ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Trisection de l'angle selon Nicomède              Autres trisections dans ChronoMath

Nicomède proposa une solution approchée de la trisection de l'angle par la construction d'une trisectrice, c'est à dire une courbe permettant une trisection approchée :^xOA est l'angle que nous voudrions trisecter. Soit K le projeté orthogonal de A sur [Ox) et [Az) la parallèle à [Ox) menée par A. Supposons placé sur [AK] le point B, tel que [OB) coupe [Az) en un point M pour lequel BM = 2OA.

En traçant la médiane issue de A dans le triangle BAM, on voit que ^AOB est le double de l'angle ^BOK. Ainsi l'angle ^xOM est le tiers de l'angle donné ^xOA : en effet, vu que BAM est rectangle en A, on a JA = JM = OA. Or ^BOK = ^JMA (alternes-internes). D'où , en notant t la mesure de ^BOK :

Le problème est donc de déterminer M. Plaçons nous dans un repère orthonormé.
Posons a = OA.

• A tout point P situé sur [AK], on associe le point P' de [OP), tel que OP' = OP + 2a (donc PP' = 2a).

• Tracez le plus grand nombre possible de demi-droites [OP) en reportant PP' = 2a.

• Vous voyez se construire point par point la branche (G) de la trisectrice.

Cette construction étant achevée, la parallèle à (Ox) passant par A coupe (G) en le point M réalisant la trisection de l'angle ^xOA :

  La figure ci-dessous a été réalisée avec Cabri-Géomètre. Choisir un angle xÔy en déplaçant [Ay); Déplacer P jusqu'à ce que M soit situé sur [Az). xÔM réalise la trisection de l'angle xÔA. L'angle xÔy étant choisi, le logiciel trace l'ensemble des points M lorsque P varie. Pour effacer le lieu (ensemble des points M), double-cliquer dans la figure.  la précision est de l'ordre de 0,1 degré.

En notation moderne, l'équation polaire de la trisectrice ainsi obtenue est

r = OP + PP' = OK/cos t + 2a    avec 0  t  p/2 .

C'est une conchoïde (prononcer conkoïde ) de la droite (AK).

D'une façon générale, une conchoïde d'une courbe (C) relativement à un point O et à un nombre positif k, est obtenue, lorsque M décrit (C), comme le lieu des points M' alignés avec O et M et tels que MM' = k.

  Conchoïdes :

Ci-dessous, l'ordinateur a tracé la conchoïde (G) de la droite d'équation polaire r = 1/cos t (soit x = 1 en coordonnées cartésiennes) . L'équation polaire de la courbe est : r = 1/cos t + 2 Le paramètre t varie de 0 à 2p. Les portions (G1), (G2) et (G3) correspondent respectivement aux intervalles [o,p/2] , [p/2,3p/2] et [3p/2, 2p]. Morley :  Pour en savoir plus (constructions diverses et célèbres) : Théorie des corps, la règle et le compas par J.-C. Carrega , Ed. Hermann, Paris - 1989 CES PROBLÈMES QUI FONT LES MATHÉMATIQUES (la trisection de l'angle), par Jean Aymes - Apmep/Ass.Prof.Math.Ens. (1989)