ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Valeurs entières éventuelles de la série harmonique

Jean Bernoulli prouva la divergence (la somme est infinie) de la série harmonique :

  

On peut alors se poser la question :

les sommes partielles passent-elles par des valeurs entières ?

L'ordinateur n'est pas fiable ici du fait des risques d'arrondi. De plus, le programme risquerait de tourner très (très) longtemps... Lançons-nous alors dans une étude purement arithmétique : nous notons Sn la somme partielle de rang n écrite ci-dessus. On a :

S1 = 1 , S2 = 3/2 , S3 = 11/6 , S4 = 25/12

Ainsi, quitte à simplifier, il semble que les sommes partielles apparaissent comme pn/qn avec pn impair et qn pair et donc Sn non entier.

Conjecturons ce résultat en l'émettant comme hypothèse de récurrence :

Sn = pn/qn avec pn impair et qn pair, n > 1

Étudions alorsS2n : en séparant pairs et impairs, on peut écrire :

S2n = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n - 1) + [1/2 + 1/4 + 1/6 + ... 1/(2n)]

Donc :

S2n = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n - 1)  +  Sn/2

La somme des termes "impairs" peut se réduire à la forme a/b où b est impair et vu l'hypothèse (Hn), on aura :

S2n = a/b  +  pn/2qn

soit plus clairement :

Le dénominateur est pair et le numérateur, somme d'un pair et d'un impair, est impair. Si cette fraction est simplifiable, elle donnera après simplification (nécessairement par un nombre impair) une fraction du même type (impair/pair). Ainsi S2n ne peut pas être entier.

On aboutira facilement, par un raisonnement semblable, à la même conclusion  pour les sommes :

S2n + 1 = S2n + 1/(2n + 1)

Ainsi : si Sn est non entier, il en est de même de S2n et de S2n + 1. Comme S2 , S3 et S4 sont non entiers, on voit que de proche en proche, aucun Sn n'est entier.

 Conclusion : la série harmonique diverge vers l'infini sans jamais prendre de valeurs entières.


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