ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonctions & Applications, composition (loi o), fonction réciproque
   
Injection, surjection et bijection | Application identique (identité) | fonction réciproque | Restriction d'une application
           
Loi de composition des applications | fonctions niveau collège/lycée

Cette page suppose connue la notion de relation binaire dont les fonctions et applications sont des cas particuliers. La première notion de fonction au sens mathématique actuel fut introduite par Leibniz.

Rappel succin relatif aux relations binaires :    

Soit R une relation binaire de E dans F (on dit aussi correspondance). On note alors R : E F. Si x R y, on dit que y est une image de x par la relation R et que x est un antécédent de y par cette même relation. L'ensemble DR des éléments de E qui ont au moins une image par R est l'ensemble (ou domaine) de définition de R.

Lorsque chaque élément de E possède au plus une image (aucune ou une seule) par une relation R, on dit que R est une fonction et on note y = R(x), plutôt que x R y. On dira que y est exprimé en fonction de x : c'est l'unique image de x par R. Si Df = E, on dira que la fonction f est partout définie, elle prend alors le nom d'application.

  On parle parfois d'application ensembliste f : E F pour signifier que les ensembles E et F n'ont aucune propriété particulière.

Si R est une relation de E vers F, on peut représenter les couples (x,y) tels que xRy dans un repère. On parle alors de représentation graphique ou de courbe représentative de la relation R.

Image d'un ensemble :

Soit f : E F une fonction. L'ensemble des images par f des éléments de E est noté f(E), ou parfois Im(f) si cela n'est pas ambigu, et est appelé image de E par f. (définition due à Dedekind). Si A est inclus dans E, l'image de A par f est l'ensemble des éléments f(x) où x est élément de A :

f(A) = {yF / xE, y = f(x)}


Prouver que si A B, alors f(A) f(B). Réciproque fausse sauf si f est bijective. Voici un contre-exemple :
Soit f : R
R, f(x) = x2, A = [-2,1] et B = [-1,3]. f(A) = [0,4], f(B) = [0,9]. On a f(A) f(B) mais non pas A B !

f(A B) = f(A) f(B) mais f(A B) f(A) f(B) : l'égalité est fausse en général. Notons ici également que (f o g)(A) = f [g(A)]  (o désignant la loi de composition des applications).


a) Soit f : R R, f(x) = x2, A = [-2,1] et B = [-1,3]. f(A) = [0,4], f(B) = [0,9]. Comparer  f(A B) à  f(A) f(B).
b) Prouver que f(A B) = f(A) f(B). Vérifier au moyen du cas a).

      Notation fonctionnelle (niveau lycée) :            Image d'une application linéaire :

Lorsque R désigne une correspondance (relation binaire), l'ensemble des images de x par R est {yF / x R y}. On peut le noter  R({x}) et s'il n'y a pas d'ambiguïté, on note plus simplement R(x) cet ensemble.

Image réciproque d'un élément ou d'une partie, image directe :

Soit f : E F une fonction et B est une partie de F. L'ensemble des éléments de E dont l'image par f est un élément de B est appelé image réciproque de B par f et est noté f-1(B). C'est encore Dedekind qui est à l'origine de cette définition bien pratique. Dans ce contexte "réciproque", l'image f(A) d'une partie A de E est, a contrario, dite "directe".

Plus particulièrement, si y est un élément de F, l'ensemble des éléments de E qui ont y pour image est appelé image réciproque de y par f et noté est noté f-1({y}) ou, plus simplement f-1(y).

  Exemple : Soit f : R R, f(x) = x2, f -1(4) = {-2,2}, f -1([4,25]) = [-5,-2] U [2,5]. 

   Attention : l'usage de la notation f -1 ne signifie nullement que f -1 est une fonction. Il est cependant justifié par le fait que si l'image réciproque de tout élément de F contient un seul élément de E, alors f est une bijection (voir ci-dessous). Remarquer enfin qu'une image réciproque peut être vide.

La relation qui à tout y de F associe f-1(y) est une correspondance de F vers E. En notant encore  f-1 cette relation, elle sera une fonction si f-1(y) est vide ou réduit à un singleton (ensemble réduit à un unique élément) pour tout y de F. On parle parfois de correspondance biunivoque pour exprimer ce dernier état de fait, synonyme de bijection :

Injection, surjection, bijection :            permutation , fonction réciproque

Injection :   

Une fonction pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective. Il revient au même de dire que des images égales ont des antécédents égaux. On emploie aussi le terme injection pour désigner une telle fonction.

f : E F est injective f(a) = f(b)  a = b

Lorsque A est une partie d'un ensemble E, l'application i : A E qui à tout x de A associe x dans E, c'est à dire i(x) = x, est injective et appelée injection canonique de A dans E.

Cette définition facilite les démonstrations de nombreux résultats dans les problèmes algébriques de décomposition algébrique des fonctions (théorie des groupes, homomorphismes, topologie).

Surjection :   

Une application de E vers F pour laquelle tout élément de F admet au moins un antécédent est dite surjective de E sur F; on emploie aussi le terme surjection pour désigner une telle application :

f : E F est surjective f(E) = F : l'image de E par f est F tout entier

yF, x E / y = f(x)

Lorsque R désigne une relation d'équivalence dans un ensemble E, l'application s : E E/R qui à tout x de E associe sa classe d'équivalence dans l'ensemble quotient E/R, est surjective et appelée surjection canonique de E sur E/R. Cette définition facilite les démonstrations de nombreux résultats dans les problèmes algébriques de décomposition des fonctions (théorie des groupes, homomorphismes, topologie).

Bijection :   

On qualifie ainsi une application de E vers F à la fois injective et surjective est dite bijective. On parle bijection de E sur F. On peut énoncer :

f : E F est bijective tout élément de F admet un unique antécédent.

Autrement dit :

yF, x E, x unique  / y = f(x)

Toute fonction numérique (de R vers R) strictement monotone (croissante ou décroissante) et continue sur un intervalle I réalise une bijection de I sur son image f(I).

Dans le cas discret (fonction définie dans N ou Z), le problème est tout autre car mis à part des intervalles où f est éventuellement constante, f est discontinue. Par exemple :

  Toujours bien préciser les ensembles de départ et d'arrivée lorsqu'on parle d'injection, de surjection ou de bijection. Voici 4 exemples dans le cas continu :

Il se peut qu'une bijection f coïncide avec sa réciproque; c'est le cas par exemple de f : R R, f(x) = x (application identique),  de g : R R, f(x) = -x ou encore de h : R* R*, h(x) = 1/x. En géométrie, les symétries coïncident avec leur réciproque : on parle d'involution.

Une transformation involutive, l'inversion :

Théorème :    

Si E et F sont de même cardinal fini, toute application f injective -ou bien surjective- de E vers F est bijective.

Preuve : Posons CardE = CardF = n. Si f est injective, deux éléments distincts de E devront avoir des images distinctes. Il y a n images à définir. On épuisera ainsi les n éléments de F : donc f est surjective. Si f est surjective, tout élément y de F doit admettre au moins un antécédent. Si un élément y de F admet deux antécédents ou plus dans E, alors on aura épuisé l'ensemble E, ensemble des antécédents avant celui des images ! Par conséquent tout élément de F admet un unique antécédent : f est bijective.

Injection, surjection, bijection  et dénombrabilité :

Nombre d'injections :      

Dans le cas d'une injection, il n'y a pas la possibilité d'attribuer une même image à deux éléments de E : on a donc nécessairement p n et  n choix pour le 1er élément, n - 1 choix pour le second, etc. On a finalement :

n(n - 1)(n - 2)...(n - p + 1) = Anp choix possibles           arrangements

 
Je range 4 boules dans 6 casiers ( ci-dessus).
Nombre de cas où chaque casier pourra contenir au plus une boule ? 
Rép : A64 = 654 = 120.

Nombre de surjections :     

Pour qu'il existe au moins une surjection de E sur F, il faut et il suffit que p soit au moins égal à n (n p) et le nombre de surjections de E sur F est défini par :

Sn,p = p x (Sn-1,p-1 + Sn-1,p)

Pour prouver ce résultat, procéder par récurrence sur n en remarquant que l'adjonction d'un élément dans E permet de construire une surjection à partir, soit d'une application de E vers F laissant sans antécédent un élément de f, soit d'une surjection déjà construite de E sur F.

Nombre de bijections :     

Une application à la fois injective et surjective de E vers F est dite bijective. On emploie aussi le terme bijection de E sur F pour désigner une telle application.   Lorsque E et F ont le même nombre fini d'éléments n, on peut définir n! bijections de E sur F.

 lorsque E est de cardinal fini n, une bijection de E (ç.à.d. de E sur E) est appelée permutation de E. Il y a n! (factorielle n) permutations de E.

 
Je range 4 boules dans 6 casiers ( ci-dessus).
Dans combien de cas 2 casiers (exactement) seront vides : C644! = C624! = 1524 = 360.

Nombre d'application entre deux ensembles finis :     

On peut définir np applications d'un ensemble Ep vers un ensemble Fn (attention à l'ordre). En effet, une telle application s'identifie à un n-uplet (im1, im1, ..., imp), les images imi étant choisies parmi n (deux éléments de Ep peuvent avoir ici la même image), d'où l'existence de  n x n x ... x n = np cas possibles (p facteurs).

Combinatoire, Arrangements, permutations :Dedekind et le langage des applications :

Restriction d'une application, prolongement, application induite :

Si f est une application de E vers F, et P une partie de E, on appelle restriction de f à P et on note f/P l'application de P vers F qui coïncide avec f pour tout élément de P :

f/P : P F, f/P(x) = f(x) pour tout x de P.

Inversement, considérons f : E F et g : E' F avec E'E. Si, pour tout x de E, on a g(x) = f(x), on dit que g est un prolongement (ou une extension) de f à E'. Cela revient à exprimer que la restriction de g à E n'autre que f : g/E = f.

Plus généralement, on peut aussi modifier l'ensemble d'arrivée de f, en le restreignant par exemple à l'image f(F) de E par F :

Soit f : E F. L'application g : A B définie par AE, Bf(E) et g(x) = f(x) pour tout x de A est appelée application induite par f sur A.

Loi de composition des applications :                 loi de composition (cas général)

Étant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), considérons les applications f : E F  et  g : F G. En posant, pour tout x de E :

h(x) = g(f(x))

on définit une application h de E vers G, appelée composée de f par g et notée g o f : on lit f rond g et on écrit :

h(x) = (g o f)(x)

 On dit parfois que h est l'application f suivie de g. On parle aussi de produit de composition pour désigner le résultat h de la composition de f par g mais cela peut prêter à confusion au niveau scolaire, certains élèves pensant à une multiplication et confondant g o f et gf !

  Si f o g a un sens, il n'est pas assuré que g o f en ait un. Considérer :

f : R+ R, f(x) = x2 - 1  et  g : R+ R+, g(x) = x. On a (f o g)(x) = x - 1 pour tout x positif mais (g o f)(x) = (x2 - 1) n'a pas de sens sur [0;1].

Le problème est ici dû au fait que l'on travaille sur des fonctions dont les ensembles de définition perturbent la composition...

Fonctions, composition de fonctions (niveau lycée) :

 Si H désigne un quatrième ensemble non vide, soit h une application de G vers H : E F. Pour tout élément x de E, on a :

[h o (g o f)](x) = h((g o f)(x)) = h[g(f(x))] = (h o g)(f(x)) = [(h o g) o f](x)

C'est dire que :

h o (g o f) = (h o g) o f

On exprime cette égalité en disant que la composition des applications est associative. Lorsque E = F = G = H, la composition des applications est donc une loi de composition interne associative dans l'ensemble des applications de E vers E que l'on note (E).

Application identique, également appelée identité :  

L'application de E vers E qui à tout x de E associe x lui-même est appelée application identique de E (ou identité de E) et est notée idE ou simplement id, si cela ne prête pas à confusion :

idE : E E , idE(x) = x  pour tout x de E

Dans le magma associatif ((E), o), l'application idE est neutre et dès que E possède au moins deux éléments, La loi o n'est généralement pas commutative :  dans (R), considérons :

Loi o et bijection réciproque :     

La fonction réciproque d'une bijection f de E sur F est une bijection de F sur E notée f-1 définie par :

y = f(x) x = f -1(y)

et par conséquent :

f -1 o f = idE  et  f o f -1= idF

idE et  idF désignent les applications identiques de E et F.

En d'autres termes :

xE, (f-1 o f )(x) = x   et  xF, (f o f-1)(x) = x

Le concept de fonction réciproque doit être manipulé avec précaution : le fait que (g o f)(x) = x  à l'issue d'un calcul sans précautions ne signifie nullement que f et g sont bijectives et que g est la fonction réciproque de f ! Dire la fonction f est bijective n'as pas de sens si l'on ne précise pas de quoi vers quoi.

  Dans le cas d'une fonction numérique, il s'agit de bien préciser les ensembles de départ et d'arrivée : Par exemple x x2 est bijective de R+ vers R+ (et sa réciproque est x x)  mais x x2 n'est pas bijective de R vers R. Il s'agit donc de bien reconnaître l'intervalle I sur lequel la restriction éventuelle de f est bijective, auquel cas, f -1 est définie sur f(I) à valeurs dans I et y = f(x) x = f -1(y). Dans ces conditions f(f -1(y)) = y et f -1(f(x)) = x.

Quelques résultats utiles :

1.  Les applications f : E F  et  g : F E étant toutes deux supposées bijectives et telles que g o f = idE  (ou f o g = idF), alors  g-1 = f , g = f -1 et f o g = idF.

Preuve : considérons g o f = idE et composons à gauche par g-1. L'associativité permet d'écrire : (g-1 o g)  o  f   = g-1o idE, c'est à dire idFo f = g-1 o idF et, par définition des applications identiques de E et de F, f = g-1.
Par suite f -1 = (g-1)-1 = g et f o g = g-1o g = idF.

2.  Les applications f : E F  et  g : F E vérifient g o f = idet f o g = idF , alors  f et g sont bijectives et f -1 = g (et g = f -1).

Preuve : montrons que f est bijective. Elle est injective car l'égalité f(a) = f(b) dans F implique (g o f)(a) = (g o f)(b), donc a = b puisque g o f = idE. Elle est surjective car si yF, en posant x = g(y)E, on a y = f(x) puisque f(g(y)) = y eu égard à  f o g = idF. De même g est bijective. On peut alors appliquer le résultat 1.

3. Si f : E F  et  g : F G sont des bijections, alors g o f est une bijection de E sur G et les bijections réciproques vérifient l'égalité :

(g o f)-1 = f -1 o g -1     (attention à l'ordre)

Preuve : montrons que f est bijective. Elle est injective car l'égalité f(a) = f(b) dans F implique (g o f)(a) = (g o f)(b), donc a = b puisque g o f = idE. Elle est surjective car si yF, en posant x = g(y)E, on a y = f(x) puisque f(g(y)) = y eu égard à  f o g = idF. De même g est bijective. On peut alors appliquer le résultat 1.

4.  Si f : E F est injective, alors f est bijective de E sur f(E) et sa réciproque f -1 est une bijection de f(E) sur E.

5.  (f -1)-1 n'est autre que f.

       Fonctions & fonctions composées (niveau collège/lycée) :              Notation f n et f -1 pour les fonctions :

On montre facilement que muni de la loi de composition des applications, l'ensemble des bijections d'un ensemble sur lui-même est un groupe généralement non commutatif.

Structures algébriques usuelles :

Justification des notations f-1 et  f n pour les fonctions :    

Lorsque f est une application de E vers F, l'application composée f o f peut se noter f 2:

(f o f)(x) = f( f(x) ) = f 2(x) où o désigne la loi de composition des applications

puis : f o f o f = (f o f) o f = f 3 , f o f o f... o f = f n. On pose alors logiquement f 1 = f et f 3 o f 2 est clairement f 5 et d'une façon générale : f n o f p, = f n+p. Ainsi cette notation se comporte comme une fonction puissance. On dit que f n(x) est le n-ème itéré de x par f.

Lorsque f est bijective, de fonction réciproque g, pour tout x de E, on a  (g o f)(x) = x, c'est à dire g o f = idE. On a d'autre part f o id = f, soit f1 o id = f1 . On est ainsi amené à poser id = f o et par suite, g o f = idE s'écrit f 1 o g = f 0, ce qui amène à poser g = f -1.

On ne doit pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction dans la cas où cette dernière serait numérique. L'écriture sin2(x), par exemple ne désigne pas sin(sin(x) mais [sin(x)]2. Le contexte doit éliminer toute ambigüité de notation.

Une notation parenthésée de l'exposant, comme f(n) , désigne généralement la fonction dérivée n-ème d'une fonction dérivable f dont la définition par récurrence est : f(o) = f et f(n) = [f(n-1)]'. C'est dire que f(1) = f ', f(2) = f '', etc.
 
Exemple d'usage avec la formule de Maclaurin :

_______     _______

1. x désignant un rationnel, quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par :

               Rép : tout nombre autre que 1 et 2.

2. Prouver que l'application f : Z Z, f(x) = 2 - |x| n'est pas surjective; montrer que les éléments z de Z admettant au moins un antécédent vérifient z 2.

3. Prouver que dans un ensemble fini E (ayant un nombre fini d'éléments), les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. f est une bijection de E

  2. f est une injection de E dans E                Rép :

  3. f est une surjection de E sur E.          

Un exercice lié à ce résultat :


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