ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Résolution d'un triangle #1
TD niveau 2nde/1ère
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#2
, #3 ,
#4» Formule d'Al-Kashi et cas élémentaires | Cas général : programme JavaScript de résolution de triangles |
➔ « Résoudre un triangle », c'est calculer la mesure de ses côtés et de ses angles. En vertu des « cas d'égalité des triangles », trois données compatibles suffisent généralement. Certains cas peuvent conduire à une indétermination (non unicité).
Considérons le triangle ABC vérifiant : BC = 7 cm, AC = 6 cm et ^BAC = 60°:
1a. Construire avec soin ce triangle (règle graduée, compas, rapporteur) en commençant par tracer le côté [AC]. Remarquer qu'il n'y a qu'une solution. Mesurer les angles (à 1° près) et les côtés à 0,1 près.
1b. Construire ce triangle (règle graduée, compas mais pas de rapporteur !) en commençant par tracer le segment [BC].
Indication : en application de la notion d'angles inscrits (classe de 3ème), on pourra placer le point A sur un cercle convenable...
2. Résoudre ce triangle,
c'est à dire,
par le calcul, évaluer : AB et les angles ^ABC et ^BCA.
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On pourra utiliser la
formule des sinus
dans le triangle plan dont la preuve est donnée
ici.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
1a : On trace [AC] de longueur 6 cm puis la demi-droite [Ax) telle que ^CAx = 60°. Le cercle de centre C de rayon 7 cm coupe [Ax) en un unique point B. L'unicité de B dépend des mesures données : on pourra le constater dans cette variante.
AB ≅ 7,7 cm , ^B ≅ 48° , ^C ≅ 72°.
1b : En application des angles inscrits, le point A se trouve sur un cercle (c1) d'où l'on voit le segment [BC] sous un angle de 60°.
Traçons le triangle équilatéral de côté 7 cm dont [BC] est une base;
Traçons les médiatrices de m1 et m2 fournissant le centre du cercle;
Traçons le cercle (c1);
L'arc de cercle (c2) de centre C, de rayon 6 cm, coupe (c1) au point A cherché.
2. On applique la formule des sinus au triangle ABC : BC/sin^A = AC/sin^B = AB/sin^C.
Ce qui fournit :
7/sin60° = 6/sin^B = AB/sin^C
Par conséquent, 7sin^B = 6sin60°, ce qui conduit à ^B ≅ 47,9° ou bien ^B ≅ 132,1° (c'est à dire 180° - 61,8° : on sait qu'un angle â et et son supplémentaire 180° - â ont le même sinus). Mais 132,1° ne convient pas car ^C = 180° - ^A - ^B conduirait à une mesure négative ! Ainsi ^B ≅ 47,9°. On en déduit ^C ≅ 72,1°. Reste à calculer AB : or BC/sin^A = AB/sin^C, d'où AB ≅ 7,7 cm.
➔ L'usage de la formule d'Al-Kashi s'avérerait ici peu pratique; elle est si possible, à éviter lorsqu'elle conduit à une équation du second degré. Voyons cela pour le calcul de AB = x :
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cos^A, soit : 49 = x2 + 36 - 6x (puisque cos60° = 1/2).
x2 - 6x - 13 = 0. Le discriminant de cette équation du second degré est 88 = 4 x 22 (valeur relativement sympathique car cos60° l'est aussi, ce qui est assez rare en trigonométrie...). Cela nous conduit à x = 3 ± √22. Seule la solution positive 3 + √22 convient, ce qui fournit AB = 7,6904... ≅ 7,7 cm.
Il nous faut maintenant calculer ^B ou ^C. Optons pour ^C en utilisant la valeur arrondie de AB : nous aurons
AB2 = 59,29 = 36 + 49 - 84cos^C
D'où cos^C = 25,71/84 ce qui conduit à ^C ≅ 72,2°. On voit dans cet arrondi un 1/10è d'écart par rapport à la valeur trouvée par la formule des sinus. Cet écart s'explique par l'arrondi à 0,1 près accepté sur AB.