ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Parallèles équidistantes                  TD niveau 4è/3ème/2nde         »   Application ,  exercices sur le trapèze ,  voir aussi...

On se propose de démontrer un résultat qui est un cas particulier du théorème de Thalès :

On considère deux droites (d) et (d'). Si des parallèles déterminent sur (d) des segments égaux (AB = BC = CD = DE = ...), alors elles déterminent sur d' des segments égaux correspondants.

 !   on n'a généralement pas A'B' = AB, B'C' = BC, etc., sauf dans certains cas que l'on pourra facilement imaginer.  !

Voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :

= Indications pour la solution =

•  Tracer la parallèle à (d') passant par B coupant (CC') en S et la parallèle passant par D coupant (EE') en R et justifier que les triangles BCS et DER sont superposables (on dit aussi isométriques : mêmes mesures).

Pour ce faire, on utilisera un résultat enseigné au bon vieux temps des 1950 : on apprenait avec délectation les « cas d'égalité des triangles » chers au bien-aimé Euclide d'Alexandrie. En particulier :

Si deux triangles ont un côté de même mesure adjacent à deux angles respectivement égaux,
alors ces triangles sont égaux.

 ➔  Par égaux, on entendait superposables (ou isométriques pour faire plus snob...). C'est le cas des triangles ABC et A'B'C' ci-dessous :

♦  Dernier coup de pouce : Ayant prouvé que BCS et DER sont superposables, justifier que les quadrilatères BB'C'S et DD'E'R sont des parallélogrammes. En déduire que B'C' = D'E' et conclure.

Voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :

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Vous pouvez agir sur le curseur (tirette ♦à gauche) et déplacer les droites d, d' et (AA'), ainsi que F et I