ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Apprendre à construire : constructions de triangles #5        niveau 4è/3è             » #1 à 4 , #6 , #7 , #8 , #9 , #10

Tracer deux droites concourantes en O à la manière de ci-dessous.
On demande de construire un triangle ABC admettant d1 comme hauteur issue de A et d2 comme hauteur issue de B et de rédiger le programme de construction (6 instructions au minimum).

 ➔   Toute construction doit être conduite par analyse et synthèse. L'analyse est le raisonnement aboutissant à la construction cherchée. Mais le processus d'analyse procède par implication : si ABC existe (on suppose la construction aboutie) alors on a nécessairement (forcément en langage élève) ceci ou cela, donc on va faire ceci ou cela. La synthèse consiste à vérifier que ces conditions nécessaires aboutissant à la construction sont aussi suffisantes, c'est à dire que cette construction vérifie bien toutes les hypothèses de l'énoncé.

Analyse :    

Plaçons arbitrairement A sur (d1) et B sur (d2) et étudions la situation. Le côté [BC] doit être perpendiculaire à la hauteur (d1) issue de A et le côté [AC] doit être perpendiculaire à la hauteur (d2) issue de B. D'où la construction :

Construction :    

1. Placer A sur d1;
2. Placer B sur d2;
3. Tracer [AB];
4. Tracer la perpendiculaire à d1 passant par B. Elle coupe d1 en K;
   » cette droite contiendra C.
5. Tracer la perpendiculaire à d2 passant par A. Elle coupe d2 en L;
6. C est à l'intersection de ces deux perpendiculaires (AL) et (BK).

Voici la même figure que ci-dessus générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Tu peux modifier la figure en déplaçant les droites d1 et d2 ainsi que les points O, A, B et C

Discussion :     

On a tracé en orange la troisième hauteur : les hauteurs concourent (se croisent) en O, point appelé orthocentre du triangle ABC : on aurait pu utiliser cette propriété afin d'obtenir C en remplacement du numéro 5.

 ➔   Le problème admet une infinité de solutions : déplace les droites d1 et d2, ou A et B afin de constater que tous les coups sont permis dans la configuration donnée. En déplaçant B, on obtient un angle ^ACB aigu ou obtus et, par suite, des hauteurs se coupant à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle ABC.