ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

FREGE Gottlob, allemand, 1848-1925

Après des études de chimie et de philosophie, Frege se tourne vers les mathématiques en poursuivant ses études à Göttingen. Sa thèse, soutenue en 1873, fut dirigée au départ par Clebsch. Professeur de mathématiques à Iéna, il développa le langage formalisé (1879) : calcul des propositions et théorie de la quantification dans son Begriffsschrift (en français : idéographie) et dont les premiers travaux furent développés par Boole une trentaine d'années auparavant.

Conscient des difficultés et des premières contradictions de la formalisation de la pensée usant du seul tiers exclu, il s'attaque aux fondements des mathématiques dans son Grundlagen der Arithmetik (Fondements de l'arithmétique, 1884) en tentant de reconstruire toute l'arithmétique sur la seule logique. Ses travaux furent remarqués et poursuivis par l'anglais Russell avec lequel il correspondit.

Frege est à la source d'une plus grande rigueur dans le langage des ensembles (développé par Cantor) et du raisonnement déductif, mais ses notations, très complexes, font tort à ses travaux. Il publie un important traité de logique (Grundgesetzte der Arithmetik, Lois fondamentales de l'arithmétique, 1893). Découragé par les critiques de ses pairs, Frege abandonnera ses recherches après la parution en 1903 d'un second traité.

Le calcul des prédicats et la logique "moderne" :

Quitte à introduire des variables et le langage des ensembles, une proposition mathématique au sens de la logique classique ( Aristote, Gödel), s'avère composée, par réunion, conjonction et négations, dénoncés élémentaires : au sein d'une théorie axiomatique sur un ensemble E, un prédicat est une expression dont l'énoncé décrit une propriété prédictive d'au moins une variable x, élément non précisé de E.

En composant des prédicats et en assignant les variables (valeurs particulières), on obtient une proposition pouvant être vraie ou fausse. On parle de prédicat d'arité n pour signifier que le prédicat porte sur n variables.

Lorsque les variables soumises à quantification sont toutes de même nature, on parle de prédicat du premier ordre. Dans le même sens, on parle de langage du premier ordre (souvent abrégé en LPO) et de théorie du premier ordre. Une théorie dont la quantification porterait sur les prédicats serait du second ordre. Les logiciens ont même envisagé des théories d'ordre n dont la complexité devient extrême.

Langage et théorie mathématiques :

Les notations et symboles de Frege seront sensiblement améliorées avec les travaux de Peano sur la logique (entre 1888 et et 1908).

  PeanoTarski , Skolem           Quantification et prédicats :          La théorie des modèles :

Axiomes de la logique selon Frege :

Cette logique est basée sur le seul emploi de l'implication (alinea suivant) et de la négation de la logique classique aristotélicienne. P, Q et R désignant des propositions :

  1. (nonPP)P

  2. P(nonPQ)

  3. (nonPQ)(nonQP)

  4. (PQ)((nonRP)(nonRQ))

à partir de ces 4 axiomes, on peut reconstruire toute la logique propositionnelle déductive. Mais on peut faire encore mieux avec un seul connecteur, comme le firent Peirce et Sheffer avec les connecteurs NOR et NAND.

Axiomes de Hilbert-Ackermann :     Axiomes de selon Russel & Whitehead :

  Aristote , Schröder , Zermelo , Hilbert , Gödel

Implication logique, équivalence :

Une loi fondamentale de la logique propositionnelle est l'implication, sur laquelle Frege a développé sa logique des prédicats. Moins intuitive que le et le ou, le schème de l'écriture AB est défini par le fait que B doit être vrai si A l'est mais on ne présume pas de B lorsque A est faux : cela n'importe pas, le FAUX ne peut rien inférer, donc, globalement,  en tant que proposition, AB n'est pas mise en défaut. On peut étudier cette loi par un exemple :

S'il pleut, je prendrai mon parapluie

[(il pleut) (prendre parapluie)] revient à dire [(il ne pleut pas) ou (prendre parapluie)]

(AB) signifie [nonA ou B]

Au moyen des tables de vérité ou schèmes : V pour vrai, F pour faux (on peut opter pour 1 si vrai et 0 si faux). On constate l'équivalence logique des deux propositions en construisant les schèmes ci-après :

A B non A (non A) ou B A B
V V F V V
V F F F F
F V V V V
F F V V V

L'équivalence logique correspond à la double implication :

Elle se note et signifie : [(AB) et (BA)].

Quelle est la table de vérité de A B ?     

la notation actuelle de l'implication, , est due à Bourbaki, Frege utilisa la flèche simple ( ) également utilisée par Hilbert  ainsi que le signe >. Pour l'équivalence, Ackermann utilisait la flèche à double sens (). Bourbaki, c'est logique..., la doubla (). Pour le et et le ou, il utilisa les et proposés par Peano en 1888.

Logique d'Aristote :                 Logique d'Augustus de Morgan :


 Pour en savoir plus :


Fontené  Henry
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