ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonctions & Applications, composition (loi o), fonction réciproque
    »
Injection, surjection et bijection | Application identique (identité) | fonction réciproque | Restriction d'une application
         
Loi de composition des applications (loi o)  | fonctions paires ou impaires | fonctions niveau collège/lycée

Cette page suppose connue la notion de relation binaire dont les fonctions et applications sont des cas particuliers. La première notion de fonction au sens mathématique actuel fut introduite par Leibniz.

Rappel succin relatif aux relations binaires :    

Soit R une relation binaire de E dans F (on dit aussi correspondance). On note alors R : E → F. Si x R y, on dit que y est une image de x par la relation R et que x est un antécédent de y par cette même relation. L'ensemble DR des éléments de E qui ont au moins une image par R est l'ensemble (ou domaine) de définition de R.

» On parle parfois d'application ensembliste f : E F pour signifier que les ensembles E et F n'ont aucune propriété particulière.

Si R est une relation de E vers F, on peut représenter les couples (x,y) tels que xRy dans un repère. On parle alors de représentation graphique ou de courbe représentative de la relation R.

Image d'un ensemble :

Soit f : E F une fonction. L'ensemble des images par f des éléments de E est noté f(E), ou parfois Im(f) si cela n'est pas ambigu, et est appelé image de E par f. (définition due à Dedekind). Si A est inclus dans E, l'image de A par f est l'ensemble des éléments f(x) où x est élément de A :

f(A) = {y∈F / ∃ x∈E, y = f(x)}


Prouver que si A ⊂ B, alors f(A) ⊂ f(B). Réciproque fausse sauf si f est bijective. Voici un contre-exemple :
Soit f : R
R, f(x) = x2, A = [-2,1] et B = [-1,3]. f(A) = [0,4], f(B) = [0,9]. On a f(A) ⊂ f(B) mais non pas A ⊂ B !

 !   f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) mais f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) : l'égalité est fausse en général. Notons ici également que (f o g)(A) = f [g(A)]  (o désignant la loi de composition des applications).


a) Soit f : R R, f(x) = x2, A = [-2,1] et B = [-1,3]. f(A) = [0,4], f(B) = [0,9]. Comparer  f(A∩B) à  f(A)∩f(B).
b) Prouver que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B). Vérifier au moyen du cas a).

      Notation fonctionnelle (niveau lycée) : »           Image d'une application linéaire : »

   Lorsque R désigne une correspondance (relation binaire), l'ensemble des images de x par R est {y∈F / x R y}. On peut le noter  R({x}) et s'il n'y a pas d'ambiguïté, on note plus simplement R(x) cet ensemble.

Restriction d'une application, prolongement, application induite :

Si f est une application de E vers F, et P une partie de E, on appelle restriction de f à P et on note f/P l'application de P vers F qui coïncide avec f pour tout élément de P :

f/P : P F, f/P(x) = f(x) pour tout x de P.

Inversement, considérons f : E F et g : E' F avec E'⊃E. Si, pour tout x de E, on a g(x) = f(x), on dit que g est un prolongement (ou une extension) de f à E'. Cela revient à exprimer que la restriction de g à E n'autre que f : g/E = f. 

Plus généralement, on peut aussi modifier l'ensemble d'arrivée de f, en le restreignant par exemple à l'image f(F) de E par F :

Soit f : E F. L'application g : A → B définie par A⊂E, B⊂f(E) et g(x) = f(x) pour tout x de A est appelée application induite par f sur A.

Image réciproque d'un élément ou d'une partie, image directe :

Soit f : E F une fonction et B est une partie de F. L'ensemble des éléments de E dont l'image par f est un élément de B est appelé image réciproque de B par f et est noté f-1(B). C'est encore Dedekind qui est à l'origine de cette définition bien pratique. Dans ce contexte "réciproque", l'image f(A) d'une partie A de E est, a contrario, dite "directe".

Plus particulièrement, si y est un élément de F, l'ensemble des éléments de E qui ont y pour image est appelé image réciproque de y par f et noté est noté f-1({y}) ou, plus simplement f-1(y).

•  Exemple : Soit f : R R, f(x) = x2, f -1(4) = {-2,2}, f -1([4,25]) = [-5,-2] U [2,5]. 

 !   Attention : l'usage de la notation f -1 ne signifie nullement que f -1 est une fonction. Il est cependant justifié par le fait que si l'image réciproque de tout élément de F contient un seul élément de E, alors f est une bijection (voir ci-dessous). Remarquer enfin qu'une image réciproque peut être vide.

   La relation qui à tout y de F associe f-1(y) est une correspondance de F vers E. En notant encore  f-1 cette relation, elle sera une fonction si f-1(y) est vide ou réduit à un singleton (ensemble réduit à un unique élément) pour tout y de F. On parle parfois de correspondance biunivoque pour exprimer ce dernier état de fait, synonyme de bijection :

Injection, surjection, bijection :            » permutation , fonction réciproque

Injection :   

Une fonction pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective. Il revient au même de dire que des images égales ont des antécédents égaux. On emploie aussi le terme injection pour désigner une telle fonction.

f : E → F est injective ⇔ f(a) = f(b)  ⇒ a = b

Injection canonique :   

Lorsque A est une partie d'un ensemble E, l'application i : A → E qui à tout x de A associe x dans E, c'est à dire i(x) = x, est injective et appelée injection canonique de A dans E.

Cette définition facilite les démonstrations de nombreux résultats dans les problèmes algébriques de décomposition algébrique des fonctions (théorie des groupes, homomorphismes, topologie).

Surjection :   

Une application de E vers F pour laquelle tout élément de F admet au moins un antécédent est dite surjective de E sur F; on emploie aussi le terme surjection pour désigner une telle application :

f : E → F est surjective ⇔ f(E) = F : l'image de E par f est F tout entier

∀ y∈F, ∃ x ∈E / y = f(x)

Surjection canonique :   

Lorsque R désigne une relation d'équivalence dans un ensemble E, l'application s : E → E/R qui à tout x de E associe sa classe d'équivalence dans l'ensemble quotient E/R, est surjective et appelée surjection canonique de E sur E/R. Cette définition facilite les démonstrations de nombreux résultats dans les problèmes algébriques de décomposition des fonctions (théorie des groupes, homomorphismes, topologie).

Bijection :   

On qualifie ainsi une application de E vers F à la fois injective et surjective est dite bijective. On parle bijection de E sur F. On peut énoncer :

f : E → F est bijective ⇔ tout élément de F admet un unique antécédent.

Autrement dit :

∀ y∈F, ∃ x ∈E, x unique  / y = f(x)

   Toute fonction numérique (de R vers R) strictement monotone (croissante ou décroissante) et continue sur un intervalle I réalise une bijection de I sur son image f(I).

Dans le cas discret (fonction définie dans N ou Z), le problème est tout autre car mis à part des intervalles où f est éventuellement constante, f est discontinue. Par exemple :

 !  Toujours bien préciser les ensembles de départ et d'arrivée lorsqu'on parle d'injection, de surjection ou de bijection. Voici 4 exemples dans le cas continu :

   Il se peut qu'une bijection f coïncide avec sa réciproque; c'est le cas par exemple de f : RR, f(x) = x (application identique),  de g : RR, f(x) = - x ou encore de h : R*R*, h(x) = 1/x. En géométrie, les symétries coïncident avec leur réciproque : on parle d'involution.

Une transformation involutive, l'inversion : »              Fonctions paire ou impaire : »

Nombre d'applications entre deux ensembles finis :     

Dans le cas d'une application quelconque de E vers F, l'image d'un élément de E peut être choisie parmi les n éléments de F (deux éléments de E peuvent avoir ici la même image). Une telle application s'identifie donc à un p-uplet d'images (im1, im2, ..., imp); d'où l'existence de n × n ×... × n = np cas possibles (p facteurs) :

Théorème 1 :  

Le nombre d'applications de E, de cardinal p, vers F de cardinal n, est égal à np

    Ce résultat montre que le nombre de parties d'un ensemble E de cardinal n est 2n. En effet, définir une partie de E c'est définir une application de {0,1} dans E en associant 1 à un élément choisi et 0 sinon.

Combinatoire, Arrangements, Permutations : »            Dedekind et le langage des applications : »

Dénombrement des injections, surjections et bijections dans le cas d'ensembles finis :

Théorème 2 :  

Si E et F sont de même cardinal fini, toute application f injective -ou bien surjective- de E vers F est bijective.

Preuve : Posons Card(E) = Card(F) = n. Si f est injective, deux éléments distincts de E devront avoir des images distinctes. Il y a n images à définir. On épuisera ainsi les n éléments de F : donc f est surjective. Si f est surjective, tout élément y de F doit admettre au moins un antécédent. Si un élément y de F admet deux antécédents ou plus dans E, alors on aura épuisé l'ensemble E, ensemble des antécédents avant celui des images ! Par conséquent tout élément de F admet un unique antécédent : f est bijective.

Cantor et la notion de cardinal d'un ensemble : »         Injection, surjection, bijection  et dénombrabilité : »

Théorème 3 (nombre d'injections) :    

Dans le cas d'une injection de E vers F, il n'y a pas possibilité d'attribuer une même image à deux éléments de E; par suite si p = Card(E) et n = Card(F), on a n ≥ p :

 Le nombre d'injections de E, de cardinal p, vers F de cardinal n (n ≥ p), est le nombre d'arrangements Anp
de n objets pris p à p, soit : n × (n - 1) × (n - 2)... × (n - p + 1) = n!/(n - p)!

Preuve : numérotons x1, x2, ... xp les éléments de E. Il y a n choix possibles pour l'image du 1er élément, n - 1 choix pour le second, n - 2 choix pour le 3ème, n - k + 1 choix pour le k-ème, ..., n - p + 1 choix pour le p-ème.    » arrangements

 
Je range 4 boules dans 6 casiers (» ci-dessus). Dans combien de cas chaque casier contiendra au plus une boule ?
Rép : le rangement s'interprète comme un injection; A64 = 6 × 5 × 4 = 120.

Théorème 4 (nombre de surjections) :     

Une surjection de E sur F n'existe que si p = Card(E) est au moins égal à n = Card(F). Soit Sp,n leur nombre. Voici tout d'abord quelques cas particuliers :

Cas général :   

Le nombre Sp,n de surjections de E, de cardinal p, sur F, de cardinal n (n ≤ p), n ≥ 1, p ≥ 1, est défini par la récurrence :

Preuve : considérons E = {e1, e2, ..., ep}et l'adjonction d'un élément ep+1 dans E; notons s une surjection de {e1, e2, ..., ep}∪{ep+1} sur F. De deux choses l'une : ou bien aucun élément de E n'a même image par s que ep+1, auquel cas s/E , s restreinte à E, réalise une surjection de E sur F privé d'un élément y, surjections au nombre de S(p,n - 1) et l'on a s(y) = ep+1 avec n choix possibles pour y, ce qui fournit nS(p,n - 1) cas; ou bien il existe au moins un élément ei de E ayant même image par s que ep+1, auquel cas s/E réalise une surjection de E = {e1, e2, ..., ei ..., ep} sur F, surjections au nombre de S(p,n) avec, là encore, n choix possibles pour l'image par s de l'image de ep+1 dans F, ce qui fournit nS(p,n) cas.

 
Utiliser la formule du nombre de surjections afin de démontrer par récurrence que S(n + 1,n) =
½n(n + 1)!

Par récurrence sur p la valeur explicite de Sp,n est donnée par la somme combinatoire :

 

Preuve : La formule est manifestement vérifiée pour tout n ≤ p lorsque p = 1. Supposons la formule vraie pour tout n ≤ p, p > 1. Selon la formule de récurrence des surjections, on est en droit d'écrire : Sp+1,n = n × k=1,n-1 (-1)n-k-1Cn-1k kp + Σk=1,n (-1)n-kCnk kp] =  n × k=1,n-1(-1) × (-1)n-kCn-1k kp + (-1)n-kCnk kp] + np+1 car dans la somme de k = 1 à n, le dernier terme est np. Cela nous conduit à Sp+1,n = n × k=1,n-1(-1)n-k kp(Cnk -Cn-1k] + np+1. On sait ou l'on vérifiera facilement que Cnk - Cn-1k = Cn-1k-1 et nCn-1k-1 = kCnk. On a donc : Sp+1,n = Σk=1,n-1(-1)n-k kp+1 × Cnk] + np+1 = Sp+1,n = Σk=1,n (-1)n-k kp+1 × Cnk, en entrant le terme np+1en tant que n-ème terme (k = n) de la somme des (-1)n-k kp+1 × Cnk.

Théorème 5 (nombre de bijections) :    

Une bijection de E vers F s'interprète comme une injection surjective. Par suite Card(E) = Card(F) et la formule du nombre d'injections appliquée à ce cas particulier conduit à ce résultat :

Lorsque E et F sont de cardinal fini n, on dénombre n! (factorielle n) bijections de E sur F.
Dans le cas E = F, on parlera plutôt de
permutation de E.

   On peut aussi appliquer la formule des surjections au cas p + 1  = n,  soit p = n - 1 < n; on a alors S(p,n) = 0 et S(n,n) = nS(n - 1, n - 1); par conséquent, par descente finie des indices S(n,n) = n × (n - 1) × ... × 2 × S(1,1) = n!

 
Je range 4 boules dans 6 casiers (» ci-dessus). Dans combien de cas 2 casiers (exactement) seront vides : on choisit les 2 casiers qui seront vides (C62
cas distincts); chaque casier devra contenir exactement 1 boule; un rangement s'interprète comme une bijection de l'ensemble des boules vers l'ensemble des 4 casiers restants. Le nombre de cas cherché est donc : C62 × 4! = 15 × 24 = 360.

Loi de composition des applications :                »  loi de composition (cas général)

Étant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), considérons les applications f : E F  et  g : F G. En posant, pour tout x de E :

h(x) = g(f(x))

on définit une application h de E vers G, appelée composée de f par g et notée g o f : on lit f rond g et on écrit :

h(x) = (g o f)(x)

   On dit parfois que h est l'application f suivie de g. On parle aussi de produit de composition pour désigner le résultat h de la composition de f par g mais cela peut prêter à confusion au niveau scolaire, certains élèves pensant à une multiplication et confondant g o f et g × f !

 !   Si f o g a un sens, il n'est pas assuré que g o f en ait un. Considérer : f : R+→ R, f(x) = x2 - 1  et  g : R+→ R+, g(x) = √x. On a (f o g)(x) = x - 1 pour tout x positif mais (g o f)(x) = √(x2 - 1) n'a pas de sens sur [0;1]. Le problème est ici dû au fait que l'on travaille sur des fonctions dont les ensembles de définition perturbent la composition...

Fonctions, composition de fonctions (niveau lycée) : »

 Si H désigne un quatrième ensemble non vide, soit h une application de G vers H : E →F. Pour tout élément x de E, on a :

[h o (g o f)](x) = h((g o f)(x)) = h[g(f(x))] = (h o g)(f(x)) = [(h o g) o f](x)

C'est dire que :

h o (g o f) = (h o g) o f

    On exprime cette égalité en disant que la composition des applications est associative. Lorsque E = F = G = H, la composition des applications est donc une loi de composition interne associative dans l'ensemble des applications de E vers E que l'on note F(E).

Application identique, également appelée identité :  

L'application de E vers E qui à tout x de E associe x lui-même est appelée application identique de E (ou identité de E) et est notée idE ou simplement id, si cela ne prête pas à confusion :

idE : E E , idE(x) = x  pour tout x de E

Dans le magma associatif (F(E), o), l'application idE est neutre et dès que E possède au moins deux éléments, La loi o n'est généralement pas commutative :  dans F(R), considérons :

Loi o et bijection réciproque :     

La fonction réciproque d'une bijection f de E sur F est une bijection de F sur E notée f-1 définie par :

y = f(x) ⇔ x = f -1(y)

et par conséquent :

f -1 o f = idE  et  f o f -1= idF

idE et  idF désignent les applications identiques de E et F.

En d'autres termes :

∀ x∈E, (f-1 o f )(x) = x   et  ∀ x∈F, (f o f-1)(x) = x

 !  Le concept de fonction réciproque doit être manipulé avec précaution : le fait que (g o f)(x) = x  à l'issue d'un calcul sans précautions ne signifie nullement que f et g sont bijectives et que g est la fonction réciproque de f ! Dire la fonction f est bijective n'as pas de sens si l'on ne précise pas de quoi vers quoi.

 !  Dans le cas d'une fonction numérique, il s'agit de bien préciser les ensembles de départ et d'arrivée : Par exemple x → x2 est bijective de R+ vers R+ (et sa réciproque est x → √x)  mais x → x2 n'est pas une bijection de R sur R ! Il s'agit donc de bien reconnaître l'intervalle I sur lequel la restriction éventuelle de f est bijective; auquel cas, f -1 est définie sur f(I) à valeurs dans I et y = f(x) ⇔ x = f -1(y). Dans ces conditions f(f -1(y)) = y et f -1(f(x)) = x.

Quelques résultats utiles :   

1.  Les applications f : E F  et  g : F E étant toutes deux supposées bijectives et telles que g o f = idE  (ou f o g = idF), alors  g-1 = f , g = f -1 et f o g = idF.

Preuve : considérons g o f = idE et composons à gauche par g-1. L'associativité permet d'écrire : (g-1 o g)  o  f   = g-1o idE, c'est à dire idFo f = g-1 o idF et, par définition des applications identiques de E et de F, f = g-1.
Par suite f -1 = (g-1)-1 = g et f o g = g-1o g = idF.

2.  Les applications f : E F  et  g : F E vérifient g o f = idet f o g = idF , alors  f et g sont bijectives et f -1 = g (et g = f -1).

Preuve : montrons que f est bijective. Elle est injective car l'égalité f(a) = f(b) dans F implique (g o f)(a) = (g o f)(b), donc a = b puisque g o f = idE. Elle est surjective car si y∈F, en posant x = g(y)∈E, on a y = f(x) puisque f(g(y)) = y eu égard à  f o g = idF. De même g est bijective. On peut alors appliquer le résultat 1.

3. Si f : E F  et  g : F G sont des bijections, alors g o f est une bijection de E sur G et les bijections réciproques vérifient l'égalité :

(g o f)-1 = f -1 o g -1     (attention à l'ordre)

Preuve : montrons que f est bijective. Elle est injective car l'égalité f(a) = f(b) dans F implique (g o f)(a) = (g o f)(b), donc a = b puisque g o f = idE. Elle est surjective car si y∈F, en posant x = g(y)∈E, on a y = f(x) puisque f(g(y)) = y eu égard à  f o g = idF. De même g est bijective. On peut alors appliquer le résultat 1.

4.  Si f : E F est injective, alors f est bijective de E sur f(E) et sa réciproque f -1 est une bijection de f(E) sur E.

5.  (f -1)-1 n'est autre que f.

       Fonctions & fonctions composées (niveau collège/lycée) : »

On montre facilement que muni de la loi de composition des applications, l'ensemble des bijections d'un ensemble sur lui-même est un groupe généralement non commutatif.

Structures algébriques usuelles : »

Justification des notations f -1 et  f n pour les fonctions :    

Lorsque f est une application de E vers F, l'application composée f o f peut se noter f 2 :

(f o f)(x) = f( f(x) ) = f 2(x) où o désigne la loi de composition des applications

puis : f o f o f = (f o f) o f = f3 , f o f o f... o f = fn. On pose alors logiquement f1 = f et f3 o f2 est clairement f5 et d'une façon générale : fn o fp, = fn+p. Ainsi cette notation se comporte comme une fonction puissance. On dit que fn(x) est le n-ème itéré de x par la fonction f.

Lorsque f est bijective, de fonction réciproque g, pour tout x de E, on a  (g o f)(x) = x, c'est à dire g o f = idE. On a d'autre part f o id = f, soit f1 o id = f1 . On est ainsi amené à poser id = fo et par suite, g o f = idE s'écrit f1 o g = f0, amenant à poser g = f -1.

 !  On ne doit pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction dans la cas où cette dernière serait numérique. L'écriture sin2(x), par exemple ne désigne pas sin(sin(x) mais [sin(x)]2. Le contexte doit éliminer toute ambigüité de notation.

 i  Une notation parenthésée de l'exposant, comme f(n) , désigne généralement la fonction dérivée n-ème d'une fonction dérivable f dont la définition par récurrence est : f(o) = f et f(n) = [f(n-1)]'. C'est dire que f(1) = f ', f(2) = f '', etc.

Exemple d'usage avec la formule de Maclaurin : »

_______     _______

1. x désignant un rationnel, quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par :

               Rép : tout nombre autre que 1 et 2.

2. Prouver que l'application f : Z Z, f(x) = 2 - |x| n'est pas surjective; montrer que les éléments z de Z admettant au moins un antécédent vérifient z ≤ 2.

3. Prouver que dans un ensemble fini E (ayant un nombre fini d'éléments), les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. f est une bijection de E

  2. f est une injection de E dans E                Rép :  

  3. f est une surjection de E sur E.          


Un exercice lié à ce résultat : »


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