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Trisection de l'angle selon Nicomède           
 
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Nicomède proposa une solution approchée de la trisection de l'angle (partage d'un angle en trois angles de même mesure) par la construction d'une trisectrice, c'est à dire une courbe permettant une trisection approchée :

^xOA est l'angle que nous voudrions trisecter. Soit K le projeté orthogonal de A sur [Ox) et [Az) la parallèle à [Ox) menée par A. Supposons placé sur [AK] le point B, tel que [OB) coupe [Az) en un point M pour lequel BM = 2OA.

En traçant la médiane issue de A dans le triangle BAM, on voit que ^AOB est le double de l'angle ^BOK. Il apparaît ainsi que :

l'angle ^xOM est le tiers de l'angle donné ^xOA

En effet, vu que BAM est rectangle en A, on a JA = JM = OA. Or ^BOK = ^JMA (alternes-internes). D'où, en notant t la mesure de ^BOK : ^AOB = ^OJA = 2t, c'est dire que ^xOA = 3t.

  Autre construction du triple d'un angle :

Le problème est donc de déterminer M. Plaçons nous dans un repère orthonormé et posons a = OA.

Cette construction étant achevée :

La parallèle à (Ox) passant par A coupe (Γ) en M, réalisant la trisection de l'angle ^xOA

Figure dynamique :   

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Déplacer P comme indiqué ci-dessus. Pour effacer le lieu (ensemble des points M), double-cliquer dans la figure Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java
la précision de la mesure des angles est de l'ordre de 0,1 degré.

En notation moderne, l'équation polaire de la trisectrice ainsi obtenue est

r = OP + PP' = OK/cos t + 2a    avec 0  t  π/2.

C'est une conchoïde (prononcer conkoïde ) de la droite (AK).

D'une façon générale, une conchoïde d'une courbe (C) relativement à un point O et à un nombre positif k, est obtenue, lorsque M décrit (C), comme le lieu des points M' alignés avec O et M et tels que MM' = k.

  En savoir plus sur les conchoïdes :

Ci-contre, la conchoïde (Γ) de la droite d'équation polaire r = 1/cos t
(soit x = 1 en coordonnées cartésiennes).

L'équation polaire de la courbe est :

r = 1/cos t + 2

Le paramètre t varie de 0 à 2π.

Les portions (Γ1), (Γ2) et (Γ3) correspondent respectivement
aux intervalles [o,π/2] , [π/2,3π/2] et [3π/2, 2π].

Morley


 Pour en savoir plus (constructions diverses et célèbres) :


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