ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une fonction définie par une intégrale #1        niveau sup            » dérivation sous le signe somme | #2 | Logarithme intégral

On considère la fonction numérique définie pour tout x réel par :

1°) Justifier que F est continue et dérivable sur R. Exprimer F'(x).

2°) On se restreint désormais à l'intervalle [0,π]. Justifier que F est strictement décroissante sur cet intervalle.

3°) Calculer F(0) et justifier que F(π/2) est strictement positif.

4°) On se propose de prouver que F admet un unique zéro sur l'intervalle [π/2,π]. F étant continue et strictement décroissante sur cet intervalle, il suffit de prouver que F(π) est négatif.

a) Justifier que l'on peut écrire :

b) Étudier et représenter graphiquement les variations (repère orthonormé, 2cm d'unité) de la fonction g définie par g(x) = cos(πsinx) sur l'intervalle [0,π/2]. On calculera g(0), g(π/6), g(π/2). On appellera (C) la courbe obtenue.

5°) Le graphique semble clairement indiquer que l'intégrale de g sur l'intervalle [0,π/2] est négative car l'aire correspondant à la "partie positive" de (C) sur cet intervalle est manifestement inférieure à celle correspondant à la "partie négative". Prouvons-le :

a)  La tangente à (C) en x = π/6 coupe l'axe des ordonnées en A(0,k). Vérifier que k = π²√3/12 et justifier que l'aire du triangle mixtiligne compris entre la courbe, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées est inférieure à 0,373 unités d'aire.

b) Calculer g(1) et vérifier que l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation x = 1 et x = π/2 est supérieure à 0,50.

Conclure.

1°) Posons f(x,t) = cos(x sint), f est une fonction continue de x et de t pour tout x et t. De plus, f est continûment dérivable sur R par rapport à x, puisque _f'x(x,t) = -sint.sin(xsint). Par conséquent, on peut affirmer que F est dérivable sur R et que sa dérivée est l'intégrale sur [0,π] de f '_x(x,t) : » dérivation sous le signe somme

2°) Sur [0,π], on a sin t ≥ 0, compris entre 0 et 1 et strictement positif sur ]0,π[. D'où xsin t compris entre 0 et π et enfin sin(xsin t) compris entre 0 et 1 et strictement positif sur ]0,π[. L'intégrale d'une fonction strictement positive est strictement positive, d'où F'(x) < 0 sur ]0,π[ avec F'(0) = 0 : F décroît strictement sur [0,π].

3°) F(0) = π. Lorsque x = π/2 , t variant dans l'intervalle [0,π], sin t varie entre 0 et 1, donc ½πsin t varie continûment entre 0 et π/2. C'est dire que f(½π,t) = cos(½π sint) est strictement positive sauf en t = π/2 où elle est nulle. Par conséquent F(0) > 0.

4°) a) On a :

Dans la seconde intégrale, posons u = π - t. L'intervalle d'intégration devient [π/2,0] et on a dt = -du et sin t = sin u, d'où le résultat attendu.

b) g'(x) = -πcosx sin(πsinx). Par composition et produit, on obtient sans difficulté le signe de g' : strictement négative et nulle en 0. On en déduit la stricte décroissance de la fonction g avec g(0) = 1, g(π/6) = 0 et g(π/2) = - 1.

5°) a) g'(π/6) = -πcos(π/6)sin[πsin(π/6)] = -π√3/2. La tangente en π/6 a alors pour équation :

y - 0 = (x - π/6)(-π√3/2) = -πx√3/2 + π²√3/12.

D'où k = π²√3/12 = 0,3729... < 0,37.

b) g(1) = cos(πsin1). L'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation x = 1 et x = π/2 contient le rectangle d'aire (π/2 - 1) × |g(1)|, soit sensiblement 0,50 : ce nombre l'emporte négativement sur la valeur 0,37 précédente : on peut donc conclure que F(π) est strictement négatif . La continuité de F permet donc d'affirmer qu'elle possède un unique zéro entre π/2 et π.