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Une application de l'inégalité triangulaire   TD  niveau 5è/4è

Voici un triangle ABC. On note O un point intérieur à un triangle ABC. Tu peux déplacer O ou déformer ce triangle.

1.  Démontre que pour toute position de O, on a : OA + OB < CA + CB

Coup de pouce :   prolonge [AO] et note A' le point d'intersection avec [BC]. Utilise judicieusement l'inégalité triangulaire dans le triangle AA'C et dans le triangle OA'B et additionne membre à membre :

si a < b et  x < y, alors a + x < b + y 

On en déduit de même : OB + OC < AB + AC et OC + OA < BC + BA. Autrement dit : pour tout point intérieur à un triangle, la somme des distances à deux sommets définissant un côté est inférieure à la somme des deux autres côtés.

2.   Prouve que  (AB + BC + CA)/2 < OA + OB + OC < AB + BC + CA

Autrement dit :  

La somme des distances aux trois sommets d'un point intérieur à un triangle est comprise 
entre le demi-périmètre et le périmètre du triangle.

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Solution :

1.   Dans le triangle AA'C, on a, en vertu de l'inégalité triangulaire :

AA' < AC + A'C

Dans le triangle OA'B, on a, de même : OB < OA' + BA'. Additionnons membre à membre en décomposant AA' en OA + OA' :

OA + OA' + OB <  AC + A'C + OA' + BA'

C'est à dire : 

OA + OB < CA + CB

2.     En utilisant l'inégalité triangulaire dans les triangles AOB, AOC et BOC, on obtiendra facilement AB + BC + CA < 2(OA + OB + OC) et le résultat obtenu en 1° conduira à OA + OB + OC < AB + BC + CA.

On remarquera le lien avec le point de Fermat/ToricelliCependant, le demi-périmètre est un minorant assez grossier de la somme OA + OB + OC. Par exemple dans un triangle équilatéral de côté c, le point de Fermat vérifie OA + OB + OC = c, le demi-périmètre valant 3c/2.


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