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Trisection de l'angle selon Nicomède           
 
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Nicomède proposa une solution approchée de la trisection de l'angle par la construction d'une trisectrice, c'est à dire une courbe permettant une trisection approchée :

^xOA est l'angle que nous voudrions trisecter. Soit K le projeté orthogonal de A sur [Ox) et [Az) la parallèle à [Ox) menée par A. Supposons placé sur [AK] le point B, tel que [OB) coupe [Az) en un point M pour lequel BM = 2OA.

En traçant la médiane issue de A dans le triangle BAM, on voit que ^AOB est le double de l'angle ^BOK. Il apparaît ainsi que :

l'angle ^xOM est le tiers de l'angle donné ^xOA

En effet, vu que BAM est rectangle en A, on a JA = JM = OA. Or ^BOK = ^JMA (alternes-internes). D'où, en notant t la mesure de ^BOK : ^AOB = ^OJA = 2t, c'est dire que ^xOA = 3t.

  Autre construction du triple d'un angle :

Le problème est donc de déterminer M. Plaçons nous dans un repère orthonormé et posons a = OA.

Cette construction étant achevée :

La parallèle à (Ox) passant par A coupe (Γ) en M réalisant la trisection de l'angle ^xOA

La figure ci-dessous a été réalisée avec Cabri-Géomètre. Choisir un angle xÔy en déplaçant [Ay);
Déplacer P jusqu'à ce que M soit situé sur [Az). xÔM réalise la trisection de l'angle xÔA.

L'angle xÔy étant choisi, le logiciel trace l'ensemble des points M lorsque P varie.
Pour effacer le lieu (ensemble des points M), double-cliquer dans la figure.
 


la précision de la mesure des angles est de l'ordre de 0,1 degré.

En notation moderne, l'équation polaire de la trisectrice ainsi obtenue est

r = OP + PP' = OK/cos t + 2a    avec 0  t  π/2.

C'est une conchoïde (prononcer conkoïde ) de la droite (AK).

D'une façon générale, une conchoïde d'une courbe (C) relativement à un point O et à un nombre positif k, est obtenue, lorsque M décrit (C), comme le lieu des points M' alignés avec O et M et tels que MM' = k.

  En savoir plus sur les conchoïdes :

Ci-contre, la conchoïde (Γ) de la droite d'équation polaire r = 1/cos t
(soit x = 1 en coordonnées cartésiennes).

L'équation polaire de la courbe est :

r = 1/cos t + 2

Le paramètre t varie de 0 à 2π.

Les portions (Γ1), (Γ2) et (Γ3) correspondent respectivement
aux intervalles [o,π/2] , [π/2,3π/2] et [3π/2, 2π].

Morley

 Pour en savoir plus (constructions diverses et célèbres) :


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