ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BELTRAMI Eugenio,
italien, 1835-1900 |
A
l'issue de ses études secondaires, Eugène Beltrami étudia les mathématiques à
Pavie (1853-56) puis à Milan tout en travaillant pour subvenir à ses besoins. Il
commença sa carrière d'enseignant universitaire à l'université de Bologne sur une chaire d'analyse
(1862). Professeur à Pise (géodésie, 1863), à Rome
(mécanique rationnelle, 1870) et à Pavie (1876) où il se consacra
à la physique mathématique (élasticité, thermodynamique), Beltrami
reviendra finalement à Rome pour y terminer sa carrière.
Dans les années 1860, Beltrami rencontre Cremona, géomètre influent, professeur à Milan qui l'initia aux nouvelles géométries. Beltrami s'intéressa principalement à la géométrie différentielle appliquée à la théorie des surfaces et des courbes gauches. Faisant suite aux travaux de Riemann et de Lamé, il publie en particulier Sulla teorica generale dei parametri differenziali (1868).
Étudiant les courbes à courbure constante, il est amené aux géométries non euclidiennes, étudiant tout d'abord la géométrie sphérique sur les surfaces à courbure positive qu'étudia Riemann vers la fin des années 1850 (édition posthume, 1867).
La géométrie différentielle : » Notions de courbure : »
| Pseudosphère et disque de Beltrami : |
Beltrami fut le premier à trouver (Saggio
d'una interpretazione della geometria non euclidea : Essai d'une
interprétation de la géométrie non
euclidienne, 1868-69) un exemple concret de surface où la
géométrie de Lobatchevski
s'applique sans contradiction, confirmant l'idée que le fameux
cinquième postulat des parallèles n'est ni incontournable, ni une
évidence universelle : il s'applique sur une surface de
courbure nulle : le plan.
Riemann,
avait donné un exemple de géométrie non
euclidienne sur une sphère : surface à courbure
constante positive (convexe). Pour cette géométrie, parfaitement
cohérente, il est
impossible de mener par un point une parallèle à une
droite donnée : seul le 5è postulat
d'Euclide ne s'applique pas. Gauss avait aussi
imaginé une géométrie sur une
surface à courbure totale négative constante (concave) :
elle sera développée, indépendamment par
Lobatchevski dès 1826.
Courbure totale (ou gaussienne) : » » Saccheri
Beltrami prouva qu'une géométrie non euclidienne munie d'une métrique (distance) ne peut être cohérente que sur une surface de courbure constante pour laquelle les droites de la géométrie euclidienne seraient les géodésiques (trajectoires de cheminement minimum entre deux points).
Courbure géodésique : »
Il s'agit alors d'exhiber un modèle de la géométrie de Lobatchevski. Les propriétés locales de la surface cherchée le conduisent à définir ce que l'on appelle aujourd'hui le modèle de Beltrami.
Étude du modèle plan de Beltrami (disque de Beltrami) , métrique de Cayley : »
Dans son traité, Beltrami montra que la surface de révolution engendrée par une tractrice autour de son asymptote possède une courbure constante négative : il la nomma pseudosphère (pseudosfera, par opposition à la sphère euclidienne de courbure constante positive).
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➔ A partir de sa définition, on pourra facilement démontrer que cette surface admet une équation paramétrée du type :
x = cos(u)/ch(v) , y = sin(u)/ch(v) , z = v - th(v)
où ch, sh et th sont les sinus, cosinus et tangente hyperboliques.
Géométrie de la pseudosphère (Cabrinet, lien externe) : »
On peut, localement, sur cette surface, y appliquer la géométrie de Lobatchevski et y définir une distance cohérente. Les droites sont les tractrices (méridiens au sens de la rotation de la tractrice).
Un autre modèle de la géométrie de Lobatchevski fut présenté par Poincaré au moyen d'une demi-sphère.
Notion de courbure (d'une surface) : » Notions sur les géométries non euclidiennes : »
| Formule (ou identité) de Beltrami (calcul des variations) : |
C'est un cas particulier de la formule d'Euler-Lagrange lorsque la fonctionnelle ne dépend pas directement de x :
Application au brachistochrone : »
➔ Pour en savoir plus :
Mathieu
