ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construction à la règle seule                niveau 4è/3è    » Compas seul

Les constructions géométriques (selon Euclide) à la règle seule (et non graduée) sont très difficiles voire impossibles.

Hormis quelques cas simples, elles relèvent généralement de la géométrie projective et selon un théorème de Steiner, elles sont grandement facilitées si un cercle est tracé préalablement dans le plan de la figure à construire.

»  Mohr et le compas seul , Mascheroni , Napoléon

Ci-dessous est tracé un cercle. A et B sont diamétralement opposés. Un point P est placé comme indiqué.

Reproduire cette figure et construire la perpendiculaire à la droite (AB) passant par P, à la règle seule (pas de graduation, pas de compas, encore moins de rapporteur...), l'usage du centre du cercle étant strictement interdit !!!

• Tracer les demi-droites [PA) et [PB).

• [PA] coupe le cercle en H et [PB] le coupe en K.

• Les demi-droites [HB) et [AK) se coupent en C.

• Tracer (PC).

Les angles ^AHB et ^AKB sont droits en vertu du théorème selon lequel si [AB] est un diamètre d'un cercle (C) , alors pour tout point M de (C) autre que A et B, le triangle AMB est rectangle en M.

Le point B, intersection de deux hauteurs du triangle APC est l'orthocentre de ce triangle et par suite (AB) est la (troisième) hauteur issue de A : (PC) est perpendiculaire à (AB).