ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GRANDI Guido Luigi, italien, 1671-1742

Né à Cremone, ce moine philosophe étudia les mathématiques, empreintes de mysticisme, auprès de Saccheri. Professeur dans un monastère à Florence, il s'intéresse à la physique et aux travaux de Huygens et de Newton et fut intendant des eaux de Toscane. Concernant le calcul différentiel et intégral, il prit le parti de Leibniz et contribua à introduire ses méthodes différentielles en Italie. Nommé à l'université de Pise (1714), il conservera ce poste jusqu'à sa retraite.

Étudiant certains problèmes de rectification et de quadratures (Quadratura Circuli et Hyperbolae, 1703) posés par Huygens, Grandi s'intéressa aux courbes planes et, en particulier, à une cubique sur laquelle Fermat s'était déjà penché, qu'il nomme versiera et appelée aujourd'hui cubique d'Agnesi. On lui doit également les Clélies (1728) en hommage à la comtesse italienne Clelia Borromeo.

 Clélies :             Tommaso Ceva , Agnesi

Rosaces de Grandi (Flores Geometrici, 1728) :

Ce sont les courbes définies en coordonnées polaires de la forme :

r = a.cos nt , a et n donnés, n entier ou rationnel

ou, ce qui revient au même, à une rotation près, r = a.sin nt.

A gauche, la juxtaposition coloriée de deux rosaces :

r = 2cos(3t/2)  et  r = 2,5sin 6t.

On suppose maintenant n entier naturel. La fonction tcos nt a pour période 2π/n et cos nt s'annule si t = (2k + 1)π/2n, k entier. On montrera facilement que sur chaque intervalle [(2k + 1)π/2n,(2k + 3)π/2n], on obtient un pétale de la rosace (folium). C'est dire que la rosace possède 2n pétales.

  Prolongements :  
a/  étudier le cas rationnel n = p/q
b/  Prouver que si n est irrationnel, par exemple n = 10, la courbe ne se "referme" pas : on obtient une infinité de pétales.
 

  Trifolium , Quadrifolium , Au plaisir des yeux

Épispirales :

Dans l'inversion de pôle O, de rapport a2, l'inverse d'une rosace de Grandi r = a.cos(nt) est une courbe appelée épispirale ou parfois spirale de Cotes : on doit avoir, en mesure algébrique, OM x OM' = a2, soit rr' = a2, ce qui fournit r' = a/cos(nt) pour l'équation polaire de l'épispirale.

Ce type de courbe fut rencontré par Cotes dans l'étude du mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale dont l'intensité est inversement proportionnelle au cube de sa distance au centre.


ci-dessus a = 2, n = 12, rosace de Grandi et son inverse vues par GraphMathica


ci-dessus a = 2, n = 8/3, rosace de Grandi et son inverse vues par GraphMathica

Trisectrice de Longchamps :    Lissajous :

Les clélies (Flores Geometrici, 1728) :

S'intéressant aux courbes décrites sur des volumes comme le cône et la sphère (dont il étudie les loxodromies), Grandi appela ainsi des courbes sphériques (décrites sur une sphère) en hommage à la comtesse italienne Clelia Borromeo :

Étude des clélies :

Grandi et la convergence des séries numériques... :

Grandi s'interroge sur la "valeur" de la somme infinie :

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +....

A cette époque, le concept de convergence des suites et des séries numériques, qui sera mis en place par Cauchy, n'est pas clairement défini. On peut ici trouver trois réponses :

[(+1) + (-1)] + [(+1) + (-1)] + ... + [(+1) + (-1)] + ...
= 0 + 0 + ... + 0 + ...
= 0

ou bien :

(+1) + [(-1) + (+1)] + [(-1) + (+1)] + ... + [(-1) + (+1)] + ...
= 1 + 0 + 0 + ... + 0 +...
= 1

ou bien encore, en utilisant formellement 1 = (1 + x)(1 - x + x2 - x3 + ...), on peut écrire :

1/(1 + x) = 1 - x + x2 - x3 + ...

et pour x = 1, on obtient 1/2 comme somme de la série. Donc 1 = 1/2 = 0... et Grandi en tire des conclusions métaphysiques sur l'origine ex nihilo de l'univers... Mais le procédé est fallacieux et relève du sophisme car on remplace un problème par un équivalent. On sait que cette écriture infinie n'est valable que pour | x | < 1.

Leibniz, contemporain de Grandi, apporta un critère de convergence pour les séries alternées (c'est le cas ici) qu'il applique à la célèbre série harmonique alternée, convergente mais non absolument convergente et dont

  Rappelons qu'une condition nécessaire de convergence d'une série est que son terme général tende vers 0. Ce qui n'est pas vraiment le cas dans l'exemple de Grandi... Et il faut savoir qu'il est tout à fait illicite de changer l'ordre des termes d'une série si elle n'est pas à terme positifs ou bien absolument convergente (c'est à dire si la série de terme général |un| diverge). En 1837, Dirichlet à remis de l'ordre dans tout cela... et l'exemple de la série harmonique alternée est très convaincant à ce sujet !

Ce qu'en pense d'Alembert :                       


Saccheri  Jones
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