vers f(x) !

Comment justifier les coefficients parachutés ci-dessus et la présence bizarre de ce ao/2 ?

Si l'on désire développer en série trigonométrique une fonction 2π-périodique, son développement sera de la forme :

          (sf)

Multiplions les deux membres par cos nx et intégrons sur un intervalle J quelconque d'amplitude 2π. En Supposant la convergence uniforme, vœu du physicien, on peut intervertir les signes d'intégration et de sommation; or l'intégrale de cos nx.cos px est nulle et l'intégrale de cos2nx est égale à π. Finalement :

D'où la formule fournissant an et la présence du ao/2 dans le développement de Fourier : afin de préserver la formule générale des an, on traite à part le cas n = 0. Un calcul similaire, en multipliant par sin nx, permet de retrouver la formule des bn (remarquer que bo n'intervient pas). La sommation commence donc à n = 1.

Les sommes partielles Sn de la série  (sf) peuvent s'écrire au moyen de f :


 
Cas plus général d'une fonction T-périodique : 

Si f est de période T, on peut procéder comme ci-dessus en posant, selon la tradition, T = 2π/ω. On obtiendra un développement de f de la forme :

Les coefficients an et bn sont obtenus par :

L'intégration porte sur n'importe quel intervalle de longueur T. On peut préférer remplacer 2/T par π/ω qui lui est égal.

le terme constant ao/2 correspond à la valeur moyenne de la fonction f sur une période :

 


On considère la fonction f, π-périodique, définie par f(t) = 3t/4 si t[0,2π/3] et f(t) = 3(π - t)/2 si t]2π/3,π]. Vérifier que f est continue.
Calculer sa valeur moyenne sur [0,
π] et donner son développement en série de Fourier.
(Extrait sujet BTS Electronique 1977)

 
Fonctions ζ de Riemann :
  Calcul de ζ(2) , calcul de ζ(4) 

Vocabulaire du développement en série de Fourier, analyse et synthèse harmonique : 

Dans le développement en série de Fourier d'une fonction temporelle f dépendant du temps t (on parle alors généralement de signal) la somme Σ(ancos nωt + bnsin nωt) peut se ramener à la forme :

Σcncos(nωt - n)  ou  Σcnsin(nωt - n)

Pour obtenir cette forme, on met la racine carrée de an2 + bn2 en facteur; notons-là cn et posons cosn = an/cn et sinn = bn/cn. On obtient ainsi :

ancos nωt + bnsin nωt = cn(cos nωt.cosn + sin nωt.sinn) = cncos(nωt - n).

Transformée  de Fourier discrète et théorie du signal :       

Dans l'écriture cn x cos(nωt - n), le cas n = 1 correspond à l'oscillation fondamentale et au-delà, on parle d'harmoniques de rang n de f, en référence au phénomène sonore des cordes vibrantes et de leur étude par Daniel Bernoulli).

harmonique est dérivé du grec harmonia qui signifiait, en menuiserie et architecture, cheville, assemblage et, par là, ce qui est bien ajusté, c'est à dire harmonieux...

La superposition par addition des harmoniques des signaux sonores constituent le timbre caractéristique d'un son. En leur absence (seule présence de l'oscillation fondamentale), on obtiendrait un son plat. Le timbre du piano pour une même note (corde vibrante) est distinct de celui de la clarinette (tuyau sonore). Ce phénomène de timbre fut étudié par Helmholtz et Lissajous.

Notes de musique, gamme, harmoniques :

Pour chaque harmonique de rang n, de la forme  cnsin(ωnt - n) :

D'une façon générale, la pulsation est le nombre de répétitions de la courbe principale sur un intervalle de longueur 2π. En d'autres termes : pulsation = 2π/période = 2πfréquence.


Soit f la fonction impaire 2π-périodique valant 1 sur ]0,π[, nulle en 0 et π.

Montrer que la série de Fourier associée à f est : 4/π x [sin(t) + sin(3t)/3 + sin(5t)/5 + ... + sin(nt)/n + ...]
En faisant abstraction du coefficient multiplicateur 4/
π, on a représenté ci-dessous :
sin(t) en noir, sin(t) + sin(3t) en rouge , sin(t) + sin(3t) + sin(5t) en bleu
sin(t) + sin(3t) + sin(5t) + sin(7t) en vert , sin(t) + sin(3t) + sin(5t) + sin(7t) + sin(9t) en magenta

On constate ci-dessous la superposition par addition des différentes harmoniques.

Zoom de la situation :

En "poussant" jusqu'à n = 17, on obtient déjà une courbe fort proche de la fonction f donnée. Le passage de -1 à 1 pour les valeurs kπ "se fait de plus en plus" instantanément et la valeur moyenne du signal en ces points tend vers 0.

Synthèse harmonique :    

Les harmoniques dans les développements de Fourier furent tout particulièrement étudiés par Parseval. Pour n suffisamment grand, la superposition des harmoniques (cf. graphiques associés à l'exercice ci-dessous) fournissent une approximation continue et périodique du phénomène f étudié, on parle de synthèse harmonique et cette approximation de Fourier de f est la meilleure qui soit au sens de la convergence en moyenne quadratique :

Espaces L2 et séries de Fourier :

Analyse harmonique :    

Historiquement, face à un phénomène périodique f que l'on désire analyser, connaissant la partie constante ao du développement, l'analyse harmonique ou analyse de Fourier, consistera (en première analyse...) à rechercher les seuls cn :

  • Connaissant la période T, on connaîtra ω par T = 2π/ω;

  • On aura ensuite an = cncos nωt et bn = cnsin nωt;

  • n pourra alors être calculé modulo π par n = atan(bn/an) et les signes de an et bn lèveront l'ambiguïté.

On notera que si f est paire, tous les bn sont nuls, si f est impaire tous les an sont nuls y compris ao.

Un exemple de superposition de mouvements sinusoïdaux  :

  Depuis Fourier, et notamment à partir des années 1940 avec son immixtion dans les groupes topologiques, l'analyse harmonique s'est considérablement développée et interfère dans de nombreux domaines mathématiques : analyse spectrale, théorie de l'information et du signal, mécanique quantique), espaces de Hilbert , théorie des distributions. On la rencontre aujourd'hui même là où on ne l'attendait pas comme en arithmétique (théorie analytique des nombres).

  Terence Tao

Dans ses Éléments d'analyse, voici comment Jean Dieudonné introduit son 6è tome portant sur l'analyse harmonique :

On entend de nos jours par Analyse harmonique (commutative) la généralisation aux groupes commutatifs localement compacts de la théorie classique des séries et intégrales de Fourier, qui correspondent au cas des groupes Rn, Tn (tore de dimension n) et Zn.

Bien que, dans la suite de ce Traité, ce soit cette théorie classique qui est presque constamment utilisée, notamment comme outil fondamental dans la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles (chap. XXIII), la théorie générale de l'Analyse harmonique a aujourd'hui tant d'autres applications, notamment en Arithmétique, qu'il serait contraire à l'esprit des mathématiques de notre temps de se borner au cadre classique de la théorie de
Fourier, qui masque la nature des idées essentielles dominant l'Analyse harmonique, comme celle de convolution ou celle de fonction de type positif.

En fait, ces idées ont une portée bien plus grande encore, car elles se rattachent en réalité à la théorie générale des représentations linéaires (de dimension infinie) des groupes localement compacts quelconques, dite encore Analyse harmonique non commutative. Sans pouvoir aborder dans cet ouvrage l'essentiel d'une théorie aussi difficile, on en a cependant traité un aspect particulier, la théorie élémentaire des fonctions sphériques. Grâce à un théorème fondamental de Gelfand, elle repose en réalité sur une étude d'algèbres de fonctions involutives et commutatives, bien que liée aux représentations linéaires de groupes non commutatifs. Non seulement cette théorie englobe-t-elle celle de nombreuses "fonctions spéciales" et met-elle en lumière la notion essentielle de représentation induite, mais elle permet de mieux comprendre la  nature de la "dualité de Pontrjagin" qui caractérise le cas particulier des groupes commutatifs.

La dernière partie du chapitre revient à la transformation de Fourier classique, mais étendue aux distributions tempérées sur Rn ou In. C'est seulement dans ce cadre que disparaissent les aspects "pathologiques" de la théorie classique, trop étroitement liée à la notion de convergence "ponctuelle", alors que c'est en fait dans l'application de la transformation de Fourier à la théorie des opérateurs différentiels et à leurs généralisations que réside son principal intérêt en Analyse moderne.

Problèmes de convergence des séries de Fourier :

Comme Taylor pour sa formule, Fourier n'étudia pas avec précision les conditions de convergence de "ses" séries.

- Si les séries de termes généraux an et bn convergent absolument, la série de Fourier d'une fonction f converge normalement (donc uniformément) sur R, vers une fonction continue mais il n'est pas assuré que ce soit vers f.

Cependant :

- Si f est continue au point xo et si sa série de Fourier converge pour x = xo , alors sa somme est f(xo).

D'autre part, une condition nécessaire de convergence vers f(x) de la série de Fourier associée est que la fonction f soit périodique (condition posée d'emblée dans la définition).

On a en outre les très utiles résultats suivants :

- Théorème de Dirichlet :

Si f est T-périodique et de classe C1 par morceaux, alors la série de Fourier de f
converge pour tout x vers ½[f(x + 0) + f(x - 0)]

- Théorème de Jordan :

Si f est T-périodique à variation bornée sur tout intervalle borné, alors sa série de Fourier
converge vers ½[f(x + 0) + f(x - 0)] et la convergence est uniforme sur tout intervalle où f est continue.

- Théorème de du Bois-Reymond :

Toute série trigonométrique qui converge vers une fonction continue
est la série de Fourier de cette fonction.

Théorème de Fejér :        Série de Fourier et continuité (niveau BTS industriel)

  Pour en savoir plus :


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