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Angle au centre, inscrit, extérieur, intérieur | Arc capable       » exercices

   Les propriétés qui suivent ont été étudiées et prouvées par Euclide, propositions XXVI à XXXII du livre III de ses Eléments.

On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit, de centre O de rayon R. La corde [BC] définit deux arcs du cercle. La mesure de l'un deux, en tant que portion de circonférence, est au moins égal à un demi-cercle, l'égalité se produisant si [BC] est un diamètre. Sur la figure, il s'agit de l'arc BC contenant A : 

Angle au centre et mesure d'un arc :

L'angle géométrique ^BOC (sa mesure â n'excède pas 180°) dont le sommet est le centre O du cercle est qualifié d'angle au centre et interceptant l'arc BC.

    On parle également d'angle au centre interceptant la corde BC.

 !   Sur la figure, l'arc intercepté en question contient le point D. L'arc BC contenant A correspond au secteur angulaire ^BOC qui n'est pas un angle géométrique car sa mesure excède 180°. 

m = 2πRâ/360 = πRâ/180. Si l'angle est exprimé en radians, m = Râ

Voici la même figure que ci-dessus générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Sur cette figure, identique à celle présente ci-dessus, vous pouvez déplacer les points, comme B ou C
 Que constatez-vous ? Faites apparaître le cas particulier où [BC] est un diamètre (ABC rectangle en A).
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Angle inscrit :

Ci-dessous, les angles ^BAC et ^BMC ont leur sommet sur le cercle : on parle d'angles inscrits dans ce cercle. Ces angles interceptent l'arc BC et sont situés d'un même côté par rapport à (BC) : on dit qu'ils interceptent le même arc :


Si votre navigateur accepte les applets Java
Sur cette figure Cabri-Géomètre, vous pouvez déplacer les points.
B et C restant fixes, vous pouvez constater que les angles ^BAC et ^BMC conservent la même mesure.
Quelle remarque peut-on faire en considérant ^BDC interceptant la même corde BC ?
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Théorème 1 :     

Tout angle au centre mesure le double de l'angle inscrit interceptant le même arc.

Théorème 2 :     

Deux angles inscrits interceptant le même arc ont même mesure.

Théorème 3 :     

Si deux angles inscrits interceptent le même arc et ont leurs sommets de part et d'autre de la corde interceptée,
alors ces angles sont supplémentaires.

Inversement :     

Pour qu'un quadrilatère ABDC soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit qu'il possède deux angles
opposés supplémentaires (on dit que A, B, D et C sont
cocycliques).

 i  cocyclique, cocyclicité, du latin cum, co = avec, ensemble et de cyclicus = cyclique issu du grec kuklos = cercle

En termes d'angles orientés de droites ou de vecteurs, ce résultat peut s'énoncer :

Le quadrilatère ABDC est inscriptible dans un cercle, si et seulement si :

^(AB, AC) = ^(DB, DC)  mod. π (angles de droites)

Puissance d'un  point par rapport à un cercle, condition de Feuerbach :  »           

Points cocycliques & alignement

Cas particulier :  angle formé par une corde et une tangente  (Euclide, Livre III, Prop. XXXII) :                   

Soit ^BAC un angle inscrit interceptant l'arc BC, u sa mesure en degrés et ^CBx l'angle formé par [BC) et la tangente [Bx) au point B.

Par conséquent ^CBx = BAC :

Théorème :     

L'angle formé par une tangente une corde a même mesure que tout angle inscrit interceptant cette corde.

    Remarquer que l'on peut utiliser ici un raisonnement par continuité : Si M est un point du cercle situé du même côté que A par rapport à la corde [BC], on a ^(MB,MC) = ^BAC pour tout M aussi près soit-il de B. Lorsque M se rapproche de B, la sécante (MB) devient la tangente (Bx) : on peut donc concevoir qu'à la limite, on a encore ^(Bx,BC) = ^BAC.

Arc capable, vocabulaire aujourd'hui suranné :                   

L'ensemble des points M du plan d'où l'on voit un segment [BC] sous un même angle, c'est à dire tel que ^BMC garde une même mesure α, est un arc de cercle, appelé arc capable de l'angle α construit sur [BC].

Construction d'un arc capable :      

  1. On trace la médiatrice de [BC];

  2. Soit ^BCt de mesure α;

  3. On trace la perpendiculaire à (Ct) passant par C. elle coupe la médiatrice de [BC] en O;

  4. On trace le cercle de centre O passant par A;

L'arc capable de l'angle α est l'arc interceptant [BC] non contenu dans ^BCt.

   L'arc contenu dans ^BCt est l'arc capable de l'angle 180° - α.

Angle extérieur à un cercle :

On nomme ainsi un angle dont le sommet est extérieur au cercle (plus précisément extérieur au disque dont le cercle est le bord) et dont les deux côtés rencontrent le cercle (en étant éventuellement tangents). En étudiant les trois configurations ci-dessous, montrer le résultat suivant :

La mesure d'un angle extérieur à un cercle est égale à la différence des mesures des angles inscrits interceptant les mêmes arcs
(au sens précisé dans chaque cas ci-après).

1. Chacun des deux côtés coupent le cercle en deux points :    

On dit dans ce cas que l'angle extérieur M intercepte les arcs AC et BD intérieurs à ses côtés.


Justifier ^BMC = ^BCD - ^ABC

2. Un des deux côtés est tangent au cercle :    

L'angle extérieur M intercepte ici les deux arcs AC de corde commune [BC].


Justifier ^BMC = ^BCx - ^ABC

3. Les deux côtés sont tangents  au cercle :    


Justifier ^AMB = ^ABx - ^MAB

Angle intérieur à un cercle :

On nomme ainsi un angle dont le sommet, comme M ci-dessous est intérieur au cercle. Dans un tel cas les deux côtés de l'angle et leurs prolongements rencontrent le cercle en A et A' d'une part, B et B' d'autre part. Deux angles opposés par le sommet M, donc de même mesure, vérifient cette définition. Montrer alors que :

La mesure d'un angle intérieur à un cercle est égale à la somme des mesures des angles inscrits interceptant les mêmes arcs

Autrement dit :


^AMB = ^A'MB' = ^AB'B + ^A'AB' = ^A'BB' + ^AA'B


1.  Une application des angles inscrits   points cocycliques

2.  Triangle mobile    angles inscrits

3.  Triangle orthique et bissectrices  angles inscrits

4.  Formule des sinus attribuée à Al-Kashi    un usage intéressant des angles inscrits

5.  Vigie   angles inscrits

6.  tangente commune à deux cercles   tangente et angle inscrit
7.  Résolution de triangles


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