ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Notion de barycentre (du grec et du latin, mot à mot : centre lourd, pondéré)

Dans son traité « Sur le centre de gravité des surfaces planes », Archimède expose magistralement le concept de centre de gravité, point abstrait où l'on peut considérer que la masse de l'objet s'y concentre et peut être ainsi remplacé, dans les calculs, par ce point pondéré. C'est en quelque sorte le premier traité sur le calcul barycentrique.

Considérons un ensemble fini de points (Ai)i = 1,2,...n du plan ou de l'espace, auxquels on affecte des coefficients (poids) ai : on parle, historiquement, de système pondéré et on le note souvent : {(A1,a1), (A2,a2), ... ,(An,an)}.

  Si la somme des ai est non nulle, alors il existe un unique point G tel que

a1.GA1 + a2GA2+ ... an.GAn =

On dit que G est le barycentre du système pondéré (Ai,ai).

Pour la barre homogène AB ci-contre, G vérifierait a1.GA + a2GB = : les poids seraient a1 = p et a2 = p', les vecteurs GA et GB sont de sens contraire. G, centre de gravité de la barre AB, est aussi son point d'équilibre.

Si A est de poids 2 et B de poids 1, G sera de poids 3 et situé au tiers de [AB] à partir de A car 2GA + GB = 0 signifie que G est entre A et B et GB (longueur) est double de GA. Remarquer que l'on peut utiliser la formule de Chasles pour exprimer : 3GA + AB = 0, soit AG = 1/3 AB.

  Si O est un point quelconque, la relation barycentrique a1.GA1 + a2GA2+ ... an.GAn =  peut s'écrire, au moyen de la formule de Chasles en décomposant chaque GAi en OAi - OG :

On extrait de cette formule les coordonnées de G dans un repère quelconque d'origine O. Notons, pour simplifier m = a1 + a2 + ... an = Sai ("masse" totale du système) on aura :

 Calcul de la position d'une plaque ou d'un volume (centre d'inertie) :                  Leibniz

Le barycentre d'un système pondéré vérifie une intéressante propriété d'associativité :

Ssi a1+ a2+...+ ak est non nul, alors le barycentre de {(A1,a1), (A2,a2), ... ,(An,ak+1)} est {(G,a1+ a2+...+ ak),(Ak+1,ak+1)}où G désigne le barycentre du système {(A1,a1), (A2,a2), ... ,(Ak,ak)}.

Le centre de gravité d'un système de points géométriques est le barycentre de ces points tous affectés d'un même poids (coefficient) p non nul. Par définition du barycentre, on peut alors prendre p  = 1. On parle d'isobarycentre (iso = égal).

Le centre de gravité d'un système fini de points matériels peut ne pas être l'isobarycentre si ces points n'ont pas la même masse !

Voici en illustration de cette propriété fondamentale d'associativité et sans (trop de) commentaires deux constructions du centre de gravité d'un tétraèdre : on peut associer tout d'abord les 3 sommets de la base et poursuivre avec le 4ème; ou bien préférer associer deux paires de sommets consécutifs en procédant donc par isobarycentres successifs (les chiffres indiquent les poids) :

Étude du centre de gravité du triangle :                Orthocentre :               Tétraèdre orthocentrique :

Calcul de la position du centre de gravité (centre d'inertie) d'un solide, cas du demi-disque :

Lorsqu'une figure n'admet pas de centre de symétrie, la recherche du centre de gravité n'est pas évidente. Voici un résultat du génial Archimède, obtenu aujourd'hui au moyen du calcul intégral : le centre de gravité (centre d'inertie) d'un demi disque homogène est situé en G tel que :

Prouvons ce résultat en remarquant que la plaque admet (quand même...) un axe de symétrie. On choisit comme origine le point O, centre du disque définissant la demi-plaque. La formule précédente pour un nombre fini de points s'écrirait ici :

Dans ce cas continu, découpons la plaque en tranches infinitésimales parallèlement à Ox. à l'ordonnée y, une tranche d'épaisseur dy a une masse dmy fonction de y et proportionnelle à dy. La somme finie devient une intégrale (principe de l'intégrale de Riemann) :

Notre tranche est assimilable à un rectangle de largeur dy, de longueur Ly vérifiant (théorème de Pythagore) Ly = 2(R2 - y2).

Si r est la densité surfacique de la plaque homogène, la masse totale est rpR2. Celle de la demi-plaque est donc m = ½ pR2. La masse de la tranche est 2r(R2 - y2)dy. Finalement, nous aurons (noter que r s'élimine) :

soit :

Il est aussi pratique de passer par une voie trigonométrique. Avec les notations de la figure, on a y = Rsint, dy = Rcostdt et Ly = 2Rcost. La masse de la tranche est 2rydy, donc :

soit :

              C.Q.F.D.

Les théorèmes de Guldin facilitent la recherche d'un centre de gravité tout particulièrement s'il s'agit d'aires ou de volumes de révolution

Cas plus général du segment circulaire :       

Un résultat plus général concerne un segment circulaire. On connaît son aire étudiée à cette page, à savoir A  = ½R2(â - sin â), avec ici â = p - 2a. Ce qui fournit La masse totale est alors m = A (par homogénéité, on peut choisir r = 1. Excepté la masse totale m, on a les mêmes formules que précédemment mais ici t varie de a à p/2. On obtient alors :

Si a = 0, on retrouve la formule 4R/3p relative au demi-disque.

Lorsqu'il s'agit d'aires ou de volumes de révolution, Les théorèmes de Guldin facilitent la recherche d'un centre de gravité.          

  König , Möbius         

Trois exercices barycentriques :
1 niveau 2nde/1èreS              2 niveau1ère S               3 points M du plan tel que MA/MB = k  (1ère S)


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