ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Polygones : généralités                    polygones réguliers                      nombreux exercices sur la page exos CLG

Un polygone est une ligne brisée fermée (du grec poly = plusieurs et gônia = angle). Ci-contre on a tracé un polygone ABCDE.

  Chaque segment de droite qui le constitue, comme [AB] ci-contre, est un côté du polygone. ABCDE possède 5 côtés : c'est un pentagone.

  Les extrémités des côtés sont les sommets du polygone.

  Chaque sommet, comme A ci-contre, définit ainsi un angle du polygone : il y a autant d'angles que de côtés. L'angle ^EAB marqué en jaune est un des 5 angles du polygone; on peut aussi le noter tout simplement ^A.

  Une diagonale d'un polygone (comme en rose ci-dessus) est un segment joignant deux sommets non consécutifs.

Collégiens : Un polygone possédant 3 côtés (et 3 seulement) est un triangle. Dès qu'un polygone possède plus de 3 côtés (ou, ce qui revient au même : plus de 3 angles), on doit respecter l'ordre d'écriture des sommets.

Obtient le contour (bord extérieur, périmètre) du polygone en suivant la ligne brisée, sans lever le doigt ou le crayon dans l'ordre d'écriture des points : on aborde ainsi le problème des polygones convexes ou croisés décrit ci-après.

Ci-dessous, on a colorié l'intérieur de deux polygones : le 1er (de gauche à droite) est convexe et se nomme ABCD; le second est croisé; il se nomme ACDB.

                                   Toiture des hospices de Beaune, France 

 
Un exercice de dénombrement, de type problème ouvert au collège, est la recherche par essais et conjectures du nombre de diagonales d'un polygone convexe de n côtés (parfois appelé n-gone).

Le résultat peut s'établir directement en 1ère par usage des formules de dénombrement :

2 + 3 + ... + (n - 2) = n( n - 1)/2 - n = (n²- 3n)/2

Notion de problème ouvert (en pédagogie) :

• convexe si, pour toute droite (d) portant un côté, les n - 1 côtés restants sont dans un même demi-plan de bord (d) : triangle,  trapèze, parallélogramme, rectangle, carré, losange, ...
• concave dans le cas contraire;
• croisé si au moins deux côtés s'intersectent.

Les pointillés verts indiquent un exemple de diagonale : elle joint deux sommets non consécutifs.

  ses côtés ont même mesure;
  ses sommets sont sur un même cercle (polygone inscriptible).

Cela revient à dire que ses angles ont même mesure. Euclide parlait de polygones équilatéraux et équiangles.

Une définition plus synthétique consiste à dire qu'un polygone P de n côtés est régulier si et seulement si il existe un point O pour lequel P est invariant dans la rotation de centre O d'angle 2p/n.

  À gauche, en bleu l'octogone régulier convexe ADGBEHCF, en rouge l'octogone régulier croisé (ou étoilé) ABCDEFGH. L'angle de rotation est 2p/8 = p/4, soit 45°.

 Deux côtés parallèles d'un polygone régulier sont dits opposés. Prouver qu'un polygone régulier possède des côtés opposés si et seulement si son nombre n de côtés est pair.

Le carré (rectangle dont la largeur égale la longueur) est un polygone régulier convexe;

   Le losange (quatre côtés de même mesure) n'est pas un polygone régulier, à moins qu'il ne soit en fait un carré (= losange ayant un angle droit, et par suite 4 !). Le terme losange provient de l'arabe  lauza = amande; dans le sud de la France, les tuiles d'ardoise, appelées lauzes évoquent la forme en amande.

Depuis Euclide et jusqu'au début du 19è siècle, le losange se disait rhombe, du grec rhombos = toupie, losange. Le parallélogramme (côtés opposés parallèles) s'appelait autrefois rhomboïde (de rhombe et de eidos = forme, ressemblance).

Au début du 20è siècle, dans un cours de Géométrie (1905),  Borel appelait rhomboïde ou contre-parallélogramme, ou encore cerf-volant, un quadrilatère (représenté à droite) dont une diagonale est un axe de symétrie .

Le pentagramme est un polygone régulier croisé (on dit aussi étoilé dans ce cas régulier).

 
Construire à la règle et au compas un hexagone (6 côtés) non régulier dont les côtés ont cependant même mesure (forme générale de l'enclume du forgeron).

En savoir plus sur les polygones réguliers :

Approche polygonale et radiale du cercle par... une araignée

L'appellation des polygones use du grec et du latin, bien que, dans triangle, tri = trois soit d'origine grecque, mais on sait que le latin provient en partie du grec :

n = 3 : triangle : celui qui a trois angles, donc trois côtés; on pourrait l'appeler un trilatère!

n = 4 : quadrilatère : celui qui a quatre côtés, donc quatre angles; on pourrait l'appeler un quadrangle!

n = 5 : pentagone    n = 6 : hexagone    n = 7 : heptagone

n = 8 : octogone    n = 9 : ennéagone    n = 10 : décagone

n = 16 : hexadécagone    n = ...

Il est aisé de prouver que la somme des mesures des angles d'un triangle égale 180° : correspondant à un angle plat, soit deux angles droits. On attribue la preuve de ce résultat aux Pythagoriciens, mais Thalès le savait certainement.

De ce résultat, on déduit que la somme des angles d'un quadrilatère égale 360° (équivalant à deux triangles), celle d'un pentagone égale 540° (équivalant à 3 triangles) et d'une façon générale : la somme des angles d'un n-gone égale :

(n - 2) 180°

car d'un sommet on peut joindre n - 3 sommets non consécutifs et ainsi former (n - 4) + 2 = n - 2 triangles.

Qu'est-ce qu'un trapèze ?  Le statut pédagogique du trapèze n'a jamais été très clair. Dans le bon vieux temps, un trapèze était un quadrilatère convexe  (non croisé) ayant une paire, et une seule, de côtés opposés parallèles.

Cela revenait à dire : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles et inégaux (qui ne sont pas de même mesure). Les bases étaient, par définition, les côtés parallèles. On note au passage que le parallélogramme, alias rhomboïde, peut se définir par quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles et égaux.

À droite, pigeonnier dont la section par un plan horizontal est un octogone régulier (sud-ouest, France)       

Aujourd'hui, il est de bon aloi d'énoncer :

Un trapèze est un quadrilatère non croisé (convexe) ayant deux côtés opposés parallèles

Et tout cela pour laisser la porte ouverte aux parallélogrammes qui apparaissent alors comme cas particuliers de trapèzes car dire ainsi, tendancieusement, « deux côtés opposés parallèles » n'interdit pas d'en avoir deux autres... : c'est l'idée que deux côtés opposés (au moins) sont parallèles. L'ennui est que l'on complique ainsi des énoncés au détriment de la simplicité du langage. Selon le problème étudié, on devra apporter des précisions comme :

• Considérons un trapèze ABCD  qui ne soit pas un parallélogramme.

• Soit ABCD un trapèze dont les côtés parallèles [AB] et [CD] n'ont pas la même mesure.
• Soit ABCD un trapèze tel que (BC) et (AD) ne soient pas parallèles.
• etc.

  de gauche à droite un trapèze vrai, un trapèze rectangle, un trapèze isocèle (tous au au sens strict...)
et le cas particulier du parallélogramme.

  Il est vrai  que pour le parallélogramme et ses complices (rectangle, carré), ou encore les triangles, on apporte parfois des précisions sous la forme : « soit un parallélogramme qui ne soit ni un rectangle ni un carré », « on considère un triangle ABC isocèle (et non équilatéral) ». Mais c'est un tort : voir en conclusion.

En ce qui concerne les formules d'aires, la définition new look oblige le professeur, soucieux d'honnêteté intellectuelle, à faire remarquer aux élèves, au risque de les embrouiller alors qu'ils s'y empêtrent déjà, que les formules Bh et (B+b)h/2 coïncident lorsque le trapèze s'avère être un parallélogramme (B = b)...

Professeurs : dites en classe « Tracez un parallélogramme qui ne soit pas un rectangle » en croyant simplifier la consigne avec l'idée très logique qu'un carré est un rectangle. Vous prenez le risque de voir se tracer des carrés... Dur, dur, la pédagogie. Ce n'est pas gentil de chercher à déstabiliser ses élèves...

Mais qu'est-ce qu'un trapèze isocèle ?  La définition d'antan était claire : on nomme ainsi un trapèze dont les côtés non parallèles ont même mesure. C'est ainsi qu'un trapèze isocèle, comme le triangle isocèle dont il est en quelque sorte un tronc, admet un axe de symétrie. Il nous faut donc exclure le cas du parallélogramme. Par conséquent, on est amené à la définition :

On appelle trapèze isocèle un trapèze qui n'est pas un parallélogramme et dont les côtés
non parallèles ont même mesure.

Mais qu'est-ce qu'un trapèze rectangle ?  Le lecteur s'évertuera à en donner une définition simple...

En résumé : il faut appeler un chat, un chat et, en l'absence de consigne claire, les cas particuliers devraient être systématiquement prohibés dès le plus jeune âge ! Si, comme à cette page (clic...), on parle de trapèze, il s'agit du trapèze au sens strict : ce n'est pas un parallélogramme, sinon l'énoncé l'aurait dit !

Si un énoncé parle d'un triangle isocèle ABC, il ne s'agit pas d'un triangle équilatéral, etc. Par contre, un prolongement pédagogique intéressant pourra être « que se passerait-il si le trapèze ABCD était remplacé par un parallélogramme... ? ».

En fait, tout cela n'est pas bien grave et quelle que soit la définition que nous donnerons, ringarde ou pas, l'avenir des élèves n'en sera pas changé. Si polémique il y a, elle se confine à la salle des professeurs à l'heure de la récré. C'est le serpent de mer à rapprocher de : doit-on écrire « le segment AB » ou  « le segment [AB] »? La seconde forme ne conduit-elle pas à lire "le segment segment AB" ?... Idem pour les droites et les vecteurs (fléchés).

   Trapèze isocèle , Trapèze et segment médian , Trapèze et moyenne harmonique