Considérons alors un prisme ABCA'B'C' triangulaire non nécessairement droit (les faces sont des parallélogrammes). On constate qu'il est composé de trois pyramides triangulaires : CA'B'C', CA'AB et CA'BB'.

• CA'B'C' est équivalente à (a même volume que) A'ABC qui est égale à CA'AB : même hauteur (celle du prisme) et bases équivalentes (même aire).
  

• CA'AB est équivalente à CA'BB' car elles ont même hauteur (distance de C à sa projection sur la face ABB'A' du prisme) et bases équivalentes (A'B partage la face ABB'A' en deux triangles isométriques).

Or, toute pyramide à base polygonale quelconque est décomposable en un nombre fini de pyramides triangulaires de même hauteur. On déduit des considérations précédentes que le volume de la pyramide est :

♦  Étape 3/5 - Volume du cône :    

Considérons une pyramide régulière. La base est un polygone régulier de n côtés. Lorsque n devient infini, le contour de base devient un cercle. Un cône peut ainsi être considéré comme une pyramide dont la base polygonale régulière possède un infinité de côtés. On déduit du résultat ci-dessus relatif à la pyramide que le volume du cône de révolution est :

• Le volume engendré par la rotation d'un triangle ABC autour de (AB) est :

où AH mesure la hauteur du triangle ABC relative à [BC] et S_BC l'aire latérale du cône de génératrice BC.

• Lorsque le triangle ABC tourne autour d'un axe contenant le seul point A, on obtient par différence un résultat identique.

• Par additivité, dans le cas d'un contour polygonal comme étudié ci-dessus, en rotation autour d'un axe, le volume engendré est alors la somme des volumes engendrés par chaque segment.

• Dans le cas d'un demi-polygone régulier de centre O, il apparaît alors que le volume engendré est :

S × OI/3

♦  Dernière étape, Volume de la sphère :    

Lorsque le nombre de côtés tend vers l'infini, le contour engendre une sphère d'aire S = 4πR² (comme précédemment R est la limite de OI, rayon du cercle circonscrit au polygone régulier) et par suite le volume obtenu, volume de la sphère, est 4πR² × R/3, soit :

On suppose connue l'aire A(z) de la surface de cote z du volume étudié (section transversale). Tout comme le calcul d'aire sous une courbe à la manière de Cauchy ou Riemann, un élément différentiel de ce volume assimilé à un cylindre droit est A(z) × dz ("surface de base multiplié par sa hauteur"). Le volume du patatoïde dans un repère cartésien (O,x,y,z) est ainsi donné par la formule :

Les méthodes de calcul, dans le cas de coordonnées cartésiennes y = f(x), d'un volume de révolution autour d'un des axes de coordonnées, s'appliquent sans difficultés dans le cas des coordonnées paramétriques ou polaires. La formule ci-dessous, due à Leibniz dans le cas cartésien, est valable pour une rotation autour de Ox (axe des abscisses) :

et s'applique aussi au cas polaire r = φ(t) en posant :

x = r × cost et y = r × sint

Il s'agira de bien choisir les bornes d'intégration en étudiant le sens de variation de x en fonction de t.

 ➔  Dans le cas de la sphère, on considère le quart de cercle centré en O, de rayon r, d'équation x² + y² = R² pour x ≥ 0. Ce qui conduit au volume de la demi-sphère :

 

On retrouve ainsi, pour la sphère entière, le volume V = 4πR³/3.

Un arc de courbe plane rectifiable (Γ) étant définie en coordonnées cartésiennes ou paramétriques par une représentation x = f(t), y = g(t) de classe C¹ au moins, un élément différentiel d'arc de courbe est ds = (dx² + dy²)^1/2. Afin de calculer l'aire engendrée par la rotation d'un arc de courbe autour d'un des axes de coordonnées, par exemple (Ox), on découpe la surface obtenue n en tranches infinitésimales à la manière de l'intégrale de Riemann. Chaque tranche est un tronc de cône d'aire :

ΔA_i = π × Δs_i × [y_i + (y_i + Δy_i)] = 2πy_iΔs_i + πΔs_iΔy_i

L'aire est obtenue comme limite pour n infini de la somme des  ΔA_i sur l'arc de courbe étudié lorsque les Δs_i = (Δx_i² + Δy_i²)^1/2 et, par suite,  les Δy_i tendent vers 0 :

La somme ΣΔs_iΔy_i tend vers 0 par continuité uniforme de g sur l'arc de courbe considéré : en effet, pour n suffisamment grand, il existe h > 0, h tendant vers 0 pour n infini tel que pour tout i : Δy_i = |y_i+1 - y_i| = |g(t_i+1) - g(t_i)| ≤ h, d'où ΣΔs_iΔy_i ≤ hΣΔs_i. Par suite, si L désigne la longueur de l'arc de courbe considéré : ΣΔs_iΔy_i ≤ hL → 0. Finalement, et par définition de l'intégrale, les formules suivantes donnent l'aire obtenue par révolution autour de l'axe des abscisses (f3) ou des ordonnées (f4) :

• Exemple : aire de la surface (paraboloïde) engendrée par l'arc de parabole y = x²/2 par rotation autour de l'axe des ordonnées pour x∈[0,2]. On a ici dy = xdx, donc ds = √(dx² + dy²) = (1 + x²)dx. A est en u.a. l'intégrale sur [0,2] de x√(1 + x2) qui se ramène à l'intégrale une fonction de la forme u'√u dont une primitive est 2/3 de u^3/2. Finalement A = 2π(5√5 - 1)/3.

∗∗∗ 
Calculer l'aire de la surface engendrée par une arche de cycloïde tournant autour de l'axe des abscisses. Rép. : 64πa²/3. ☼

• Un cas plus subtil : l'arche de cycloïde tourne autour d'une tangente de rebroussement

Coordonnées polaires et paramétriques, exemples, exercices :  » 

Lorsqu'un plan "coupe" une sphère, la section obtenue (intersection du plan et de la sphère) est un cercle. Si une boule remplace la sphère, on obtient un disque. Le "morceau" de sphère coloré en bleu est une calotte sphérique.

Cas particuliers :  

R désignant le rayon de la sphère, si OH = R, la section se réduit à un point (plan tangent) et si OH = 0, la section est un grand cercle de la sphère : on parlera de cercle équatorial.

Dans le cas général :  

Si h = AB est sa "hauteur", distance entre son sommet A et le plan de section, on obtient le volume en retirant au volume de la demi-sphère calculé précédemment, à savoir :

l'intégrale calculée entre 0 et R - h, ce qui revient à calculer l'intégrale entre R - h et R :

fournissant :