ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Apprendre à démontrer : un quadrilatère « un peu » particulier    
       niveau 4ème
       
 Théorème de Varignon

1. Démontre que le quadrilatère IJKL est un carré.

2. Démontre que l'aire du carré IJKL est la moitié de celle du quadrilatère ABCD.
     Tu pourra appeler H le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD].

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1. Dans le triangle ABD, I est un point de [AB] et L un point de [AD]; en application de la propriété de la droite des milieux, on peut donc affirmer que [LI] est parallèle à [BD] et que LI = BD/2.

Un raisonnement analogue s'applique aux autres côtés du quadrilatère IJKL et comme AC = BD, on a LI = IJ = JK = KL : IJKL est un losange.

Mais on sait que [AC] et [BD] sont perpendiculaires et puisque (LK) // (AC) et (LI) // (BD),  on déduit que (LK) et (LI) sont perpendiculaires.

Un losange ayant un angle droit est un carré.

Conclusion : IJKL est donc un carré.

2. L'aire du quadrilatère ABCD s'obtient comme la somme des aires des triangles ABD et BCD.

Conclusion : l'aire du carré IJKL est la moitié de l'aire du quadrilatère ABCD.


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