ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul de π par développement en série #3 selon Gregory      #1 , #2
    Programme JavaScript             version Tableur , variante plus efficace #4

On prouve ici la validité du développement en série de atn x (Arc tangente) obtenu par Gregory (et par Leibniz), à savoir :

On connaît le résultat élémentaire selon lequel, pour tout x de l'intervalle ]-1,+1[, on peut écrire :

           série géométrique

Selon le critère établi par Leibniz, cette série alternée converge car le module de son terme général, à savoir xn tend vers 0 en décroissant (du fait que | x | < 1). Écrivons cette série en remplaçant x par x2. Sous la condition x2 < 1, on a alors :

Nous sommes en présence d'une série entière de rayon de convergence 1, donc uniformément convergente sur ]-1,+1[. On peut donc intégrer terme à terme dans [0,x], -1 < x <1 et obtenir

Ce qu'il fallait démontrer.

Notons un(x) le terme général de la série obtenue et considérons le cas litigieux x = 1, borne positive de l'intervalle de convergence :

La suite des |un(1)| tend manifestement vers 0 en décroissant. On peut encore appliquer le critère de Leibniz : la série |un(1)| est convergente et l'application d'un théorème d'Abel permet d'écrire par continuité :

Programmation de la méthode en JavaScript :

Dans ce programme :

 fonctions mathématiques usuelles

La convergence vers π = 4atn(1) est en 2/n, donc très lente. On sait depuis Leibniz que le reste d'une série alternée est, en valeur absolue, inférieur au premier terme négligé. C'est dire que pour obtenir une précision de 10-5 dans le développement de π, soit π = 3,14159, il nous faudrait sommer jusqu'à n = 200 000.

Pour obtenir la précision des calculatrices de poche actuelles, soit généralement 10-10 et π = 3,1415926535, il faudrait étendre la sommation à n = 20 000 000 000 ! Mais, comme justifiée dans la version tableur, une accélération de la convergence est obtenue en prenant comme valeur approchée de π la moyenne arithmétique de deux approximations consécutives π1 et π2, l'erreur est alors inférieure à | π1 - π2 |/2.



<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function piGreg()
{
n=0;p1=1;sgn=1;
while(1)
{
n++;sgn=-sgn;
p2=p1+sgn/(2*n+1);
if(n%1000==0)
{
pi=2*(p1+p2);
err=Math.abs(p2-p1)/2;
if(!confirm("n = "+n+" , pi = "+pi+"\n"+"Err max = "+err)) return
}
p1=p2;
}
}
</SCRIPT>

 Variante plus efficace :                 Autres calculs de π dans ChronoMath :


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