ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Apprendre à démontrer : un quadrilatère « un peu » particulier            niveau 4ème        » Théorème de Varignon

• On considère un quadrilatère ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires et ont même mesure.

• On note I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [AD].

1. Démontre que le quadrilatère IJKL est un carré.

2. Démontre que l'aire du carré IJKL est la moitié de celle du quadrilatère ABCD.
     » Tu pourra appeler H le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD].

1. Dans le triangle ABD, I est un point de [AB] et L un point de [AD]; en application de la propriété de la droite des milieux, on peut donc affirmer que [LI] est parallèle à [BD] et que LI = BD/2.

Un raisonnement analogue s'applique aux autres côtés du quadrilatère IJKL et comme AC = BD, on a LI = IJ = JK = KL : IJKL est un losange.

Mais on sait que [AC] et [BD] sont perpendiculaires et puisque (LK) // (AC) et (LI) // (BD),  on déduit que (LK) et (LI) sont perpendiculaires.

Un losange ayant un angle droit est un carré.

Conclusion : IJKL est donc un carré.

2. L'aire du quadrilatère ABCD s'obtient comme la somme des aires des triangles ABD et BCD.

• aire (ABD) = BD x AH/2   , aire (BCD) = BD x CH/2;
  Donc aire (ABCD) = BD x AH/2 + BD x CH/2 = BD x AC/2 = BD²/2 puisque BD = AC.
• aire (IJKL) = LI² = (BD/2)² = BD²/4 = ½aire(ABCD).

Conclusion : l'aire du carré IJKL est la moitié de l'aire du quadrilatère ABCD.