ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BELTRAMI Eugenio, italien, 1835-1900

A l'issue de ses études secondaires, Eugène Beltrami étudia les mathématiques à Pavie (1853-56) puis à Milan tout en travaillant pour subvenir à ses besoins. Il commença sa carrière d'enseignant universitaire à l'université de Bologne sur une chaire d'analyse (1862). Professeur à Pise (géodésie, 1863), à Rome (mécanique rationnelle, 1870) et à Pavie (1876) où il se consacra à la physique mathématique (élasticité, thermodynamique), Beltrami reviendra finalement à Rome pour y terminer sa carrière.

Dans les années 1860, Beltrami rencontre Cremona, géomètre influent, professeur à Milan qui l'initia aux nouvelles géométries. Beltrami s'intéressa principalement à la géométrie différentielle appliquée à la théorie des surfaces et des courbes gauches. Étudiant les courbes à courbure constante, il est amené aux géométries non euclidiennes, étudiant tout d'abord la géométrie sphérique sur les surfaces à courbure positive qu'étudia Riemann vers la fin des années 1850 (édition posthume, 1867).

La géométrie différentielle :              Notions de courbure :

Beltrami fut le premier à trouver (Saggio d'una interpretazione della geometria non euclidea : Essai d'une interprétation de la géométrie non euclidienne, 1868) un exemple concret de surface où la géométrie de Lobatchevski s'applique sans contradiction, confirmant l'idée que le fameux cinquième postulat des parallèles n'est ni incontournable, ni une évidence universelle : il s'applique sur une surface de courbure nulle : le plan.

 


Pseudosphère et disque de Beltrami :

Riemann, avait donné un exemple de géométrie non euclidienne sur une sphère : surface à courbure constante positive (convexe). Pour cette géométrie, parfaitement cohérente, il est impossible de mener par un point une parallèle à une droite donnée : seul le 5è postulat d'Euclide ne s'applique pas. Gauss avait aussi imaginé une géométrie sur une surface à courbure totale négative constante (concave) : elle sera développée, indépendamment par Lobatchevski dès 1826.

Courbure totale (ou gaussienne) :                    Saccheri

Beltrami prouva qu'une géométrie non euclidienne munie d'une métrique (distance) ne peut être cohérente que sur une surface de courbure constante pour laquelle les droites de la géométrie euclidienne seraient les géodésiques (trajectoires de cheminement minimum entre deux points).

Courbure géodésique :

Il s'agit alors d'exhiber un modèle de la géométrie de Lobatchevski. Les propriétés locales de la surface cherchée le conduisent à définir ce que l'on appelle aujourd'hui le modèle de Beltrami.

Étude du modèle plan de Beltrami, métrique de Cayley :

En 1868 (Giornale di mathematiche, volume 6), Beltrami montra que la surface de révolution engendrée par une tractrice autour de son asymptote possède une courbure constante négative : il la nomma pseudosphère (pseudosfera, par opposition à la sphère euclidienne de courbure constante positive).

A partir de sa définition, on pourra facilement démontrer que cette surface admet une équation paramétrée du type :

x = cos(u)/ch(v) , y = sin(u)/ch(v) , z = v - th(v)

où ch, sh et th sont les sinus, cosinus et tangente hyperboliques.

Géométrie de la pseudosphère (Cabrinet, lien externe) :

On peut, localement, sur cette surface, y appliquer la géométrie de Lobatchevski et y définir une distance cohérente. Les droites sont les tractrices (méridiens au sens de la rotation de la tractrice).

Un autre modèle de la géométrie de Lobatchevski fut présenté par Poincaré au moyen d'une demi-sphère.

Notion de courbure (d'une surface) :                Notions sur les géométries non euclidiennes :

 Formule (ou identité) de Beltrami (calcul des variations) :

C'est un cas particulier de la formule d'Euler-Lagrange lorsque la fonctionnelle ne dépend pas directement de x :

Application au brachistochrone :

  Pour en savoir plus :

  1. Théorie fondamentale des espaces de courbure constante, (et autres articles), mémoire de Beltrami traduits par G. Houël :
    http://www.numdam.org/search/Beltrami-a
  2. Essai d'une interprétation de la géométrie non euclidienne (modèle de Beltrami, traduit de l'italien par G. Houël) :
    http://archive.numdam.org/article/ASENS_1869_1_6__251_0.pdf
  3. Des pages superbes sur l'étude de la pseudosphère, des compléments historiques :
    http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Courbes/Tract/Tract4e.html
  4. Interprétation et modèles en géométrie (IREM de La Réunion) :
    http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article78


Venn  Mathieu
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