ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Triangles semblables ou « triangles de même forme »
      ou encore
« triangles homothétiques »

La notion euclidienne de triangles semblables est passée aux oubliettes de l'enseignement de la géométrie élémentaire dans les années 1970. On les retrouve cependant aujourd'hui sous l'appellation triangles de même forme dans le programme de seconde... Même en mathématiques, on craint de faire ringard, alors on fait new-look... mais flou, car on peut affirmer sans conteste que deux triangles quelconques ont la même forme : ils sont triangulaires...

Ergotage et sémantique mathématique... :

Considérons donc deux triangles ABC et A'B'C' dont les angles ont les mêmes mesures mais non les côtés (ces triangles ne sont pas isométriques...). Quitte à renommer le triangle A'B'C', on peut supposer que ^A = ^A', ^B = ^B' et ^C = ^C'.

Deux cas peuvent se présenter :  

ou bien :                                    

Le 1er cas correspond à une similitude directe, le second à une similitude indirecte.

Quitte à :

on peut se ramener à un seul cas.

On reconnaît alors une configuration de Thalès bien connue dès la classe de 4ème ci-dessus et il suit que

C'est dire que :

Si deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables avec ^A = ^A' et B = ^B', alors :

Étudions une réciproque :      

Supposons que deux triangles non isométriques ABC et A'B'C' vérifient les relations métriques AB < A'B' et :

Plaçons D sur [A'B'] tel que AB = A'D; la parallèle à (B'C') coupe [A'C'] en E. Les triangles A'DE et A'B'C' sont donc semblables (de même forme...) et selon la propriété de Thalès, on a :

Mais AB = A'D, on peut donc écrire 5 rapports égaux :

Par conséquent, les triangles ABC et A'DE sont isométriques. A'DE étant semblable à A'B'C', ABC et A'B'C' sont semblables.

  Une égalité comme :

ne suffit pas pour assurer que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables ! sauf si l'on sait que B' est situé sur (AB) et ' sur (AC). On applique alors de façon élémentaire la propriété de Thalès


 Quelques applications des résultats sur les triangles semblables dans ChronoMath :   

décagone et pentagone régulier, ennéagone , section dorée , Relations métriques dans le triangle rectangle
Puissance d'un point par rapport à un cercle , Théorie des cordes de Ptolémée , Cercle polaire

 
Euclide : Livre XIII, proposition VIII  , Théorème de Ptolémée , Théorème du papillon

Rigueur ou ergotage ?

Triangles de même forme au lieu de triangles semblables. Admettons. Mais le rigolo c'est que les rédacteurs des programmes se sentent obligés d'écrire en commentaire de l'intitulé "Triangles isométriques, triangles de même forme" . Citons :

On pourra utiliser la définition suivante : « Deux triangles ont la même forme si les angles de l'un sont égaux aux angles de l'autre, il s'agit donc de triangles semblables ».

S'il s'agit de triangles semblables, pourquoi ne pas appeler un chat, un chat ?

A propos de triangles isométriques : on entend là des triangles ayant des côtés de mêmes mesures. Il s'agit donc, de façon équivalente, de triangles superposables, c'est à dire que l'on peut, quitte à utiliser des déplacements et/ou retournements , rendre indiscernables : à une isométrie près, les triangles en question sont égaux. En particulier, deux triangles isométriques ont des angles de mêmes mesures.

En géométrie plane, deux figures F et F' seront dites égales s'il existe une isométrie µ tel que µ(F) = F'. Dans le bon vieux temps, on parlait de triangles égaux lorsque ceux-ci n'étaient en fait qu'isométriques... Et tous les élèves comprenaient...

Noter que les programme(ur)s officiels finissent par "craquer" lorsqu'ils écrivent comme ci-dessus si les angles de l'un sont égaux aux angles de l'autre : il s'agit en fait de dire si les mesures des angles de l'un sont égales à celles de l'autre. ChronoMath se veut pédagogique sans être tatillonne. Doit-on se disputer pour savoir si l'on doit dire ou écrire :

Il faut arrêter d'ergoter à la manière des années 1970-80 : un élève de collège ou de lycée ne doit pas être pénalisé pour des motifs aussi futiles dont la prétendue précision de langage n'apporte rien à la qualité du raisonnement et tend à anéantir toute motivation face à une matière souvent mal perçue...

Euclide et cas d'égalité des triangles.

Mathématiques et programmes scolaires... :

  On évitera toutefois de parler de triangles homothétiques lorsqu'il s'agit de triangles semblables. En effet, l'homothétie, schématisée ci-dessous, transforme un segment, comme [BC], en un segment parallèle [B'C'] et le qualificatif d'homothétique doit donc être réservé à l'image d'un triangle par une homothétie. Le point O est le centre de l'homothétie.


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