ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Inscription d'un triangle équilatéral dans un cercle
niveau 4ème/3ème» Plus dur : inscription dans un carré |
Cet exercice est dû au mathématicien français Sébastien Le Clerc (1637-1714). Source image : Encyclopédie Larousse Méthodique, sous la direction de Paul Augé - volume 2, 1955.
On considère un cercle et un point A de ce cercle. On demande de construire, au sens d'Euclide (c'est à die à la règle non graduée et au compas), un triangle équilatéral AGF, G et F devant être situés sur le cercle (triangle équilatéral inscrit de sommet A donné), cette construction ne devant utiliser qu'un seul tracé d'arc de cercle.
La construction
de l'hexagone régulier, illustrée ci-dessous et bien connu des écoliers
pour tracer une rosace, est ici
illicite !
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
Soit O le centre du cercle (c) donné et A sur le cercle.
On note C le point diamétralement opposé à A;
L'arc de cercle de centre C passant par O coupe le cercle (c) en G et F.
Le triangle AGF est équilatéral. En effet :
En classe de 4ème :
On montrera facilement, en traçant [AC], [GO] et [GC] que le triangle OGC est équilatéral, puis que ^GAC = 30°, d'où ...
En classe de 3ème :
On pourrait faire bon usage des angles inscrits...