ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BELLAVITIS Giusto,
italien, 1803-1880 |
Passionné
de géométrie, autodidacte, Bellavitis commença une carrière d'enseignant des
mathématiques à Vicence (Vicenza en Vénétie) avant d'obtenir (1845) une chaire
de géométrie à l'université
de Padoue (Padova).
On lui doit le concept de lignes équipollentes du plan (dès le début des années 1830) tel qu'on l'enseigne encore aujourd'hui avec sa Méthode des équipollences qui annonçait celui de vecteur dû à Hamilton une dizaine d'années plus tard et les travaux de Grassmann sur le calcul vectoriel. On trouvera en réf.4 une traduction par Laisant (1874) du traité de Bellavitis.
» Laisant
Bellavitis développa l'importante notion d'inversion géométrique (Teoria delle figure inverse e loro uso nella Geometria elementare, 1836) également appelée transformation par rayons vecteurs réciproques dans les années 1850, dont Hipparque fut en fait l'inventeur avec la projection stéréographique.
Comme souvent en mathématiques, de nouveaux concepts apparaissent souvent à la même époque et il est difficile de préciser telle ou telle paternité d'un concept nouveau. Selon Harold Coxeter et Samuel Greitzer (mathématicien américain, 1905-1988) dans leur livre Geometry revisited paru en 1967 (» réf.7 et extrait ci-dessous, page 108), l'inversion aurait vu le jour avec Steiner qui parlait de quasi-transformation qui n'était autre qu'une inversion de rapport positif :
?!? Dans la version française du livre, Redécouvrons la Géométrie (Éd. Dunod 1971), au même paragraphe 5.3 (page 126), l'inversion est attribuée au banquier et mathématicien amateur allemand Ludwig Magnus (1790-1861), dans un article paru dans le journal de Crelle en 1831, info que l'on retrouve dans la version anglaise de ce mathématicien sur Wikipedia. Selon Chasles (» réf.6, page 141), d'autres mathématiciens, comme Quetelet (Résumé d'une nouvelle théorie des caustiques, 1827) sont également candidats à la paternité de cette transformation.
Bellavitis est aussi l'auteur de travaux innovants sur le calcul barycentrique, généralisant les résultats de Möbius sur le sujet. Il s'intéressa aussi à la théorie des nombres, aux courbes algébriques, dont il tenta une classification, et écrivit une histoire des mathématiques.
| La notion d'équipollence : |
Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si [AD] et [BC] ont même milieu. C'est dire que ABDC (dans cet ordre) est un parallélogramme. De nos jours nous dirions que la relation d'équipollence est une relation d'équivalence. Les bipoints équipollents (A,B) et (C,D), éléments de la même classe d'équivalence, définissent alors un même et nouvel objet mathématique : le vecteur.
La classe du couple
(A,B) est alors notée
ou AB
(à l'américaine). En 1887, Le français Laisant
complètera cette théorie que l'on pourra consulter sur le site Gallica de la
Bibliothèque nationale de France (BnF,
»
réf.4).
Vecteur et flèches... : » Vecteurs du plan, exposé élémentaire : »
| La transformation par rayons vecteurs réciproques : l'inversion géométrique |
Dans un plan P, un nombre k non nul (puissance de l'inversion) et un point O (pôle) étant donnés, à tout point M de P autre que O, on peut faire correspondre un point M' tel que :
O, M et M' sont alignés et OM.OM' = k
On définit ainsi une application T : M →M' de P\{O} dans P\{O}. On remarque que T(M') = M :
L'inversion géométrique est une transformation involutive : bijection coïncidant avec sa réciproque.
L'ensemble (c) des points invariants par T vérifient OM2 = k : cet ensemble est donc non vide si et seulement si k > 0 et il s'agit alors d'un cercle de centre O de rayon √k. Ce cercle, appelé alors cercle de l'inversion T permet de la caractériser.
La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet : une inversion est définie par son pôle et son cercle. On a dessiné un segment [AB], quelques uns de ses points et les images correspondantes. L'image de [AB] est un arc de cercle. On voit que le milieu de [AB] n'a pas pour image le milieu de l'arc : ce n'est pas une transformation affine :
Si votre navigateur accepte les applets
Java
(»
extension CheerpJ
) :
Vous pouvez déformer le triangle ABC en
déplaçant les points A, B et C
Remarquer, si ce n'est déjà fait, que l'on a OM' = k/OM et si r = f(t) est l'équation polaire d'une courbe, l'équation de sa transformée par inversion de pôle O, de puissance k est r = k/f(t). On voit là le bien-fondé de l'appellation inversion.
En savoir plus sur l'inversion et ses propriétés : » Courbes cycliques : »
➔ Pour en savoir plus :
,
Yves Ladegaillerie - Collection Ellipses
,
V. Lespinard et P. Pernet, Éd. André Desvigne, Paris, 1962.
par Pierre Chenevier, Inspecteur général de l'Instruction publique,
Librairie
Hachette, Paris -1929.
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