Calcul de pi selon Gregory

On prouve ici la validité du développement en série de atn x (Arc tangente) obtenu par Gregory (et par Leibniz), à savoir :

On connaît le résultat élémentaire selon lequel, pour tout x de l'intervalle ]-1,+1[, on peut écrire :

Selon le critère établi par Leibniz, cette série alternée converge car le module de son terme général, à savoir xⁿ tend vers 0 en décroissant (du fait que | x | < 1). Écrivons cette série en remplaçant x par x². Sous la condition x² < 1, on a alors :

Nous sommes en présence d'une série entière de rayon de convergence 1, donc uniformément convergente sur ]-1,+1[. On peut donc intégrer terme à terme dans [0,x], -1 < x <1 et obtenir

Notons u_n(x) le terme général de la série obtenue et considérons le cas litigieux x = 1, borne positive de l'intervalle de convergence :

La suite des |u_n(1)| tend manifestement vers 0 en décroissant. On peut encore appliquer le critère de Leibniz : la série Σ|u_n(1)| est convergente et l'application d'un théorème d'Abel permet d'écrire par continuité :

Dans ce programme :

la suite d'instructions if(!confirm(message) return exprime que si l'utilisateur clique sur le bouton "Annuler", le programme est arrêté. D'une façon générale, en JavaScript , le ! exprime la négation.
l'instruction a%b retourne le reste de la division euclidienne de a par b. Par exemple r = 17%5 fournit r = 2.

» fonctions mathématiques usuelles

La convergence vers π = 4 × atn(1) est en 2/n, donc très lente. On sait depuis Leibniz que le reste d'une série alternée est, en valeur absolue, inférieur au premier terme négligé. C'est dire que pour obtenir une précision de 10^-5 dans le développement de π, soit π = 3,14159, il nous faudrait sommer jusqu'à n = 200 000.

Pour obtenir la précision des calculatrices de poche actuelles, soit généralement 10-10 et π = 3,1415926535, il faudrait étendre la sommation à n = 20 000 000 000 ! Mais, comme justifiée dans la version tableur, une accélération de la convergence est obtenue en prenant comme valeur approchée de π la moyenne arithmétique de deux approximations consécutives π1 et π2, l'erreur est alors inférieure à | π1 - π2 |/2.

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function piGreg()
{
n=0;p1=1;sgn=1;
while(1)
{
n++;sgn=-sgn;
p2=p1+sgn/(2*n+1);
if(n%1000==0)
{
pi=2*(p1+p2);
err=Math.abs(p2-p1)/2;
if(!confirm("n = "+n+" , pi = "+pi+"\n"+"Err max = "+err)) return
}
p1=p2;
}
}
</SCRIPT>