Les systèmes dynamiques

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La notion de système dynamique

L'étude des systèmes dynamiques traite du devenir (prédictibilité) d'un système dont on ne connaît seulement que certains états observés ou calculés de son état passé ou présent (causalité). Ces états sont déterminants pour le devenir du système (déterminisme). Le sujet n'est pas véritablement contemporain : Dans son Essai philosophique sur les probabilités (1814), Laplace définit implicitement le concept de système dynamique :

Le concept implicite de système dynamique selon Laplace : »

Lorsque le système évolue par étapes (son nombre d'états est dénombrable), on parle de système à temps discret. à contrario, si le système évolue continument dans le temps, on parlera de système dynamique continu. Un autre aspect, a priori contradictoire, est l'introduction d'aléas : prévoir le temps qu'il fera demain ou dans trois jours relève de la dynamique des fluides, l'air en l'occurrence, et la connaissance de tous les paramètres à intégrer dans le système n'est jamais exhaustif, d'où une part d'incertitude (on s'en aperçoit souvent...).

Temps d'hiver en bord de Seine...

On doit donc s'intéresser à la probabilité que le système évolue vers un état plutôt qu'un autre (conduisant aux indices de fiabilité de 1 à 5 accompagnant les bulletins météo). En mécanique quantique (qui étudie le mouvement des particules élémentaires), le calcul des probabilités s'introduit de par le principe d'incertitude d'Heisenberg. Ce qui conduit à la notion encore plus difficile de système dynamique stochastique. Récemment, les travaux d'Artur Avila ont montré que certains systèmes dynamiques quantiques (opérateur presque-Mathieu) peuvent, à long terme, dégénérer en présentant un aspect chaotique totalement inattendu.

De manière formalisée, un système dynamique est la donnée :

d'un ensemble E, dit espace des phases (ou des états) : espace de Hilbert, espace de Banach, variété différentielle, ...

d'un vecteur X(t) de E, objet de l'étude caractérisant l'état du système à l'instant t.

d'une application φ : T x E → E vérifiant X(t) = φ(t,X_o), où T⊂R⁺ désigne la plage de variation du temps t et X_o l'état initial du système : ses coordonnées décrivent la connaissance du système au temps initial d'étude t = t_o.

Dans le cas discret T = N. On peut envisager des systèmes réversibles donnant un sens à un temps négatif (retour dans le passé...), auquel cas T = Z ou R. L'étude d'un système évoluant dans le temps induit la notion de vitesse (fonction dérivée) et d'accélération (fonction dérivée seconde), ce qui conduit à résoudre des systèmes différentiels (ensemble d'équations différentielles simultanées) dont la difficile résolution est aidée aujourd'hui par les algorithmes informatiques et la puissance des ordinateurs modernes.

Une simple équation différentielle d'inconnue x(t) et la donnée d'une condition initiale x_o = α, comme x' = 2x - 1, x_o = x(0) = 1, définit un système dynamique dont l'unique solution (» problème de Cauchy) est x(t) = φ(t,1) = ½e^2x avec E = R, T = R⁺.

Équation différentielle linéaire du 1er ordre : »

Dans les cas les plus complexes, la théorie des systèmes dynamiques use aujourd'hui de l'analyse fonctionnelle (espaces de Hilbert), de l'analyse harmonique, de la topologie différentielle (étude des propriétés topologiques des variétés différentielles) développée par l'américain Stephen Smale, qui obtint la médaille Fields en 1966 pour avoir résolu la conjecture de Poincaré. Les systèmes dynamiques se rattachent à la théorie du chaos (évolution imprédictible) du météorologiste américain Edward Lorenz (» Thom), à la théorie ergodique de Boltzmann, à la théorie des catastrophes de René Thom et de multiples applications voient le jour dans de nombreux domaines, comme par exemple :

biologie & médecine : dynamique des cellules vivantes (biologie systémique), épidémies.li>
éthologie & écologie : recherche d'un équilibre entre proies et prédateurs;
sciences de la Terre : météorologie (relevant de la dynamique des fluides), volcanologie, sismologie;
mécanique rationnelle ou quantique : pendules, phénomènes oscillatoires, devenir de particules
élémentaires dans un champ magnétique;
économie : recherche de l'équilibre de la balance commerciale;
sociologie : évolution d'une population;
stratégies à adopter : militaires en particulier;
etc.

Exemples élémentaires :

♦ Un cas très rustique de système dynamique peut être donné par l'augmentation de la population d'un milieu microbien : soit p(t) l'effectif de la population au temps t. On supposant que l'accroissement Δp dans un court laps de temps Δt est proportionnel à Δt et à l'effectif de la population à l'instant t : Δp(t) = kp(t)Δt. On est amené à l'équation différentielle élémentaire dp/dt = kp. L'évolution de la croissance est ici parfaitement déterminée, elle est exponentielle p = p(0)e^kt.

Exemples similaires (équations différentielles niveau Terminale) : »

♦ Dans le même ordre d'idées, le célèbre économiste anglais, Thomas Robert Malthus (1766-1834) s'est intéressé au problème de l'accroissement de la population mondiale (Essai sur le principe de population, 1798) considéré comme un danger pour l'humanité. Il préconisa une sévère restriction des naissances : le fameux malthusianisme est un modèle dynamique élémentaire défini par une simple suite géométrique dont la raison k est constante : si p_n est l'effectif de la population à l'année n, on admet que l'accroissement de la population pour l'année n + 1 est proportionnelle à p_n :

p_n+1 - p_n = kp_n , ce qui revient écrire : p_n+1 = (1 + k)p_n

On peut donner de ce modèle discret, une version continue comparable à ex1/ ci-dessus, montrant que le modèle de Malthus conduit à une croissance exponentielle. Le passage du discret au continu peut s'explique facilement :

Lien entre suite géométrique (cas discret) et fonction exponentielle (cas continu) : »

♦ Un modèle plus subtil tenant compte de paramètres de ressources est celui du mathématicien belge Pierre François Verhulst. On pourra consulter la page très instructive de Jamila Moulay, Modélisation et analyse mathématiques de systèmes dynamiques en épidémiologie (» réf. 1), ainsi que celle de Sandrine Charles et Christelle Lopez (univ. Lyon 1, » réf.3c, page 23).

i Pierre François Verhulst : mathématicien belge (1804-1849) dont Quetelet fut un des professeurs à Gand et qui orienta sa carrière vers les méthodes statistiques appliquées à la sociologie, démographie en particulier.

Ajustement logistique de Verhulst : ».

En conclusion de cette approche des systèmes dynamiques :

Au-delà des systèmes à deux équations (dimension 2), rares sont ceux dont on peut donner la solution exacte. Même en dimension 2, en particulier lorsque les équations ne sont pas linéaires, la résolution met en œuvre des méthodes de recherche approchée faisant appel à des espaces fonctionnels sophistiqués. C'est dire que dans sa généralité, le niveau mathématique du sujet est très élevé (3è cycle universitaire).

➔ Les pages Internent portant sur les systèmes dynamiques sont fort nombreuses. Au niveau licence, on pourra consulter, outre la réf.1 déjà citée, la page très instructive d'Eric Goncalvès Da Silva, Introduction aux systèmes dynamiques et chaos (» réf.2). On trouvera également, en référence réf.3b et, en référence réf.3c, des exercices corrigés sur des systèmes dynamiques dans R² (systèmes se limitant à 2 équations). Par exemple (Annales, INSA Lyon, 2013, oscillateur de Van der Pol) :

Cliquez sur l'image pour visualiser le sujet dans son intégralité - Lien vers le corrigé : clic...

➔ Pour en savoir plus sur les systèmes dynamiques :

Modélisation et analyse mathématiques de systèmes dynamiques en épidémiologie. Application au cas du Chikungunya.
On pourra se limiter au chapitre 1 relatif à la dynamique des populations (pages 14 et suivantes) :
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00633827/document
Introduction aux systèmes dynamiques et chaos, par Eric Goncalvès Da Silva, Institut polytechnique de Grenoble, 2004.
(systèmes discrets et continus, notion d'attracteur, attracteur de Lorenz, attracteur étrange) :
https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00556972/document
Systèmes dynamiques et applications en sciences de la vie (univ. Lyon 1) :
a/ Accueil : http://spiralconnect.univ-lyon1.fr/webapp/website/website.html?id=3305944&from=mobile
b/ Exemples de modèles dynamiques dans R et dans R² (diaporamas) :
- http://spiralconnect.univ-lyon1.fr/webapp/website/website.html?id=3305944&pageId=266105
- http://spiralconnect.univ-lyon1.fr/spiral-files/download?mode=inline&data=3672343
c/ Biologie mathématique et modélisation :
http://spiralconnect.univ-lyon1.fr/spiral-files/download?mode=inline&data=3324086
Modèle proie-prédateur de Holling-Tanner, un mémoire d'Aurore Dettweiler (M2 Math. fondamentales) :
http://www-irma.u-strasbg.fr/~fock/Memoires-2014/Dettweiler.pdf
Introduction aux systèmes dynamiques, diaporama de Olivier Faugeras (INRIA) :
http://www-sop.inria.fr/members/Olivier.Faugeras/MVA/Slides10/Lecon2/systemes_dynamiques_2.pdf
Systèmes dynamiques, chaos et applications, par Frédéric Faure, Institut J. Fourier, Grenoble (master de physique M1)
pendule, billard rectangulaire, billard de Sinaï, dynamique probabiliste de Markov, dynamique déterministe expansive :
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/systemes_dynamiques/cours_chaos.pdf