ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GIBBS Josiah Willard, américain, 1839-1903

Ingénieur et physicien, docteur en ingénierie (1863) portant sur la forme des engrenages. Travaux en chimie, thermodynamique et mécanique statistique. Il enseigna la physique mathématique à l'université de Yale (USA) dès 1871.

On doit à Gibbs la loi des phases régissant le nombre d'équilibres de la matière sous ses divers états possibles (l'eau par exemple possède trois états : liquide, solide et vapeur).

Fondateur d'une théorie moderne de la thermodynamique, Gibbs fut le fer de lance du calcul calcul vectoriel et de la notoriété de l'école mathématique des États-Unis qui prendra une dimension internationale dans les années 1920.

C'est ainsi que suite aux travaux de Grassmann et Hamilton dont les notations de ce dernier lui apparaissaient malaisées, voire alambiquées..., et afin de développer une théorie électromagnétique de la lumière, on lui doit, avec Heaviside, les notations modernes de l'algèbre et de l'analyse vectorielle (Elements of vector analysis, Yale University - 1881) appliquées à l'espace usuel euclidien de dimension 3. Ainsi naquit le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace :

L'espace euclidien réel (identifié à R³) étant orienté dans le sens direct usuel, le produit vectoriel du vecteur u(x,y,z) par le vecteur v(x',y',z') est le vecteur noté u ∧ v :    (» notations de Gibbs)

Dans une base (i, j, k) de l'espace, on peut écrire, de façon pratique et symbolique, en utilisant un déterminant d'ordre 3 que :

         (pv)

Le vecteur produit est nul si u et v sont colinéaires (même direction). Sinon, c'est un vecteur normal au plan (u,v) dont le sens est obtenu par la règle des trois doigts (dite aussi du bonhomme d'Ampère) : u = pouce, v = index et u ∧ v  = majeur. Quelques contorsions permettent de comprendre dans quel sens sera u ∧ v ...

 ➔  Eu égard au tableau de coordonnées ci-dessus, deux vecteurs de l'espace sont donc (linéairement) indépendants (ils forment un système libre) si l'un au moins des déterminants formés sur leur tableau de coordonnées est non nul : ils engendrent alors un plan vectoriel. Dans le cas contraire, on dit qu'ils forment un système lié.

• Si u  et v  sont libres, alors (u , v , u ∧ v) est une base de l'espace.
• Si u  et v  sont orthogonaux et unitaires, alors (u , v , u ∧ v) est une base orthonormée directe de l'espace.

La notion de repère direct issue de l'astronomie : »

Noter que v ∧ u  = - u ∧ v  : on dit que le produit vectoriel est anticommutatif. Il en est de même de la soustraction élémentaire; en effet b - a = - (a - b).

Il est utile de remarquer et de retrouver facilement par permutations circulaires que :

• i ∧ j = k , j ∧ k = i, k ∧ i = j et, par anticommutativité :

• j ∧ i = -k , k ∧ j = -i, i ∧ k = -j

On démontre que l'on a :

|| u ∧ v || = || u || × || v || × |sin(u,v)|                » preuve

Or, dans un triangle ABC, l'aire est ½AB × h où h désigne la hauteur issue de C. On a donc h = AC × sin(AB, AC). C'est dire que l'aire du triangle ABC est donnée par la formule :

½ || AB ∧ AC ||

C'est aussi dire que :    

• La norme du produit vectoriel u ∧ v est égale à l'aire du parallélogramme formé sur les deux vecteurs u et v.

• Dans le plan (faire z = z' = 0) dans la formule du produit vectoriel), l'aire d'un triangle ABC n'est autre que :

  ½ |det(AB, AC)|

∗∗∗  Une belle (à mon avis...) application du produit vectoriel

 !   Le produit vectoriel n'est pas associatif : en général (u ∧ v) ∧ w n'est pas égal à u ∧ (v ∧ w), comme le montre l'exemple suivant construit sur les vecteurs de base : (i ∧ i) ∧ j = 0 ∧ k = 0 alors que i ∧ (i ∧ j) = i ∧ k = -j.

Premières notions de vecteur : »            Espace vectoriel, base, indépendance linéaire : »

Quant au produit scalaire de deux vecteurs u (x,y,z) et v (x',y',z') de l'espace, c'est le nombre  :

u.v  = xx'+ yy' + zz'   (également souvent noté <u,v>)

Sa nullité exprime l'orthogonalité des deux vecteurs u  et v .

 ➔   Pour le produit vectoriel, Gibbs utilisa la croix (×) en usage de nos jours aux Etats-Unis, ainsi que les crochets [v,w]. La notation circonflexe (˄) est due à Burali-Forti. L'usage du point gras (.) pour le produit scalaire est également dû à Gibbs (Elements of vector analysis, 1881).

Produit scalaire, norme : »

Afin d'éviter des ambiguïtés, Gibbs écrivait les vecteurs en caractères grecs et les scalaires en caractères latins, ce qui donnerait par exemple : α = k.β × γ : α est k fois le produit vectoriel de  β par γ. En anglais, on parle d'ailleurs de dot product (produit point) pour le produit scalaire et de cross product (produit croix) pour le produit vectoriel. Grassmann, lui, utilisa la croix (×) pour le produit scalaire.

∀ u, v et w :  u ∧ (v ∧ w) + v ∧ (w ∧ u) + w ∧ (u ∧ v)  = 0         

La preuve de ce résultat utilise la formule de Gibbs.

On a vu le lien étroit entre les coordonnées du produit vectoriel et l'usage des déterminants. Dans la formule symbolique :

si nous remplaçons (i, j, k) par un vecteur w(x",y",z"), on obtient :

Le déterminant du triplet de vecteurs (u,v,w) apparaît alors comme le produit scalaire w.(u ∧ v) de w par le produit vectoriel de u  et v. Vérifier que l'on a alors, par permutation circulaire, les égalités :

u.(v ∧ w) = v.(w ∧ u) = w.(u ∧ v)

et aussi, le produit scalaire étant commutatif :

(u ∧ v).w = (v ∧ w).u = w.(u ∧ v)

On peut donc déplacer les () sans changer la valeur des produits. Ces valeurs communes sont appelées produit mixte de u, v, et w (dans cet ordre) et on le note alors généralement [u,v,w] :

[u,v,w] = (u ∧ v).w

On remarquera que la permutation de deux des vecteurs du produit mixte change le signe de celui-ci. Par exemple :

[u,v,w] = -[w,v,u]

Interprétation géométrique :       

Par définition du produit scalaire, la valeur absolue de [u,v,w] est égale à || u ∧ v || par la mesure de la projection de w sur u ∧ v. Mais la mesure de cette projection n'est autre que la hauteur du parallélépipède formé sur u, v et w lorsque u et v en définissent la base.

 ➔   C'est dire, qu'en valeur absolue, le produit mixte [u,v,w] représente le volume du parallélépipède formé sur u, v et w. Et on notera que le produit mixte est nul si et seulement si les vecteurs u, v et w sont coplanaires (en particulier si l'un est nul).

Les symboles ∧ , < >  et . désignant respectivement le produit vectoriel, le produit scalaire et la multiplication par un scalaire, on a :

•  En tant que physicien, Gibbs fut amené à constater la "mauvaise" convergence des séries de Fourier de certaines fonctions au voisinage d'un point de discontinuité. Ce phénomène, due à l'absence de convergence uniforme est parfois dit de Gibbs.

•  On lui doit aussi une thèse sur la denture des engrenages.

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Jordan  Peirce Charles S.

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