ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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BELLAVITIS Giusto, italien, 1803-1880

Passionné de géométrie, autodidacte, Bellavitis commença une carrière d'enseignant des mathématiques à Vicence (Vicenza en Vénétie) avant d'obtenir (1845) une chaire de géométrie à l'université de Padoue (Padova).

On lui doit le concept de lignes équipollentes du plan (dès le début des années 1830) tel qu'on l'enseigne encore aujourd'hui avec sa Méthode des équipollences qui annonçait celui de vecteur dû à Hamilton une dizaine d'années plus tard et les travaux de Grassmann sur le calcul vectoriel. On trouvera en réf.4 une traduction par Laisant (1874) du traité de Bellavitis.

Laisant

Bellavitis développa l'importante notion d'inversion géométrique (Teoria delle figure inverse e loro uso nella Geometria elementare, 1836) également appelée transformation par rayons vecteurs réciproques dans les années 1850, dont Hipparque fut en fait l'inventeur avec la projection stéréographique.

   Comme souvent en mathématiques, de nouveaux concepts apparaissent souvent à la même époque et il est difficile de préciser telle ou telle paternité d'un concept nouveau. Selon Harold Coxeter et Samuel Greitzer (mathématicien américain, 1905-1988) dans leur livre Geometry revisited paru en 1967 ( réf.7 et extrait ci-dessous, page 108), l'inversion aurait vu le jour avec Steiner qui parlait de quasi-transformation qui n'était autre qu'une inversion de rapport positif.

Dans la version française du livre, Redécouvrons la Géométrie (Éd. Dunod1971), le même paragraphe 5.3 (page 126), l'inversion est attribuée au banquier et mathématicien amateur allemand Ludwig Magnus (1790-1861, bio. sur JewishEncyclopedia), dans un article paru dans le journal de Crelle en 1831, info que l'on retrouve dans la version anglaise de ce mathématicien sur Wikipedia. Selon Chasles ( réf.6, page 141), d'autres mathématiciens, comme Quetelet (Résumé d'une nouvelle théorie des caustiques, 1827) sont également candidats à la paternité de cette transformation.

Bellavitis est aussi l'auteur de travaux innovants sur le calcul barycentrique, généralisant les résultats de Möbius sur le sujet. Il s'intéressa aussi à la théorie des nombres, aux courbes algébriques, dont il  tenta une classification, et écrivit une histoire des mathématiques.

La notion d'équipollence :

Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si [AD] et [BC] ont même milieu. C'est dire que ABDC (dans cet ordre) est un parallélogramme. De nos jours nous dirions que la relation d'équipollence est une relation d'équivalence. Les bipoints équipollents (A,B) et (C,D), éléments de la même classe d'équivalence, définissent alors un même et nouvel objet mathématique : le vecteur.

La classe du couple (A,B) est alors notée ou AB (à l'américaine). En 1887, Le français Laisant complètera cette théorie que l'on pourra consulter sur le site Gallica de la Bibliothèque nationale de France (BnF, réf.4).

Vecteur et flèches... :           Vecteurs du plan, exposé élémentaire  :

La transformation par rayons vecteurs réciproques : l'inversion géométrique

Un nombre k non nul (puissance de l'inversion) et un point O (pôle) étant donnés, à tout point M du plan autre que O, on peut faire correspondre un point M' tel que :

O, M et M' sont alignés et  OM.OM' = k

L'ensemble des points M invariants par T vérifient OM2 = k : cet ensemble est donc non vide si et seulement si k > 0 et il s'agit d'un cercle de centre O de rayon k. Ce cercle, appelé alors cercle de l'inversion T permet de la caractériser.

Ci-dessous, une inversion est définie par son pôle et son cercle. On a dessiné un segment [AB], quelques uns de ses points et les images correspondantes. L'image de [AB] est un arc de cercle. On voit que le milieu de [AB] n'a pas pour image le milieu de l'arc : ce n'est pas une transformation affine.


   Vous pouvez déplacer A, B, M et le pôle O.

Remarquer, si ce n'est déjà fait, que l'on a OM' = k/OM et si r = f(t) est l'équation polaire d'une courbe, l'équation de sa transformée par inversion de pôle O, de puissance k est r = k/f(t). On voit là le bien-fondé de l'appellation inversion.

En savoir plus sur l'inversion et ses propriétés :                      Courbes cycliques :

Pour en savoir plus :

  1. Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique, Yves Ladegaillerie - Collection Ellipses

  2. Géométrie : Classe de mathématiques élémentaires. Programme 1962, V. Lespinard et P. Pernet, Librairie André Desvigne, Paris - 1962.

  3. Cours de géometrie par Pierre Chenevier, Inspecteur général de l'Instruction publique, Librairie Hachette, Paris -1929.

  4. Exposition de la méthode des équipollences, traduction de C.-A. Laisant : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995084

  5. Sur le site Gallica de la BnF : Théorie et applications des équipollences de C.-A.Laisant :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206325j/f13.image.swfv

  6. Rapport sur les progrès de la géométrie, par Michel Chasles (1870) sur le site Gallica de la BnF :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5790435r/f6.image.r=Bellavitis

  7. Redécouvrons la Géométrie (Geometry revisited), H.S.M. Coxeter et S.L Greitzer, traduction de R. Marchand, Éd. Dunod ,1971.
    On pourra consulter ce livre (en anglais) numérisé par l'AMS sur le site Aproged (Portugal) :
    http://www.aproged.pt/biblioteca/geometryrevisited_coxetergreitzer.pdf


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