ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Coordonnées barycentriques & homogènes  (géométrie affine)      
       barycentre d'un système de points pondérés

Dans son Calcul barycentrique (1827) Möbius est amené implicitement aux premières notions de calcul vectoriel. On lui doit (indépendamment de Chasles) la notion de droite orientée (axe), d'angle orienté de droites lorsqu'on a choisi dans le plan un sens positif de rotation et le concept de segment orienté AB d'un axe (qui sera dénommé vecteur par Hamilton) auquel on attribue une mesure algébrique, notée aujourd'hui   : une unité étant choisie sur l'axe, la mesure est positive si le sens de parcours de A vers B est celui choisi sur l'axe, négative sinon (il est inutile de préciser une origine de l'axe).

Avec nos notations modernes, plaçons-nous dans un plan affine et fixons-nous trois points I, J et K non alignés; notons M un point quelconque. Dans le plan de dimension 2, les trois vecteurs MI, MJ et MK ne peuvent être linéairement indépendants : il existe donc un triplet de réels (x,y,z) distinct de (o,o,o) tel que :

x.MI + y.MJ + z.MK =           (1)

M apparaît comme le barycentre du triplet pondéré {(I,x), (J,y), (K,z)}. La somme x + y + z est non nulle, sinon I, J et K sont alignés. Quitte à diviser par cette somme, on peut supposer x + y + z = 1 (normalisation) :

Le triplet (x,y,z), x + y + z = 1, constitue les coordonnées barycentriques de M
dans le repère affine (I,J,K).

On définirait de même les coordonnées barycentriques dans l'espace au moyen de 4 points I, J, K et L non coplanaires. Lorsque la somme n'est pas normalisée, un point M admet alors tout un système de coordonnées barycentriques, on parle parfois de coordonnées homogènes, comparables aux coordonnées projectives (également dites homogènes!).

Dans de tels systèmes de coordonnées, on ne privilégie pas une coordonnée par rapport à une autre comme on le fait généralement dans la représentation cartésienne classique : elles jouent toutes le même rôle et les équations des objets mathématiques apparaissent comme des expressions polynomiales homogènes des coordonnées.

Ces coordonnées sont invariantes par toute transformation affine (bijection affine) : le point image aura les mêmes coordonnées barycentriques. Cette propriété est d'ailleurs caractéristique.

Exemple : Considérons le rectangle BMAO. Quelles sont les coordonnées de M dans le repère cartésien (O,OA,OB) ? Rép : M(1,1). Quelles sont les coordonnées barycentriques de M dans le repère (A,O,B) ? Rép : MA + MB = MO, donc M(1,-1,1).

Noter que si l'on privilégie un point O du plan, la relation (1) peut s'écrire (avec x + y + z = 1) : OM = x.OI +y.OJ + z.OK rappelant la relation fondamentale des coordonnées cartésiennes de l'espace. Mais attention, ici : z dépend de x et y !

  Droite et coordonnées barycentriques :
a)
Vérifier que les coordonnées d'un vecteur MM' sont de la forme (x' - x, y' - y, z' - z).
b) Montrer que si A(a,b,c), B(a',b',c') et M(x,y,z) sont les coordonnées barycentriques de A, B et M dans un repère (I,J,K), alors :
M(AB) si et seulement si le déterminant d'ordre 3 du tableau de coordonnées est nul.
c) En déduire que l'équation barycentrique d'une droite est de la forme ux + vy + wz = 0
(polynôme
homogène de degré 1 en x, y et z).

Exercice :  Cercle et coordonnées barycentriques

  Plus difficile (on suppose connu le calcul matriciel élémentaire) : que dire d'un polynôme homogène de degré 2 de la forme :

ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2eyz  + 2fzx = 0   ?

Montrons (développement emprunté à Claude Tisseron : Géométries affine, projective et euclidienne, Éd. Hermann - Paris, 1983) qu'il s'agit de l'équation générale des coniques (dont le cercle). On sait, depuis Wallis, que l'équation :

φ(x,y) = ax2 + by2 + 2cxy + 2dx  + 2ey + f  = 0

est l'équation générale d'une conique (parabole, hyperbole, ellipse, cercle) dans un repère cartésien (O, Ox, Oy) du plan. Soit X la matrice unicolonne des coordonnées barycentriques de M(x,y,z) et Y celle de P(x,y,1).

Vérifier que l'on a :

Donc φ(x,y) = tYBCX = tXtCBCX car tY = t(CX) = tXtC.

La matrice B des coefficients de φ est symétrique, il en donc de même de la matrice A = tCBC et on a finalement :

On en déduit une nouvelle écriture pour φ(x,y) que nous notons f(x,y,z), avec x + y + z = 1 :

f(x,y,z) = αx2 + βy2 + γz2+ 2δxy + 2εyz  + 2ρzx  

où α = a, β = b + 2e + f, γ = f, δ = c + d, ε = e + f, ρ = d.

On peut interpréter ce résultat comme une forme quadratique d'un espace vectoriel E de dimension 3 sur R qui à tout vecteur X de coordonnées (x,y,z) associe q(X) = f(x,y,z).

Formes quadratiques et quadriques  :              Coordonnées homogènes de la géométrie projective :


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