ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 SACCHERI Giovanni Girolamo,
italien, 1667-1733 |
Professeur de philosophie à Turin, puis de mathématiques à l'université de Pavie (1697). Reprenant des travaux des mathématiciens arabes comme Ibn al Haytham (Alhazen), Omar Khayyam et At-Tusi, Saccheri s'attache à démontrer, à l'instar de ces derniers mais peu convaincu de leurs démonstrations, le cinquième postulat d'Euclide à partir des quatre premiers.
Il publiera finalement, l'année de sa mort, un traité, en latin, intitulé Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide libéré de toute imperfection) où il aboutit implicitement, par l'étude des angles aigus, droits et obtus de son quadrilatère (ci-dessous) à l'indépendance de celui-ci par rapport aux autres. On peut ainsi le considérer comme un précurseur des géométries non euclidiennes qu'étudieront tout particulièrement Beltrami, Lobatchevski, Riemann et, pour couronner tous ces travaux : Klein.
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Quadrilatère de Saccheri : |
Considérons un segment
[AB]. Élevons les segments de même longueur
[AD] et [BC] perpendiculaires à [AB].
Joignons C et D. On obtient un quadrilatère dit de
Saccheri. Par symétrie ^D = ^C et Saccheri étudie les 3 cas possibles (aigu,
droit et obtus) en raisonnant par l'absurde sur les cas aigu et obtus en
espérant déboucher sur une contradiction eu égard aux quatre premiers axiomes.
Il vous paraît évidemment clair que ABCD est un rectangle et que le seul cas envisageable est celui de ^D = ^C = 90°. C'est votre droit... mais pour le prouver, le 5è postulat d'Euclide est nécessaire et s'il vous prend l'idée de le modifier, vous risquez de plonger alors dans des univers bizarres où l'espace se mêle au temps.
Vous pourrez facilement prouver que si vous admettez ^D = ^C = 90°, alors le 5è postulat d'Euclide est démontrable. Par conséquent le fameux postulat est équivalent à ^D = ^C = 90°, ce qu'on appelle l'hypothèse de l'angle droit. Les second et troisième rectangles ci-dessous symbolisent les géométries de l'angles obtus (sur une surface convexe) et de l'angle aigu (sur une surface concave) :
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➔ Pour en savoir plus :
,
Commission Inter-I.R.E.M. ,
Éd. Ellipses - 1993
Grandi