ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 FREGE Gottlob,
allemand, 1848-1925 |
Après
des études de chimie et de philosophie, Frege se tourne vers les mathématiques
en poursuivant ses études à Göttingen. Sa
thèse, soutenue en 1873, fut dirigée au départ par
Clebsch. Professeur de mathématiques à
Iéna, il développa le langage formalisé (1879) : calcul des
propositions et théorie de la quantification dans son
Begriffsschrift (en français :
idéographie)
et dont les premiers travaux furent développés par Boole
une trentaine d'années auparavant.
Conscient des difficultés et des premières contradictions de la formalisation de la pensée usant du seul tiers exclu, il s'attaque aux fondements des mathématiques dans son Grundlagen der Arithmetik (Fondements de l'arithmétique, 1884) en tentant de reconstruire toute l'arithmétique sur la seule logique. Ses travaux furent remarqués et poursuivis par l'anglais Russell avec lequel il correspondit.
Frege est à la source d'une plus grande rigueur dans le langage des ensembles (développé par Cantor) et du raisonnement déductif, mais ses notations, très complexes, font tort à ses travaux. Il publie un important traité de logique Grundgesetzte der Arithmetik (Lois fondamentales de l'arithmétique, 1893). Découragé par les critiques de ses pairs, Frege abandonnera ses recherches après la parution en 1903 d'un second traité.
| Le calcul des prédicats et la logique "moderne" : |
Quitte à introduire des variables et le langage des ensembles, une proposition mathématique au sens de la logique classique (» Aristote, Gödel), s'avère composée d'énoncés élémentaires, par réunion (ou logique), conjonction (et logique) et négations, : au sein d'une théorie axiomatique sur un ensemble E, un prédicat est une expression dont l'énoncé décrit une propriété prédictive d'au moins une variable x, élément non précisé de E.
En composant des prédicats et en assignant les variables (valeurs particulières), on obtient une proposition pouvant être vraie ou fausse. On parle de prédicat d'arité n pour signifier que le prédicat porte sur n variables.
1- En arithmétique élémentaire, «2x/3∈N», «x est un entier naturel premier» sont des prédicats. «si x est multiple de 3, alors 2x/3∈N » est une assertion vraie : proposition. On voit que cette proposition peut s'écrire P ⇒ Q où Pet Q sont respectivement les prédicats «x est multiple de 3» et «2x/3∈N».
2- La proposition « tout multiple de 9, autre que 9, est divisible par 6 » peut s'écrire sous la forme d'un prédicat : Soit M l'ensemble des multiples de 9 autres que 9 et D les nombres divisibles par 6. La proposition s'écrit P(x) : « ∀x∈M, x∈D » et est équivalente à M ⊂ D . La négation de P(x) est le prédicat P(x) : « ∃x∈M, x ∉ D » manifestement vrai... En effet : 27 étant impair n'est pas divisible par 6.
3- ∀x∈N, ∃y∈N, y > x, y premier. Ce prédicat d'arité 2 est un théorème : valide quels que soient x et y.
Une proposition dont les variables soumises à quantification sont toutes de même nature est qualifiée de prédicat du premier ordre. On parle alors de langage du premier ordre (souvent abrégé en LPO) et de théorie du premier ordre. Une théorie dont la quantification porterait sur les prédicats serait du second ordre. Les logiciens ont même envisagé des théories d'ordre n dont la complexité devient extrême.
Langage et théorie mathématiques : »
La théorie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel est du 1er ordre.
L'arithmétique de Peano est du second ordre, du fait, en particulier, de l'axiome 5, dit d'induction.
Dans une théorie axiomatique T, notons Π l'ensemble des prédicats d'une variable et supposons que l'on définisse l'égalité par : x = y si et seulement si «∀P∈Π, P(x) = P(y) » : il s'agira d'une théorie du second ordre.
Les notations et symboles de Frege seront sensiblement améliorées avec les travaux de Peano sur la logique (entre 1888 et et 1908).
» Peano , Tarski , Skolem Quantification et prédicats : » La théorie des modèles : »
| Axiomes de la logique selon Frege : |
Cette logique est basée sur le seul emploi de l'implication (» alinéa suivant) et de la négation de la logique classique aristotélicienne. P, Q et R désignant des propositions :
(nonP ⇒ P) ⇒ P
P ⇒ (nonP ⇒ Q)
(nonP ⇒ Q) ⇒ (nonQ ⇒ P)
(P ⇒ Q) ⇒ ((nonR ⇒ P) ⇒ (nonR ⇒ Q))
à partir de ces 4 axiomes, on peut reconstruire toute la logique propositionnelle déductive. Mais on peut faire encore mieux avec un seul connecteur, comme le firent Peirce et Sheffer avec les connecteurs NOR et NAND.
Axiomes de Hilbert-Ackermann : » Axiomes de selon Russel & Whitehead : »
| Implication logique, équivalence : |
Une loi fondamentale de la logique propositionnelle est l'implication (inférence logique) sur laquelle Frege a développé sa logique des prédicats. Moins intuitive que le et le ou, le schème de la proposition A ⇒ B est défini par le fait qu'elle n'est fausse que si B est fausse et A vrai. On ne présume pas de B lorsque A est faux : cela n'importe pas, le FAUX ne peut rien inférer, donc, globalement, en tant que proposition, A ⇒ B n'est pas mise en défaut. On peut étudier cette loi par un exemple :
S'il pleut, je prendrai mon parapluie
Au moyen des tables de vérité ou schèmes : V pour vrai, F pour faux (on peut opter pour 1 si vrai et 0 si faux). On constate l'équivalence logique des deux propositions en construisant les schèmes ci-après :
| A | B | non A | (non A) ou B | A ⇒ B |
| V | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
L'équivalence logique correspond à la double implication :
Elle se note ⇔ et signifie : [(A ⇒ B) et (B ⇒ A)].
∗∗∗
Quelle est la table de vérité de A
⇔
B ?
☼
La notation actuelle de l'implication, ⇒ , est due à Bourbaki; Frege utilisa une flèche simple →, également utilisée par Hilbert, ainsi que le signe >.
Pour l'équivalence, Ackermann utilisait la flèche à double sens (↔). Bourbaki, c'est logique..., la doubla (⇔). Pour le et et le ou, il utilisa les ∩ et ∪ proposés par Peano en 1888. Les notations, très courantes de nos jours, sont celles initiées par Russel et Whitehead, à savoir ∧ et ∨.
Logique d'Aristote : » Logique d'Augustus de Morgan : »
➔ Pour en savoir plus :
Henry