ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Aire et volume de la sphère - Volume de la pyramide et du cône
   
» Aires et volumes de révolution | Volume d'une calotte sphérique | volume d'un segment sphériqueCas paramétrique et polaire

En première partie, on se propose ici de calculer l'aire (» quadrature) et le volume de la sphère par des considérations géométriques à la manière de Démocrite et d'Archimède.

En seconde partie (clic...), l'usage du calcul intégral que mettront en place Newton et Leibniz, près de 2000 ans plus tard, simplifie grandement la recherche mais n'oublions pas qu'il relève du même principe de découpage en tranches à la manière de Cavalieri !

 Étape 1/5 - Aire de la sphère :    

On sait ou on admet ici que :

Ces premiers résultats permettent de prouver que :

L'aire d'une sphère de rayon r est 4πr2              » aire d'un anneau sphérique

 Étape 2/5 - Volume de la pyramide :   

On considère comme acquis les résultats suivants :

   Ce résultat, non évident, s'obtient en décomposant les pyramides au moyen de prismes et fut obtenu par Euclide en utilisant la méthode d'exhaustion (due à Eudoxe). on pourra trouver cette preuve dans Histoires de problèmes. Histoire des Mathématiques, Commission Inter-IREM, Ed. ellipses.

Considérons alors un prisme ABCA'B'C' triangulaire non nécessairement droit (les faces sont des parallélogrammes). On constate qu'il est composé de trois pyramides triangulaires : CA'B'C', CA'AB et CA'BB'.

Or, toute pyramide à base polygonale quelconque est décomposable en un nombre fini de pyramides triangulaires de même hauteur. On déduit des considérations précédentes que le volume de la pyramide est :

V = B × h/3  où B désigne l'aire de la base et h la hauteur

 Étape 3/5 - Volume du cône :    

Considérons une pyramide régulière. La base est un polygone régulier de n côtés. Lorsque n devient infini, le contour de base devient un cercle. Un cône peut ainsi être considéré comme une pyramide dont la base polygonale régulière possède un infinité de côtés. On déduit du résultat ci-dessus relatif à la pyramide que le volume du cône de révolution est :

V = πR2 × h/3 où R est le rayon de la base circulaire et h la hauteur

 Étape 4/5 : Volume engendré par un contour polygonal :    

SBC × AH/3

où AH mesure la hauteur du triangle ABC relative à [BC] et SBC l'aire latérale du cône de génératrice BC.

S × OI/3

S désigne l'aire latérale engendrée par la rotation du contour et OI l'apothème.

Théorèmes de Guldin : »

 Dernière étape, Volume de la sphère :    

Lorsque le nombre de côtés tend vers l'infini, le contour engendre une sphère d'aire S = 4πR2 (comme précédemment R est la limite de OI, rayon du cercle circonscrit au polygone régulier) et par suite le volume obtenu, volume de la sphère, est 4πR2 × R/3, soit :

Si d = 2R désigne le diamètre de la sphère, on peut aussi retenir :

V = πd3/6

Volume d'un solide, volume d'un solide de révolution :

On suppose connue l'aire A(z) de la surface de cote z du volume étudié (section transversale). Tout comme le calcul d'aire sous une courbe à la manière de Cauchy ou Riemann, un élément différentiel de ce volume assimilé à un cylindre droit est A(z) × dz ("surface de base multiplié par sa hauteur"). Le volume du patatoïde dans un repère cartésien (O,x,y,z) est ainsi donné par la formule :

 

         

  camion citerne , théorèmes de Guldin

 Volume de révolution obtenu par rotation d'une courbe autour d'un des axes de coordonnées :   

Les méthodes de calcul, dans le cas de coordonnées cartésiennes y = f(x), d'un volume de révolution autour d'un des axes de coordonnées, s'appliquent sans difficultés dans le cas des coordonnées paramétriques ou polaires. La formule ci-dessous, due à Leibniz dans le cas cartésien, est valable pour une rotation autour de Ox (axe des abscisses) :

et s'applique aussi au cas polaire r = φ(t) en posant :

x = r × cost et y = r × sint

Il s'agira de bien choisir les bornes d'intégration en étudiant le sens de variation de x en fonction de t.

    La courbe étant donné en coordonnées cartésiennes par x →  y = f(x), un élément différentiel de volume est alors y2 × dx (resp. x2 × dy) suivant que la rotation s'effectue autour de Ox (resp. Oy). Les formules suivantes, connues depuis Leibniz donnent le volume obtenu par révolution autour de l'axe des abscisses (f1) ou des ordonnées (f2) :

 Cas de l'ellipsoïde de révolution :    

Calculons le volume de l'ellipsoïde de révolution autour de l'axe (Ox) à partir de l'équation paramétrique de l'ellipse x = a.cost, y = b.sint; x devra décrire l'intervalle [-a;+a] :

On intègre pour t variant de π à 2π :

La linéarisation de sin3t = ¼(3sint - sin3t) conduit à :

    La sphère apparaît comme cas particulier d'ellipsoïde de révolution avec a = b = R, son rayon.

Cas des coordonnées polaires et paramétriques :  »


Ci-contre, la cubique y = 2x3/5 engendre un "bol" par rotation autour de l'axe des ordonnées. Il faut alors exprimer x en fonction de y : recherche de la fonction réciproque f-1 et procéder à l'intégration de x2dy sur l'intervalle [ymin,ymax]. L'intégrande devient x2dy. Dans le cas présent, x = 3y = y1/3 (racine cubique) donc x2 = y2/3 facilement intégrable : en supposant x∈[0;2], on obtient 3/5 × 85/3 = 19,2 u.v. (unités de volume).

   Dans le cas de la sphère, on considère le quart de cercle centré en O, de rayon r, d'équation x2 + y2 = R2 pour x ≥ 0. Ce qui conduit au volume de la demi-sphère :

 

On retrouve ainsi, pour la sphère entière, le volume V = 4πR3/3.

Aire de révolution obtenue par rotation d'une courbe autour d'un des axes de coordonnées :

Un arc de courbe plane rectifiable (Γ) étant définie en coordonnées cartésiennes ou paramétriques par une représentation x = f(t), y = g(t) de classe C1 au moins, un élément différentiel d'arc de courbe est ds = (dx2 + dy2)1/2. Afin de calculer l'aire engendrée par la rotation d'un arc de courbe autour d'un des axes de coordonnées, par exemple (Ox), on découpe la surface obtenue n en tranches infinitésimales à la manière de l'intégrale de Riemann. Chaque tranche est un tronc de cône d'aire :

ΔAi = π × Δsi × [yi + (yi + Δyi)] = 2πyiΔsi + πΔsiΔyi

L'aire est obtenue comme limite pour n infini de la somme des  ΔAi sur l'arc de courbe étudié lorsque les Δsi = (Δxi2 + Δyi2)1/2 et, par suite,  les Δyi tendent vers 0 :

A = 2π × limΔsi→o ΣyiΔsi  +  π × limΔsi→o ΣΔsiΔyi

La somme ΣΔsiΔyi tend vers 0 par continuité uniforme de g sur l'arc de courbe considéré : en effet, pour n suffisamment grand, il existe h > 0, h tendant vers 0 pour n infini tel que pour tout i : Δyi = |yi+1 - yi| = |g(ti+1) - g(ti)| ≤ h, d'où ΣΔsiΔyi ≤ hΣΔsi. Par suite, si L désigne la longueur de l'arc de courbe considéré : ΣΔsiΔyi ≤ hL → 0. Finalement, et par définition de l'intégrale, les formules suivantes donnent l'aire obtenue par révolution autour de l'axe des abscisses (f3) ou des ordonnées (f4) :

  (f3)     A = Γ yds            (f4)    A =  Γ xds

 
Calculer l'aire de la surface engendrée par une arche de
cycloïde tournant autour de l'axe des abscisses. Rép. : 64πa2/3.

Coordonnées polaires et paramétriques, exemples, exercices :  » 

Calcul du volume d'une calotte sphérique au moyen du calcul intégral :

Lorsqu'un plan "coupe" une sphère, la section obtenue (intersection du plan et de la sphère) est un cercle. Si une boule remplace la sphère, on obtient un disque. Le "morceau" de sphère coloré en bleu est une calotte sphérique.

Cas particuliers :  

R désignant le rayon de la sphère, si OH = R, la section se réduit à un point (plan tangent) et si OH = 0, la section est un grand cercle de la sphère : on parlera de cercle équatorial.

 
Un plan coupe une sphère de rayon 7 cm à 4 cm du centre. Quel est le rayon (exact) de la section ? 

Réponse :
√33 cm

Dans le cas général :  

Si h = AB est sa "hauteur", distance entre son sommet A et le plan de section, on obtient le volume en retirant au volume de la demi-sphère calculé précédemment, à savoir :

 

l'intégrale calculée entre 0 et R - h, ce qui revient à calculer l'intégrale entre R - h et R :

fournissant :

Vcal = πh2(R - h/3) = πh2(3R - h)/3

En remarquant le lien entre R, h et le rayon de la section : R2 = (R - h)2 + r2, soit h2 + r2 = 2hR, on peut obtenir deux autres écritures pour ce volume :

V = πh3/6 + ½πhR2 =  ½πh(h2/3 + r2)

 
Une sphère de pôle O, d'axe polaire (p) est coupée par un cône de révolution d'angle d'ouverture 60°,
de sommet O, d'axe (p). Quel est le volume de la sphère "prisonnier" du cône ?

 
Réponse : il s'agit du volume d'un cône augmenté de celui d'une calotte sphérique : 7πr3/12.

Calcul du volume d'un anneau sphérique  :

On peut s'intéresser au cas plus général de la portion de sphère obtenue en la coupant par deux plans parallèles (on parle de segment ou d'anneau sphérique). En appelant h la distance entre les deux plans, r et r' (r > r') les rayons des sections, on obtient facilement par différence des volumes entre les deux calottes de rayon r et r' :

V = ½πh(r2 + r'2 + h2/3)      

Lorsque r' = 0, on retrouve le volume de la calotte sphérique. L'aire correspondante est A = 2πRh.

Calcul du volume d'un secteur sphérique :

Considérons deux points A et B de la sphère situés sur un même méridien (m), grand cercle centré en O et passant par les pôles. Lorsque le méridien (m) tourne autour de l'axe des pôles, le secteur circulaire OAB engendre un secteur sphérique. Comme dans le cas de l'anneau sphérique ci-dessus, appelons h la distance séparant les plans des cercles de section.

 Montrer que le volume engendré est :

 V = 2πR2h/3              


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