Morgan Augustus

Augustus de Morgan étudia au Trinity College de Cambridge (fondé par Henri VIII en 1546, le plus réputé de son université) où la présence de Babbage et de l'algébriste George Peacock (1791-1858) le sensibilise à l'algèbre et à la logique.

Il entame cependant des études d'avocat mais postule finalement (1828) pour un poste d'enseignement des mathématiques à l'University College de Londres nouvellement créée (en 1826).

De Morgan fut membre fondateur (1865) et président de la Société Mathématique de Londres (London Mathematical society).

Ses travaux seront brillamment améliorés par son compatriote et contemporain Boole (qu'il encouragea dans cette voie) et, plus récemment par les américains Frege et Peirce. Ses principes et résultats sont utilisés aujourd'hui en technologie pour le fonctionnement des machines automatiques.

Outre ses nombreuses publications en arithmétique et en algèbre, celles concernant la logique propositionnelle vont assurer sa réputation (On the study and difficulties of mathematics, 1831 et Formal logic or Calculus of Inference, Logique formelle ou Calcul de l'inférence), 10 publications de 1847 à 1863) : De Morgan apparaît comme précurseur de la logique formelle moderne que Leibniz désirait tant mettre en oeuvre.

Inférence : raisonnement consistant à prouver une proposition en tant que conséquence d'autres propositions préalablement démontrées.

Dans son traité de 1831, il utilise des représentations géométriques (triangle, carré, cercle) pour faire comprendre les lois logiques à la manière de Venn mais utilisés également par Euler et antérieurement encore (16è siècle) selon Venn lui-même. Le texte de De Morgan (1847) est remarquable par l'introduction d'un véritable langage symbolique dans le calcul des propositions. Dans sa Logique formelle, il écrit par exemple que :

« si P, Q et R sont trois propositions quelconques, si nous voulons donner un nom à ce qui est les trois à la fois, nous écrivons PQR; si nous voulons donner un nom à ce qui est l'une des trois, une ou plus de celles-ci (one or more of them), nous écrivons P,Q,R; si nous voulons signifier à la fois P et Q, ou R, nous écrivons PQ,R ».

La négation de P (majuscule) est notée p (minuscule). La négation de PQ est alors p,q. Inversement pq est la négation de P,Q.

Elles doivent être susceptibles d'exprimer tout syllogisme. à la manière d'Aristote, De Morgan définit quatre lois fondamentales, tant logiques qu'ensemblistes, dénommées A, E, I et O et montre que, par combinaison (21 formes), on peut obtenir toutes les formes du raisonnement déductif.

Elles sont cependant bizarrement choisis à l'instar de ceux qu'Hamilton avaient décrits en 1838 dans ses Lectures on logic, car si on leur adjoint la négation à laquelle il est fait allusion ci-dessus, les deux derniers I et O sont inutiles.

Ci-dessous, X et Y sont des collections d'objets de la pensée (collection of objects of thought). Par "Aucun X n'est Y" (No X is Y), on comprendra "Aucun n'élément de X n'est un élément de Y " (source extrait ci-dessous : réf. 1) :

L'assertion "Tout X est Y" est noté X)Y, au sens des ensembles c'est XY
L'assertion "Aucun X n'est Y" est noté X.Y, au sens des ensembles c'est XY.
L'assertion "Certains X sont Y" est noté XY. Ne serait-ce pas là le contraire de ...?
L'assertion "Certains X ne sont pas Y" est noté X:Y. Ne serait-ce pas là le contraire de ...?

Ces redondances vont embrouiller inutilement le langage logique déductif de De Morgan. Un de ses compatriotes et contemporains, George Boole, avec qui il correspondra, mettra de l'ordre dans tout cela avec la mise en place de son algèbre logique.

Si A et B sont deux propositions susceptibles d'être vraies ou fausses, notons nonA (resp. nonB) la négation de A (resp. de B). On nomme lois de Morgan, les deux lois usuelles de logique propositionnelle :

On note généralement ces équivalences au moyen du symbole logique

(double implication) : dans un raisonnement, il est loisible de remplacer toute proposition A par une proposition B équivalente à A.

Pour tout relation propositionnelle contenant des ou et des et, on obtient une autre relation valide en échangeant les et en ou et ou en et.

Vérifier ces règles de dualité en prouvant d'une part A et (B ou C) = (A et B) ou (A et C),
d'autre part A ou (B et C) = (A ou B) et (A ou C)

L'implication logique, Si A alors B pour exprimer que si A est vrai, alors B l'est aussi est notée

(notation de Bourbaki). Elle constitue le principe fondamental du raisonnement déductif : j'ai telle hypothèse H, je déduis tel résultat R. L'implication peut s'exprimer au moyen de la négation et de la disjonction (

Frege).

Tout nombre entier pair
est le double d'un entier

peut se
traduire par

Si n est un entier pair alors il existe un entier k tel que n = 2k

On parle aussi parfois d'implication contraposée (le modus tollendo tollens ou modus tollens en latin : manière de nier en niant) : il est équivalent dire H

R et nonR

nonH

Autrefois, on parlait de théorèmes contraires lorsqu'au lieu d'énoncer A

B, on énonçait nonB

nonA. Ce qui prêtait grandement à confusion, puisqu'en fait, on énonçait la même chose !

Tout multiple de 6 est
divisible par 2

est équivalent
à

Un nombre non divisible par 2 n'est pas multiple de 6

L'usage de la proposition contraposée peut s'avérer plus simple lors de la recherche de la preuve d'un énoncé.

Vérifier que la disjonction exclusive (ex) est la négation de l'équivalence : (A ex B)

non(A

Une proposition peut se révéler logiquement vraie quels que soient les éléments propositionnels qui la composent, on parle alors de tautologie du grec tauto = le même et logos = discours.

En termes de table de vérité, la colonne de la tautologie ne contient que des V (ou des 1 suivant l'option choisie).

Au sein d'une théorie mathématique, une tautologie est soit un axiome soit un théorème : propriété qui est conséquence des axiomes ou d'un théorème préalablement établi. Il faut sous-entendre ici que la théorie est consistante (

Gödel) : elle ne contient pas d'axiomes incompatibles (engendrant des contradictions : invalidation d'un autre axiome ou d'un théorème déjà prouvé).

Dans le langage courant, on confond parfois tautologie et pléonasme : la tautologie exprime plusieurs arguments équivalents d'une même pensée alors que le pléonasme consiste à compléter une pensée déjà complète ! La trivialité au sens propositionnel est également à distinguer de la tautologie. En mathématiques, on parle de résultat (ou proposition) trivial(e) pour exprimer l'idée qu'il est (qu'elle est) d'une rare simplicité à démontrer ou bien que ce résultat (ou proposition) n'a pas grand intérêt.

1. Montrer que le principe du tiers exclu P ou nonP st une tautologie équivalente à P

P
2. Montrer au moyen d'une table de vérité que le syllogisme aristotélicien, pouvant s'écrire
[P et (P

Q)]

Q est une tautologie.

Notons que l'on doit à De Morgan l'usage (1845) de la notation a/b (usage du solidus = barre oblique, également appelé slash) pour désigner le quotient de a par b qui fut très rapidement adoptée.

La notation fractionnaire

, qu'utilisèrent certains mathématiciens indiens et arabes, fut systématisée par Oresme.

Rappelons ici que l'on doit à Leibniz la notation a : b (division ou écriture fractionnaire) et la multiplication implicite : ab au lieu de a x b. De Morgan imposera aussi l'usage du point décimal qu'avait utilisé Neper : 23/10 = 2.3 (soit 2,3 pour l'exception française).