ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Al-KASHI ou Al-KASHANI, Gamshid ibn Messaoud, perse, 1350?-1439?

Al-Kashi, dit Ghyath ad-din (auxiliaire de la foi) est originaire de Kachan, en Iran, d'où son nom, il fut astronome à Samarcande, en Ouzbékistan. Un des plus grands mathématiciens de l'époque. On ne connaît que l'année approximative de sa mort : 1436 ou 1439.

Dans son principal traité (Maqalat Gamshid), il développa l'usage des nombres sexagésimaux (système de numération en base 60 qu'utilisaient les astronomes Babyloniens), du calcul trigonométrique, mais aussi des fractions décimales : on lui doit ce terme dans le calcul de π qu'il fit en base 60 afin d'être mieux compris par ses contemporains.

          Samarcande, Ouzbekistan, © YvesHanotiau           
http://www.skiouros.net/voyages/uz2000/samarcande.html     

Al-Kashi définit le dixième de l'unité, puis les dixièmes du second ordre (centièmes), etc. Il fut ainsi, avant Stevin en occident, le premier à exprimer des calculs complexes aux moyen des nombres indiens (calculs décimaux) dans sa Clé de l'arithmétique (Miftah al hisab, 1427). S'inspirant de son illustre ancêtre et confrère At-Tusi, il y traite également des racines n-èmes d'un nombre en apportant des formules de calcul approché héritées de ses prédécesseurs. Il précise également des calculs du type (a + b)n en usant de ce qu'on appelle aujourd'hui le triangle de Pascal, déjà utilisé par Omar Khayyam.

Un calcul remarquable de π !

C'est par la méthode des périmètres qu'Al-Kashi calcula le rapport de la circonférence à son rayon, c'est à dire 2π, en base 60, avec 9 positions, soit, par conversion qu'il exprime, l'équivalent de 16 décimales (Traité sur le cercle, 1424), excellente approximation alors jamais atteinte :

2π = 6,283 185 307 179 586 5...     notation π

La plus précise connue alors était celle du mathématicien chinois Tsu Chung Chi (vers l'an 450) qui, par la méthode des périmètres, avait obtenu l'encadrement :

3,1415926 < π < 3,1415927

A cette époque, π n'est pas encore le statut de nombre. Il n'est que le rapport de la circonférence au diamètre du cercle comme l'avait étudié Archimède. La première apparition du symbole π semble être due à Oughtred.

  Shanks            Calcul de 100 (ou plus) décimales de π :
Théorème d'Al-Kashi, résolution de triangles :

Relative à un triangle ABC de côtés AB = c, BC = a, CA = b, on doit à Al-Kashi la généralisation du théorème de Pythagore et s'exprimant depuis Viète sous la forme :

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosÂ

Si l'angle ^A est droit on retrouve la formule de Pythagore a2 = b2 + c2. Ce résultat est parfois appelé théorème de Pythagore généralisé ou encore règle du cosinus. On le prouvera facilement par usage des formules trigonométriques dans le triangle rectangle. Supposant ABC non rectangle, on devra distinguer deux cas suivant que l'un des angles, ici l'angle Â, est aigu ou obtus, tout en faisant usage de la hauteur (CH)...

 

Si vous séchez après avoir bien cherché :

Sous une forme purement géométrique, ce résultat attribué à Al-Kashi de par sa démarche trigonométrique, fait cependant l'objet des propositions 12 (cas obtus) et 13 (cas  aigu : triangle acutangle) du livre II des Eléments d'Euclide :

Proposition 13 du livre II des Éléments d'Euclide :

Ce très important résultat, allié à ^A + ^B + ^C = 180° ainsi qu'à la formule des sinus, dont les astronomes font grand usage en mécanique céleste, permet de résoudre un triangle : c'est à dire calculer la mesure de ses côtés et de ses angles. En vertu des « cas d'égalité des triangles », trois données compatibles suffisent généralement mais ertains cas peuvent conduire à une indétermination (non unicité).

  1. Trois côtés : formule d'Al-Kashi pour le calcul de deux angles puis ^A + ^B + ^C = 180°.

  2. Deux ou trois angles : indétermination des côtés; on prend par exemple BC = a comme unité et on calcule AB et AC en fonction de a au moyen de la formule des sinus.

  3. Deux côtés et un angle : si  les côtés connus sont ceux de l'angle connu, on calcule le côté manquant au moyen de la formule d'Al-Kashi et on se ramène au cas 1. Sinon, la formule des sinus permet de calculer le sinus d'un second angle. Le problème sera insoluble si ce dernier est supérieur à 1 ! On peut également ramener le problème à une équation du second degré au moyen de la formule d'Al-Kashi : on peut avoir 0, 1 ou 2 solution(s).

  4. Un  côté et 2 angles : on obtient le troisième angle comme supplément à 180° et on se ramène au cas 1 sans indétermination puisque l'on connait un côté.

Exemples élémentaires (illustration du cas 3) :   

a) Dans un triangle ABC, on a ^A = 45°, AB = 42 et AC = 6. Calculer BC ainsi que les angles ^B et ^C à 0,1° près.

Rép : l'application de la formule d'Al-Kashi fournit a2 = BC2 = b2 + c2 - 2bc.cos^A = 36 + 32 - 482cos45° = 20; d'où BC = 25.
On peut maintenant écrire  b2 = a2 + c2 - 2ac.cos^B, soit 36 = 32 + 20 - 1610.cos^B, d'où cos^B = 1/10 et ^B = 71,6°
à 0,1 près. Enfin ^C = 180° - ^A - ^B, soit 
^C = 63,4° (à 0,1 près).

b) Existe-t-il un triangle ABC, tel que ^A = 60°, AB = 7 et BC = 6.

 Rép : l'application de la formule des sinus fournit BC/sin^A = AB/sin^C, soit :  6/sin60° = 7/sin^C. Ce qui conduit à sin^C > 1 : pas de solution.
Au moyen de la formule d'Al-Khashi, on chercherait à calculer x = AC. On aurait 36 = 49 + x2 -7x (car cos^A = 1/2), soit : x2 -7x + 13 = 0,
équation du second degré dont le discriminant est négatif : pas de solution.


2.  Ci-dessous, on peut admirer un beau cerf-volant. Observer le codage et montrer que le cosinus de l'angle aigu est tout simplement 3/5.
En déduire son sinus et sa tangente.
Indic : utiliser le théorème d'Al-Kashi de 2 façons pour un même segment..

3.  Résolution de triangles : #1 , #2 , #3            4.  Juste pour s'amuser... (1èreS)           5.  Système bielle-manivelle (TerS)

Un autre résultat géométrique d'Al-Kashi :

Dans un triangle ABC, avec les notations usuelles et ^A désignant l'angle A, la formule : 

(a + b + c) x r = bc.sin^A = ac.sin^B = ab.sin^C

exprime le rayon du cercle inscrit en fonction des côtés d'un triangle et de l'angle défini par ces côtés, ainsi que l'aire S du triangle sous la forme (a + b + c) x r /2, soit

S = ½bc.sin^A

Cependant, selon A. P. Youschkevitch, Al-Kashi ne fait pas explicitement allusion à cette formule de l'aire du triangle; ce serait Snell qui l'aurait utilisée pour la première fois dans ses calculs de triangulation. S = ½bc.sin^A se calcule de façon évidente à partir de la formule élémentaire S = ½bh. Rappelons aussi la formule intéressante abc = 4RS, où R désigne cette fois le rayon du cercle circonscrit, que l'on déduit facilement de la formule des sinus ci-après.

 A partir des formules S = ½bc.sin^A et a2 = b2 + c2 - 2bc.cos^A, on peut établir la formule, dite de Héron d'Alexandrie :

donnant l'aire d'un triangle en fonction des seuls côtés : de la seconde formule, on exprime cos^A en fonction de a, b et c. On élève au carré et on on exprime alors sin2^A = 1 - cos2^A :

On remarque que chaque parenthèse contient une identité remarquable. En posant, traditionnellement, p = ½(a + b + c), demi-périmètre du triangle, on est conduit à :

Or, l'aire S du triangle est ½bc.sin^A. Ce qui établit la formule cherchée.

Formule des sinus :

La formule ci-dessus appliquée aux angles ^B et ^C, conduit à la  formule des sinus :

où ces trois rapports sont égaux au diamètre 2R du cercle circonscrit.

 
Preuve de cette formule usant des angles inscrits
 , exemples d'application

Valeur approchée d'une racine n-ème :

Lorsque N désigne un nombre entier, soit x le plus grand entier tel que xn N, c'est à dire la partie entière de la racine n-ème de N. Al-Kashi propose la formule :

Dans le cas d'une racine carrée (n = 2), on a (x + 1)2 - x2 = 2x + 1, d'où la formule :

Une calculatrice scientifique fournit 43,0268 pour cette racine cubique. Pas mal...

Cette formule d'approximation, d'autant plus valable que N et n sont grands, s'établit par interpolation linéaire. Posons :

y = f(x) = xn et y1 = f(x1) = f(x + 1)n

Connaissant x, racine n-ème de y et x1, racine n-ème de y1, on cherche à évaluer la racine n-ème du nombre N, lorsque y N y1.

Pour ce faire, notons x + α = xα]x,x1[ cette racine. On remplace l'arc de courbe de la fonction f sur [x,x1] par le segment [MM1]. La formule d'interpolation linéaire fournit le nombre :

 

comme approximation de N = f(xα). En remplaçant xα et x1 par leurs valeurs respectives x + α et x + 1, il vient que N a pour approximation xn + α[xn+1 - xn]. Autrement dit :

et, par conséquent :

est l'approximation cherchée de la racine n-ème de N.

L'observation graphique montre que les courbes représentatives de x xn apparaissent d'autant plus linéaires que x et n sont grands. C'est dire que les approximations seront moins grossières dans ce cas. On reconnaîtra à gauche la représentation des fonctions puissances  pour n = 2, 3, 4, 5, - et 7.
 

Autres travaux arithmétiques :

Al-Kashi exprime dans le Maqalat de nombreux problèmes ouverts (non résolus) comme :

ou encore :


Pour en savoir plus sur les mathématiques arabes :


Oresme  Mahdava de Sangamagrama
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