ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

De MORGAN Augustus, anglais, 1806-1871         » Médaille A. de Morgan

Augustus de  Morgan naquit en Inde, à Madras, alors partie de l'empire britannique, quelques mois avant le retour de sa famille dont le père travaillait pour la compagnie des Indes orientales (East Indian Company fondée par la reine Elisabeth I en 1600). Il reçoit une éducation stricte au sein de collèges privés catholiques anglicans avant d'intégrer l'Oriel College d'Oxford puis le réputé Trinity College de l'université de Cambridge où la présence de Charles Babbage et de l'algébriste George Peacock le sensibilisent à l'algèbre et à la logique.

Il entame cependant des études d'avocat tout en continuant de s'intéresser aux mathématiques et postule finalement (1828) pour un poste d'enseignement des mathématiques à l'University College de Londres nouvellement créée (en 1826).

Ses travaux en logique mathématique seront brillamment améliorés par son compatriote et contemporain et autodidacte George Boole (qu'il encouragea dans cette voie) et, plus récemment par les américains Frege et Peirce. Ses principes et résultats sont utilisés aujourd'hui en technologie pour le fonctionnement des machines automatiques. De Morgan fut membre fondateur (1865) et (premier) président de la Société Mathématique de Londres (London Mathematical society).

Les expressions logiques de base :

Outre ses nombreuses publications en arithmétique et en algèbre, celles concernant la logique propositionnelle vont assurer sa réputation (On the study and difficulties of mathematics, 1831 et Formal logic or Calculus of Inference, Logique formelle ou Calcul de l'inférence), 10 publications de 1847 à 1863) : De Morgan apparaît comme précurseur de la logique formelle moderne que Leibniz désirait tant mettre en œuvre.

» Inférence : raisonnement consistant à prouver une proposition en tant que conséquence d'autres propositions préalablement démontrées.

Dans son traité de 1831, il utilise des représentations géométriques (triangle, carré, cercle) pour faire comprendre les lois logiques à la manière de Venn mais utilisés également par Euler et antérieurement encore (16è siècle) selon Venn lui-même. Le texte de De Morgan (1847) est remarquable par l'introduction d'un véritable langage symbolique dans le calcul des propositions. Dans sa Logique formelle, il écrit par exemple que :

« si P, Q et R sont trois propositions quelconques, si nous voulons donner un nom à ce qui est les trois à la fois, nous écrivons PQR; si nous voulons donner un nom à ce qui est l'une des trois, une ou plus de celles-ci (one or more of them), nous écrivons P,Q,R;  si nous voulons signifier à la fois P et Q, ou R, nous écrivons PQ,R ».

La négation de P (majuscule) est notée p (minuscule). La négation de PQ est alors pq. Inversement pq est la négation de P,Q.

Cette symbolique doit être susceptible d'exprimer tout syllogisme. à la manière d'Aristote, De Morgan définit quatre lois fondamentales, tant logiques qu'ensemblistes, dénommées A, E, I et O et montre que, par combinaison (21 formes), on peut obtenir toutes les formes du raisonnement déductif.

Elles sont cependant bizarrement choisis à l'instar de ceux qu'Hamilton avaient décrits en 1838 dans ses Lectures on logic, car si on leur adjoint la négation à laquelle il est fait allusion ci-dessus, les deux derniers I et O sont inutiles. Ci-dessous, X et Y sont des collections d'objets de la pensée (collection of objects of thought). Par "Aucun X n'est Y" (No X is Y), on comprendra "Aucun n'élément de X n'est un élément de Y " (source extrait ci-dessous : réf. 1) :

  1. Every X is Y : "Tout X est Y" s'écrit aujourd'hui : ∀x∈X , x∈Y. Au sens des ensembles X⊂Y.
  2. No X is Y : "Aucun X n'est Y" s'écrit : ∀x∈X , x∉Y ou encore ∀x∈X , x∈Y. Au sens des ensembles X⊂Y
  3. Some Xs are Ys : "Certains X sont Y" s'écrit : ∃ x∈X , x∈Y. Au sens des ensembles X∩Y ≠ Ø
  4. Some Xs are not Ys : "Certains X ne sont pas Y" s'écrit : ∃ x∈X , x∉Y. Au sens des ensembles X∩Y ≠ Ø

Si P(x) est un prédicat énoncé sur x, la négation de « ∀x, P(x) » que l'on peut lire : « quel que soit x, P(x) est vrai » est l'assertion « ∃ x , nonP(x) » que l'on peut lire : « il existe au moins un x pour lequel P(x) est faux ».

La négation de 1 est donc 4 et la négation de 2 est 3. Ces redondances vont embrouiller inutilement le langage logique déductif de De Morgan. Un de ses compatriotes et contemporains, George Boole, avec qui il correspondra, mettra de l'ordre dans tout cela avec la mise en place de son algèbre logique.

Lois de Morgan (plus justement de De Morgan) :

Si A et B sont deux propositions susceptibles d'être vraies ou fausses, notons nonA (resp. nonB) la négation de A (resp. de B). On nomme lois de Morgan, les deux lois usuelles de logique propositionnelle :

  1. non (A ou B) = (nonA) et (non B)   nier A ou B, c'est nier A et nier B  (ni A ni B)
    Par exemple, dire que x = ±1 est faux, c'est dire x ≠ 1 et x ≠ -1
  2. non (A et B) = (non A) ou (non B)  nier la coexistence de A et de B, c'est nier A ou nier B
    Par exemple, dire que x est divisible par 2 et par 3 est faux, c'est dire que x est non divisible par 2 ou que x est non divisible par 3

Les égalités ci-dessus sont en fait des équivalences logiques :

au lieu de « égale » on peut lire « revient à dire »

On note généralement ces équivalences au moyen du symbole logique ↔ ou ⇔ (notation de Bourbaki) : dans un raisonnement, il est loisible de remplacer toute proposition A par une proposition B équivalente à A.

 ➔    Dans le langage des ensembles de Cantor, la négation de A s'identifie au complémentaire A de A les lois de Morgan s'écrivent :

 A ou B = A et B  ,  A et B = A ou B.

Ou exclusif, Tables de vérité : »

Règle de dualité de Morgan :    

Pour tout relation propositionnelle contenant des ou et des et, on obtient une autre relation valide en échangeant les et en ou et les ou en et.

∗∗∗
Vérifier ces règles de dualité en prouvant d'une part A et (B ou C) = (A et B) ou (A et C),
d'autre part A ou (B et C) = (A ou B) et (A ou C)

Implication, Contraposée :

L'implication logique, Si A alors B pour exprimer que si A est vrai, alors B l'est aussi est notée ⇒ (notation de Bourbaki). Elle constitue le principe fondamental du raisonnement déductif : j'ai telle hypothèse H, je déduis tel résultat R.

 ➔   On parle aussi parfois d'implication contraposée (le modus tollendo tollens ou modus tollens en latin : manière de nier en niant) :

Les proposition (H ⇒ R) et (nonR ⇒ nonH) sont équivalentes

On vérifiera cela facilement au moyen d'une table de vérité. Autrefois, on parlait de théorèmes contraires lorsqu'au lieu d'énoncer A ⇒ B, on énonçait nonB ⇒ nonA. Ce qui prêtait grandement à confusion, puisqu'en fait, on énonçait la même chose !

Tout multiple de 6 est
divisible par 2

 ⇔  

Un nombre non divisible par 2 n'est pas multiple de 6

L'usage de la proposition contraposée peut s'avérer plus simple lors de la recherche de la preuve d'un énoncé :

∗∗∗
Vérifier que la disjonction exclusive (ou exclusif) notée ici ex est la négation de l'équivalence : (A ex B) ⇔ non(A ⇔ B)

 Raisonnement par réduction à l'absurde : »

Tautologie :

Une proposition peut se révéler logiquement vraie quels que soient les éléments propositionnels qui la composent, on parle alors de tautologie du grec tauto = le même et logos = discours. Dans le langage courant, on qualifie de tautologie une affirmation apparaissant comme une redite évidente sur un sujet donné.

 ➔   En termes de table de vérité, la colonne de la tautologie ne contient que des V (ou des 1 suivant l'option choisie).

∗∗∗
Montrer que le principe du tiers exclu affirmant P ou nonP est une tautologie équivalente à P ⇒ P

Au sein d'une théorie mathématique, on remarquera qu'un axiome ou un théorème peut être considéré comme une tautologie. Il faut sous-entendre ici que la théorie est consistante (» Gödel) : elle ne contient pas d'axiomes incompatibles (engendrant des contradictions : invalidation d'un autre axiome ou d'un théorème déjà prouvé).

Autres travaux :

Notons que l'on doit à De Morgan l'usage (1845) de la notation a/b (usage du solidus = barre oblique, également appelé slash) pour désigner le quotient de a par b qui fut très rapidement adoptée.

La notation fractionnaire , qu'utilisèrent certains mathématiciens indiens et arabes, fut systématisée par Oresme.

Rappelons ici que l'on doit à Leibniz la notation a : b (division ou écriture fractionnaire) et la multiplication implicite : ab au lieu de a × b. De Morgan imposera aussi l'usage du point décimal qu'avait utilisé Neper : 23/10 = 2.3 (soit 2,3 pour l'exception française).

 Rahn et notations de la division : »         Opérations sur les fractions, les pièges des notations : »


Trinity College

Médaille De Morgan :  

Instituée par la London Mathematical Society, cette médaille fut créée en l'honneur de d'Abraham de Morgan qui fut son premier président et cofondateur.  Elle est décernée tous les trois ans par la LMS à un mathématicien résidant au Royaume Uni au 1er janvier de l'année de son octroi (comme la taxe d'habitation...). Le premier récipiendaire fut James S. Sylvester. Le mathématicien allemand Felix Klein la reçut en 1893. On pourra consulter la liste complète des récipiendaires sur le site de la LMS à la page List of LMS prize winners.

» Prix Polya

 ➔   Pour en savoir plus :

Hamilton  Stern
© Serge Mehl - www.chronomath.com