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➔ Les propriétés qui suivent ont été étudiées et prouvées par Euclide, propositions XXVI à XXXII du livre III de ses Eléments.
On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit, de centre O de rayon R. La corde [BC] définit deux arcs du cercle. La mesure de l'un deux, en tant que portion de circonférence, est au moins égal à un demi-cercle, l'égalité se produisant si [BC] est un diamètre. Sur la figure, il s'agit de l'arc BC contenant A :
Angle au centre et mesure d'un arc : |
L'angle géométrique ^BOC (sa mesure â n'excède pas 180°) dont le sommet est le centre O du cercle est qualifié d'angle au centre et interceptant l'arc BC.
➔ On parle également d'angle au centre interceptant la corde BC.
! Sur la figure, l'arc intercepté en question contient le point D. L'arc BC contenant A correspond au secteur angulaire ^BOC qui n'est pas un angle géométrique car sa mesure excède 180°.
La mesure, en degrés (ou grades, ou radians) de l'arc de cercle BC est, par définition, la mesure de l'angle au centre ^BOC. La mesure de l'arc BC contenant A est la mesure du secteur angulaire correspondant, à savoir 360° - â.
La mesure m de l'arc BC en tant que portion de circonférence est proportionnelle à sa mesure en degrés. Par suite :
m = 2πRâ/360 = πRâ/180. Si l'angle est exprimé en radians, m = Râ
» à des arcs égaux correspondent des cordes égales et inversement.
On appelle quadrant un arc de mesure 90°. On peut également parler de quart de cercle.
Voici la même figure que ci-dessus générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre :
Si votre navigateur accepte les applets Java
(»
extension CheerpJ)
:
Sur cette figure, identique à celle
présente ci-dessus, vous pouvez déplacer les points, comme B ou C
Que constatez-vous ? Faites apparaître le cas particulier où [BC]
est un diamètre (ABC rectangle en A).
Deux angles au centre interceptant des arcs de même mesure ont même mesure (ils sont superposables par rotation)
Angle inscrit : |
Ci-dessous, les angles ^BAC et ^BMC ont leur sommet sur le cercle : on parle d'angles inscrits dans ce cercle. Ces angles interceptent l'arc BC et sont situés d'un même côté par rapport à (BC) : on dit qu'ils interceptent le même arc :
Si votre navigateur accepte les applets Java
(»
extension CheerpJ)
:
Sur cette figure Cabri-Géomètre, vous pouvez déplacer les points.
B et C restant fixes, vous pouvez constater que les angles ^BAC et ^BMC
conservent la même mesure.
Quelle remarque peut-on faire en considérant ^BDC interceptant la même corde
BC ?
Théorème 1 :
Tout angle au centre mesure le double de l'angle inscrit interceptant le même arc.
Théorème 2 :
Deux angles inscrits interceptant le même arc ont même mesure.
L'angle inscrit ^BDC intercepte l'arc BC contenant A. Sa mesure est alors la moitié du secteur angulaire contenant A dont la mesure est 360° - ^BOC, la notation ^BOC désignant l'angle géométrique dans le triangle BOC.
Théorème 3 :
Si deux angles inscrits
interceptent le même arc et ont leurs sommets de part et d'autre de
la corde interceptée,
alors ces angles sont supplémentaires.
Sur la figure, A et D sont sur le cercle de part et d'autre de la corde [BC], les angles ^BAC et ^BDC sont supplémentaires : ^BAC + ^BDC = 180°.
Inversement :
Pour qu'un quadrilatère ABDC soit inscriptible dans un cercle, il faut
et il suffit qu'il possède deux angles
opposés supplémentaires (on dit
que A, B, D et C sont
cocycliques).
i cocyclique, cocyclicité, du latin cum, co = avec, ensemble et de cyclicus = cyclique issu du grec kuklos = cercle
En termes d'angles orientés de droites ou de vecteurs, ce résultat peut s'énoncer :
Le quadrilatère ABDC est inscriptible dans un cercle, si et seulement si :
^(AB, AC) = ^(DB, DC) mod. π (angles de droites)
Puissance d'un point par
rapport à un cercle, condition de Feuerbach :
»
∗∗∗
Points
cocycliques &
alignement
Cas particulier : angle formé par une corde et une tangente (Euclide, Livre III, Prop. XXXII) : |
Soit ^BAC un angle inscrit interceptant l'arc BC, u sa mesure en degrés et ^CBx l'angle formé par [BC) et la tangente [Bx) au point B.
L'angle ^xBQ est droit (propriété caractéristique de la tangente en B).
^BOC est un angle au centre de mesure 2u; ^BOC étant isocèle, on a ^OBC = ½(180° - 2u) = 90° - u.
Par conséquent ^CBx = BAC :
Théorème :
L'angle formé par une tangente une corde a même mesure que tout angle inscrit interceptant cette corde.
➔ Remarquer que l'on peut utiliser ici un raisonnement par continuité : Si M est un point du cercle situé du même côté que A par rapport à la corde [BC], on a ^(MB,MC) = ^BAC pour tout M aussi près soit-il de B. Lorsque M se rapproche de B, la sécante (MB) devient la tangente (Bx) : on peut donc concevoir qu'à la limite, on a encore ^(Bx,BC) = ^BAC.
Arc capable, vocabulaire aujourd'hui suranné : |
L'ensemble des points M du plan d'où l'on voit un segment [BC] sous un même angle, c'est à dire tel que ^BMC garde une même mesure α, est un arc de cercle, appelé arc capable de l'angle α construit sur [BC].
Construction d'un arc capable :
On trace la médiatrice de [BC];
Soit ^BCt de mesure α;
On trace la perpendiculaire à (Ct) passant par C. elle coupe la médiatrice de [BC] en O;
On trace le cercle de centre O passant par A;
L'arc capable de l'angle α est l'arc interceptant [BC] non contenu dans ^BCt.
➔ L'arc contenu dans ^BCt est l'arc capable de l'angle 180° - α.
Angle extérieur à un cercle : |
On nomme ainsi un angle dont le sommet est extérieur au cercle (plus précisément extérieur au disque dont le cercle est le bord) et dont les deux côtés rencontrent le cercle (en étant éventuellement tangents). En étudiant les trois configurations ci-dessous, montrer le résultat suivant :
La mesure d'un angle extérieur à un cercle
est égale à la différence des mesures des angles inscrits interceptant les mêmes
arcs
(au sens précisé dans chaque cas ci-après).
1. Chacun des deux côtés coupent le cercle en deux points :
On dit dans ce cas que l'angle extérieur M intercepte les arcs AC et BD intérieurs à ses côtés.
∗∗∗
Justifier ^BMC = ^BCD -
^ABC
2. Un des deux côtés est tangent au cercle :
L'angle extérieur M intercepte ici les deux arcs AC de corde commune [BC].
∗∗∗
Justifier ^BMC = ^BCx -
^ABC
3. Les deux côtés sont tangents au cercle :
∗∗∗
Justifier ^AMB = ^ABx -
^MAB
Angle intérieur à un cercle : |
On nomme ainsi un angle dont le sommet, comme M ci-dessous est intérieur au cercle. Dans un tel cas les deux côtés de l'angle et leurs prolongements rencontrent le cercle en A et A' d'une part, B et B' d'autre part. Deux angles opposés par le sommet M, donc de même mesure, vérifient cette définition. Montrer alors que :
La mesure d'un angle intérieur à un cercle est égale à la somme des mesures des angles inscrits interceptant les mêmes arcs
Autrement dit :
∗∗∗
^AMB = ^A'MB' = ^AB'B + ^A'AB'
= ^A'BB' + ^AA'B
∗∗∗
1. Une application des angles inscrits points cocycliques |
2. Triangle mobile angles inscrits |
3. Triangle orthique et bissectrices angles inscrits |
4. Formule des sinus attribuée à Al-Kashi un usage intéressant des angles inscrits |
5. Vigie angles inscrits |
6. tangente commune à deux cercles tangente et angle inscrit |
7. Résolution de triangles |