ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 GIBBS Josiah Willard,
américain, 1839-1903 |
Ingénieur
et physicien, docteur en ingénierie (1863) portant sur la forme des
engrenages.
Travaux en chimie, thermodynamique et mécanique statistique.
Il enseigna la physique mathématique à
l’université de Yale (USA) dès 1871.
On doit à Gibbs la loi des phases régissant le nombre d'équilibres de la matière sous ses divers états possibles (l'eau par exemple possède trois états : liquide, solide et vapeur).
Fondateur d'une théorie moderne de la thermodynamique, Gibbs fut le fer de lance du calcul calcul vectoriel et de la notoriété de l'école mathématique des États-Unis qui prendra une dimension internationale dans les années 1920.
C'est ainsi que suite aux travaux de Grassmann et Hamilton dont les notations de ce dernier lui apparaissaient malaisées, voire alambiquées..., et afin de développer une théorie électromagnétique de la lumière, on lui doit, avec Heaviside, les notations modernes de l'algèbre et de l'analyse vectorielle (Elements of vector analysis, Yale University - 1881) appliquées à l'espace usuel euclidien de dimension 3. Ainsi naquit le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace :
|
Produit vectoriel : |
L'espace euclidien réel
(identifié à R3) étant
orienté dans le sens direct usuel, le produit
vectoriel du vecteur u(x,y,z) par le vecteur v(x',y',z') est le vecteur noté u
v : (
notations de Gibbs)
v (yz' - zy', zx' - xz', xy' - yx')Dans une base (i, j, k) de l'espace, on peut écrire, de façon pratique et symbolique, en utilisant un déterminant d'ordre 3 que :
Le vecteur produit est nul si u
et v
sont colinéaires (même direction). Sinon, c'est un
vecteur normal au plan (u,v)
dont le sens est obtenu par la règle des trois doigts
(dite aussi du bonhomme d'Ampère) :
u
= pouce, v
= index et u
v =
majeur. Quelques contorsions permettent de comprendre dans quel
sens sera u
v ...
Eu
égard au tableau de coordonnées ci-dessus, deux
vecteurs de l'espace sont donc (linéairement)
indépendants
(ils forment un système libre) si l'un au moins des
déterminants formés sur leur tableau de
coordonnées est non nul : ils engendrent alors un plan
vectoriel. Dans le cas contraire, on dit qu'ils forment un
système
lié.
v) est une base de l'espace.
v) est une base orthonormée de l'espace.Noter que
v
u
= - u
v :
on dit que le produit vectoriel est anticommutatif.
Il en est de même de la soustraction élémentaire; en effet b - a = - (a - b).
Il est utile de remarquer et de retrouver facilement par permutations circulaires que :
|
Norme du produit vectoriel et aire du triangle : |
On démontre que l'on a :
|| u
v || = || u
||
|| v
|||sin(u,v)|
preuve
Or, dans un triangle ABC, l'aire est ½ABh
où h désigne la hauteur issue de C. On a donc h = ACsin(AB,
AC). C'est dire que l'aire du triangle ABC est donnée par la formule :
½ ||AB
AC ||
C'est aussi dire que la norme
du produit vectoriel u
v est égale à l'aire du parallélogramme formé sur
les deux vecteurs u
et
v.
Une belle (à mon avis...) application du produit
vectoriel
Le produit
vectoriel n'est pas associatif : en général
(u
v)
w n'est pas
égal à u
(v
w), comme le montre l'exemple suivant construit
sur les vecteurs de base : (i
i)
j = 0
k = 0 alors que i
(i
j) = i
k = -j.
Premières notions de vecteur :
Espace vectoriel,
base, indépendance linéaire :
Quant au produit scalaire de deux vecteurs u (x,y,z) et v (x',y',z') de l'espace, c'est le nombre :
v
= xx'+ yy' + zz'Sa nullité exprime l'orthogonalité des deux vecteurs u et v .
Pour
le produit vectoriel, Gibbs utilisa la croix
( x
) en usage de nos jours aux
Etats-Unis, ainsi que les crochets
[v,w]. La notation
est due à Burali-Forti.
L'usage du point gras () pour le produit scalaire est
également dû à Gibbs (Elements of vector analysis, 1881).
Produit scalaire, norme :
Afin d'éviter des ambiguïtés, Gibbs écrivait les vecteurs en caractères grecs et les
scalaires en caractères latins, ce qui donnerait par exemple :
a = kb x
g. En anglais, on parle d'ailleurs de dot product
pour le produit scalaire et de cross product pour le produit
vectoriel. Grassmann, lui, utilisa la croix
( x
) pour le produit scalaire.
|
Identité de Jacobi : |
u, v et w : u
(v
w) + v
(w
u) + w
(u
v) = 0
La preuve de ce résultat utilise la formule de Gibbs.
Algèbre de Maltsev :
Algèbre
de Clifford :
|
Produit mixte : |
On a vu le lien étroit entre les coordonnées du produit vectoriel et l'usage des déterminants. Dans la formule symbolique :
si nous remplaçons (i, j, k) par un vecteur w(x",y",z"), on obtient :
Le déterminant
du triplet de vecteurs (u,v,w) apparaît alors comme le produit
scalaire w (u
v)
de w par le produit vectoriel de u
et
v. Vérifier que l'on a alors, par
permutation circulaire, les égalités :
u (v
w) = v (w
u) = w (u
v)
et aussi, le produit scalaire étant commutatif :
(u
v)
w =
(v
w)
u = w (u
v)
On peut donc déplacer les () sans changer la valeur des produits. Ces valeurs communes sont appelées produit mixte de u, v, et w (dans cet ordre) et on le note alors généralement [u,v,w] :
[u,v,w] =
(u
v)
w
On remarquera que la
permutation de deux des vecteurs du produit mixte change le signe de celui-ci.
Par exemple :
[u,v,w] = -[w,v,u]
Interprétation géométrique :
Par définition du produit scalaire, la valeur
absolue de [u,v,w] est égale à ||
u
v || par la mesure de la projection de w sur u
v. Mais la mesure de cette projection n'est autre que la hauteur
du parallélépipède formé sur u, v et w
lorsque u et v en définissent la base.
C'est dire,
qu'en valeur absolue, le produit mixte [u,v,w]
représente le volume du parallélépipède formé sur u, v
et w. Et on notera que le produit mixte est nul si et seulement si
les vecteurs u, v
et w sont coplanaires (en particulier si l'un est nul).
| Formule de Gibbs : |
Les symboles
,
et
. (simple point) désignant respectivement le produit
vectoriel, le produit scalaire et la
multiplication par un scalaire, on a :
u
(v
w) = (uw).v
- (uv).w
Prouver ce résultat en construisant une base
orthonormée judicieuse
| Autres travaux : |
En tant que physicien,
Gibbs fut amené
à constater la "mauvaise" convergence des séries de
Fourier
de certaines fonctions au voisinage d'un point de
discontinuité. Ce phénomène, due à
l'absence de convergence uniforme est parfois dit de
Gibbs.
On lui doit aussi une thèse sur la denture des engrenages.
Peirce
Charles S.