ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Angle au centre, Angle inscrit , Arc capable          exercices

  Les résultats qui suivent ont été étudiés et prouvés par Euclide, propositions XXVI à XXXII du livre III de ses Eléments.

On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit, de centre O de rayon R. La corde [BC] (figure ci-dessous, vous pouvez déplacer les points) définit deux arcs du cercle. La mesure de l'un deux, en tant que portion de circonférence, est au moins égal à un demi-cercle, l'égalité se produisant si [BC] est un diamètre  (faites apparaître ce cas en déplaçant C). Sur la figure, il s'agit de l'arc BC contenant A : 

L'angle géométrique ^BOC (sa mesure â n'excède pas 180°) dont le sommet est le centre O du cercle est qualifié d'angle au centre et interceptant l'arc BC.

On parle également d'angle au centre interceptant la corde BC.

   Sur la figure, l'arc intercepté en question contient le point D. L'arc BC contenant A correspond au secteur angulaire ^BOC qui n'est pas un angle géométrique car sa mesure excède 180°. 

• La mesure, en degrés (ou grades, ou radians) de l'arc de cercle BC est, par définition, la mesure de l'angle au centre ^BOC. La mesure de l'arc BC contenant A est la mesure du secteur angulaire correspondant, à savoir 360° - â.

• La mesure m de l'arc BC en tant que portion de circonférence est proportionnelle à sa mesure en degrés. Par suite :

m = 2πRâ/360 = πRâ/180. Si l'angle est exprimé en radians, m = Râ

•   à des arcs égaux correspondent des cordes égales et inversement.

• On appelle quadrant un arc de mesure 90°. On peut également parler de quart de cercle.

• Deux angles au centre interceptant des arcs de même mesure ont même mesure (ils sont superposables par rotation)

Ci-dessous, les angles ^BAC et ^BMC ont leur sommet sur le cercle : on parle d'angles inscrits dans ce cercle. Ces angles interceptent l'arc BC et sont situés d'un même côté par rapport à (BC) : on dit qu'ils interceptent le même arc.

Théorème 1 :     

Tout angle au centre mesure le double de l'angle inscrit interceptant le même arc.

Théorème 2 :     

Deux angles inscrits interceptant le même arc ont même mesure.

• L'angle inscrit ^BDC intercepte l'arc BC contenant A. Sa mesure est alors la moitié du secteur angulaire contenant A dont la mesure est 360° - ^BOC,  la notation ^BOC désignant l'angle géométrique dans le triangle BOC.

Théorème 3 :     

Si deux angles inscrits interceptent le même arc et ont leurs sommets de part et d'autre de la corde interceptée, alors ces angles sont supplémentaires.

• Sur la figure, A et D sont sur le cercle de part et d'autre de la corde [BC], les angles ^BAC et ^BDC sont supplémentaires : ^BAC + ^BDC = 180°.

Inversement :     

Pour qu'un quadrilatère ABDC soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit qu'il possède deux angles opposés supplémentaires (on dit que A, B, D et C sont cocycliques).

En termes d'angles orientés de droites ou de vecteurs, ce résultat peut s'énoncer :

Le quadrilatère ABDC est inscriptible dans un cercle, si et seulement si :

^(AB, AC) = ^(DB, DC)  mod. π (angles de droites)

Puissance d'un  point par rapport à un cercle, condition de Feuerbach :           

Points cocycliques & alignement

Soit ^BAC un angle inscrit interceptant l'arc BC, u sa mesure en degrés et ^CBx l'angle formé par [BC) et la tangente [Bx) au point B. L'angle ^xBQ est droit (propriété caractéristique de la tangente en B.

^BOC est un angle au centre de mesure 2u; ^BOC étant isocèle : ^OBC = ½(180° - 2u) = 90° - u. Par conséquent ^CBx = BAC.

Théorème :     

L'angle formé par une tangente une corde a même mesure que tout angle inscrit interceptant cette corde.

  Remarquer que l'on peut utiliser ici un raisonnement par continuité : Si M est un point du cercle situé du même côté que A par rapport à la corde [BC], on a ^(MB,MC) = ^BAC pour tout M aussi près soit-il de B. Lorsque M se rapproche de B, la sécante (MB) devient la tangente (Bx) : on peut donc concevoir qu'à la limite, on a encore ^(Bx,BC) = ^BAC.

L'ensemble des points M du plan d'où l'on voit un segment [BC] sous un même angle, c'est à dire tel que ^BMC garde une même mesure α, est un arc de cercle, appelé arc capable de l'angle α construit sur [BC].

Construction d'un arc capable :      

1. On trace la médiatrice de [BC];

2. Soit ^BCt de mesure α;

3. On trace la perpendiculaire à (Ct) passant par C. elle coupe la médiatrice de [BC] en O;

4. On trace le cercle de centre O passant par A;

L'arc capable de l'angle α est l'arc interceptant [BC] non contenu dans ^BCt.

  L'arc contenu dans ^BCt est l'arc capable de l'angle 180° - α.