ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BOOLE George, anglais, 1815-1864                         Alicia Boole Stott

Autodidacte, brillant latiniste, instituteur (il ouvrit une école privée), Boole s'initie aux mathématiques en étudiant les œuvres de Lagrange et de Laplace et se fait connaître par de premières publications dans le Cambridge mathematical Journal. Encouragé par de Morgan, il est à l'origine de la notion d'ensemble et du "calcul" sur ces ensembles (classes d'objets : classes of things) liant la logique mathématique au calcul algébrique (The Mathematical Analysis of Logic, 1847).

Boole résolut ainsi un des problèmes fondamentaux de formalisation du langage et du raisonnement, que se posaient les mathématiciens depuis Leibniz. La pertinence de ses travaux lui permirent l'obtention (1849) d'une chaire de mathématiques au Queen's Collège de Cork (Irlande du sud).

On considère souvent Boole comme le créateur de la logique moderne. Son algèbre de la logique,  L'algèbre de Boole, qu'il exprime en 1854 dans son traité An investigation of the laws of thought (sur les lois de la pensée), est aussi utilisée de nos jours en électricité, en électronique et dans la mise au point des algorithmes des machines automatiques.

Algèbres de Boole et anneaux de Boole:

Un ensemble E possède une structure d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois de composition interne associatives et commutatives notées + (addition) et * (multiplication) :

On note (E,+,*,0,1) une telle algèbre de Boole.

Au sens des structures algébriques, une algèbre de Boole n'en est pas une : ce n'est pas un espace vectoriel ! Par algèbre, il faut entendre des règles calculatoires rappelant les calculs de l'algèbre usuelle.

Une algèbre de Boole permet de clarifier des situations logiques binaires complexes où interviennent de nombreuses propositions. Outre les circuits électriques et électroniques d'aujourd'hui, les expressions propositionnelles peuvent devenir extrêmement complexes, et les remplacer par un calcul algébrique permet de clarifier les situations logiques rencontrées.

A la fin du du 19è siècle, la construction de la théorie des ensembles de Cantor et les paradoxes qu'elle engendra, remarqués en particulier par Russell, devaient jeter un grand trouble dans les eaux calmes, depuis Aristote, du raisonnement logique.

Noter qu'une algèbre de Boole a pour modèle l'algèbre des parties (E) d'un ensemble E muni de la réunion () identifiée à l'additon (+), de l'intersection () identifiée à la multiplication (*) et de la complémentation :

Stone a établi cet intéressant résultat selon lequel :

Toute algèbre de Boole finie est isomorphe à l'algèbre ((E),,)
des parties d'un ensemble fini E.

Boole et ses algèbres sont à l'origine de la logique algébrique que développeront, dans les années 1940, des logiciens comme Henkin, Tarski, Robinson (et sa théorie des modèles), Stone et Lindenbaum, à la recherche d'une théorie rigoureuse de la démonstration et d'une pensée exempte de toute contradiction dans le cadre de ce qu'on appellera la métamathématique.

Toute algèbre de Boole peut être muni d'une structure d'anneau commutatif dans lequel tout élément est son propre opposé :

En savoir plus sur les algèbres et anneaux de Boole :                        Algèbre de Lindenbaum :

Pour en savoir plus :


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