ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Une application de l'inégalité triangulaire
niveau 5è/4è |
Voici un triangle ABC. On note O un point intérieur à un triangle ABC. Vous pouvez déplacer O ou déformer ce triangle.
1. Démontrer que pour toute position de O, on a : OA + OB < CA + CB
 |
Coup de pouce : prolonger [AO] et noter A' le point d'intersection avec [BC]. Utiliser judicieusement l'inégalité triangulaire dans le triangle AA'C et dans le triangle OA'B et additionner membre à membre : si a < b et x < y, alors a + x < b + y |
On
en déduit de même : OB + OC < AB + AC et OC + OA < BC + BA.
Autrement dit : pour tout point intérieur à un
triangle, la somme des distances à deux sommets définissant un côté est inférieure à la somme des deux autres côtés.
2.
Prouver que
(AB + BC + CA)/2 < OA
+ OB + OC < AB + BC + CA
Autrement
dit : la somme des distances aux trois sommets d'un point intérieur à un
triangle est comprise entre le demi-périmètre et le périmètre du triangle.
| Solution : |
1. Dans le triangle AA'C, on a, en vertu de l'inégalité triangulaire :
AA' < AC + A'C
Dans le triangle OA'B, on a, de même : OB < OA' + BA'. Additionnons membre à membre en décomposant AA' en OA + OA' :
OA + OA' + OB < AC + A'C + OA' + BA'
C'est à dire :
OA + OB < CA + CB
2. En utilisant l'inégalité triangulaire dans les triangles AOB, AOC et BOC, on obtiendra facilement AB + BC + CA < 2(OA + OB + OC) et le résultat obtenu en 1° conduira à OA + OB + OC < AB + BC + CA.
On remarquera le lien avec le point
de Fermat/Toricelli. Cependant, le demi-périmètre est un minorant
assez grossier de la somme OA + OB + OC. Par exemple dans un triangle
équilatéral de côté c, le point de Fermat vérifie OA + OB + OC = c
,
le demi-périmètre valant 3c/2.