ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BOOLE George,
anglais, 1815-1864
Alicia Boole Stott |
Autodidacte,
brillant latiniste, instituteur (il ouvrit une école privée), Boole s'initie aux mathématiques en étudiant
les œuvres de Lagrange et de Laplace et se fait connaître par de premières
publications dans le Cambridge mathematical Journal. Encouragé par
de Morgan, il est à l'origine de la
notion
d'ensemble et du "calcul" sur ces
ensembles (classes d'objets : classes of things) liant la
logique mathématique au calcul algébrique (The
Mathematical Analysis of Logic, 1847).
Boole résolut ainsi un des problèmes fondamentaux de formalisation du langage et du raisonnement, que se posaient les mathématiciens depuis Leibniz. La pertinence de ses travaux lui permirent l'obtention (1849) d'une chaire de mathématiques au Queen's Collège de Cork (Irlande du sud).
On considère souvent Boole comme le créateur de la logique moderne. Son algèbre de la logique, L'algèbre de Boole, qu'il exprime en 1854 dans son traité An investigation of the laws of thought (sur les lois de la pensée), est aussi utilisée de nos jours en électricité, en électronique et dans la mise au point des algorithmes des machines automatiques.
| Algèbre de Boole : |
Un ensemble E possède une structure d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois de composition interne associatives et commutatives notées + et * :
les lois + et * sont distributives l'une par rapport à
l'autre et admettent un élément neutre (noté 0 et 1 respectivement avec 0
1).
tout élément de E est idempotent pour chaque loi : x + x = x et x * x = x
Tout élément x de E possède un unique élément, dit complémenté de x, généralement noté généralement x, vérifiant les principes du tiers exclu : x + x = 1 et de contradiction x * x = 0.
Prouver que 0 = 1 et
1 = 0
Opération, loi de composition,
généralités, propriétés :
Cette algèbre (au sens des structures algébriques) est très particulière. Elle vérifie des propriétés que l'on vérifiera facilement comme :
règles d'absorption du produit par l'addition x + x*y = x et inversement x*(x + y) = x, dite formule duale. Le schéma électrique associé à ces lois peuvent être ainsi décrits :
Si E ne contient que les deux éléments 0 et 1 (algèbre des
circuits : le courant passe
1, ne passe pas
0), on obtient
les tables d'addition et de multiplication :
Dans une algèbre de Boole, on a les propriétés, dites lois de De Morgan :
x * y = x + y et x + y = x * y
Vérifier ces égalités en effectuant respectivement les produits x * y * (x
+ y ) et (x + y) *
x *
y
En termes de propositions, avec x associé à P
et y associé à Q, c'est dire : non (P
et
Q) = (nonP) ou (nonQ) et non (P ou
Q) = (nonP) et (nonQ) : un modèle de cette algèbre est
en effet la logique propositionnelle classique. L'implication P
Q,
équivalente à nonP ou Q, peut s'écrire :
x + y.
La logique d'Aristote :
Treillis de Boole :
Vérifier que l'équivalence logique (P
Q) et (Q
P) est
alors écrite : x*y + x *
y dont la valeur n'est que si x =
y = 1 ou x = y = 1
(P et Q toutes deux fausses ou P et Q toutes deux vraies.
L'algèbre de Boole permet de clarifier des situations logiques complexes où interviennent de nombreuses propositions. Les expressions propositionnelles (ou les circuits électriques aujourd'hui) peuvent en effet devenir extrêmement complexes, et les remplacer par un calcul algébrique afin de les simplifier est un gros avantage.
Pour en savoir plus, l'interprétation
électrique de la logique booléenne :
A la fin du du 19è siècle, la construction de la théorie des ensembles de Cantor et les paradoxes qu'elle engendra, remarqués en particulier par Russell, devaient jeter un grand trouble dans les eaux calmes du raisonnement logique.
Remarquons que cette algèbre logique a pour modèle l'algèbre des parties d'un ensemble (muni de la réunion
et de l'intersection) de Cantor
: l'algèbre (E,
,
)
des parties d'un ensemble est une algèbre de Boole, la
réunion ()
est l'additon (+) et l'intersection ()
est la multiplication (*). 1 est ici E, 0 est la partie
vide
Ø,
x
devient la partie complémentaire. x + x = x correspond à AA
= A, x * x = x correspond à AA
= A, etc.
De
Morgan , Carroll , Russell| Anneau de Boole : |
Cette structure est traitée en tant qu'exercice : anneau
de Boole
Pour en savoir plus :
Les sites sur la logique sont fort nombreux sur le Web. J'ai bien aimé (qualité, rigueur) :
A brief history of the notation of Booles's
algebra (en anglais) :
http://www.hf.uio.no/ifikk/filosofi/njpl/vol2no1/history/history.pdf
par Michael Schröder de l'université de Hanovre .
Weierstrass