ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Angle au centre, Angle inscrit , Arc capable          exercices

  Les résultats qui suivent ont été étudiés et prouvés par Euclide, propositions XXVI à XXXII du livre III de ses Eléments.

On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit, de centre O de rayon R. La corde [BC] (figure ci-dessous, vous pouvez déplacer les points) définit deux arcs du cercle. La mesure de l'un deux, en tant que portion de circonférence, est au moins égal à un demi-cercle, l'égalité se produisant si [BC] est un diamètre  (faites apparaître ce cas en déplaçant C). Sur la figure, il s'agit de l'arc BC contenant A : 

Angle au centre et mesure d'un arc :

L'angle géométrique ^BOC (sa mesure â n'excède pas 180°) dont le sommet est le centre O du cercle est qualifié d'angle au centre et interceptant l'arc BC.

On parle également d'angle au centre interceptant la corde BC.

   Sur la figure, l'arc intercepté en question contient le point D. L'arc BC contenant A correspond au secteur angulaire ^BOC qui n'est pas un angle géométrique car sa mesure excède 180°. 

m = 2πRâ/360 = πRâ/180. Si l'angle est exprimé en radians, m = Râ

Angle inscrit :

Ci-dessous, les angles ^BAC et ^BMC ont leur sommet sur le cercle : on parle d'angles inscrits dans ce cercle. Ces angles interceptent l'arc BC et sont situés d'un même côté par rapport à (BC) : on dit qu'ils interceptent le même arc.

Théorème 1 :     

Tout angle au centre mesure le double de l'angle inscrit interceptant le même arc.

Théorème 2 :     

Deux angles inscrits interceptant le même arc ont même mesure.

Théorème 3 :     

Si deux angles inscrits interceptent le même arc et ont leurs sommets de part et d'autre de la corde interceptée, alors ces angles sont supplémentaires.

Inversement :     

Pour qu'un quadrilatère ABDC soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit qu'il possède deux angles opposés supplémentaires (on dit que A, B, D et C sont cocycliques).

En termes d'angles orientés de droites ou de vecteurs, ce résultat peut s'énoncer :

Le quadrilatère ABDC est inscriptible dans un cercle, si et seulement si :

^(AB, AC) = ^(DB, DC)  mod. π (angles de droites)

Puissance d'un  point par rapport à un cercle, condition de Feuerbach :           

Points cocycliques & alignement

Cas particulier :  angle formé par une corde et une tangente  (Euclide, Livre III, Prop. XXXII) :                   

Soit ^BAC un angle inscrit interceptant l'arc BC, u sa mesure en degrés et ^CBx l'angle formé par [BC) et la tangente [Bx) au point B. L'angle ^xBQ est droit (propriété caractéristique de la tangente en B.

^BOC est un angle au centre de mesure 2u; ^BOC étant isocèle : ^OBC = ½(180° - 2u) = 90° - u. Par conséquent ^CBx = BAC.

Théorème :     

L'angle formé par une tangente une corde a même mesure que tout angle inscrit interceptant cette corde.

  Remarquer que l'on peut utiliser ici un raisonnement par continuité : Si M est un point du cercle situé du même côté que A par rapport à la corde [BC], on a ^(MB,MC) = ^BAC pour tout M aussi près soit-il de B. Lorsque M se rapproche de B, la sécante (MB) devient la tangente (Bx) : on peut donc concevoir qu'à la limite, on a encore ^(Bx,BC) = ^BAC.

Arc capable, vocabulaire aujourd'hui suranné :                   

L'ensemble des points M du plan d'où l'on voit un segment [BC] sous un même angle, c'est à dire tel que ^BMC garde une même mesure α, est un arc de cercle, appelé arc capable de l'angle α construit sur [BC].

Construction d'un arc capable :      

  1. On trace la médiatrice de [BC];

  2. Soit ^BCt de mesure α;

  3. On trace la perpendiculaire à (Ct) passant par C. elle coupe la médiatrice de [BC] en O;

  4. On trace le cercle de centre O passant par A;

L'arc capable de l'angle α est l'arc interceptant [BC] non contenu dans ^BCt.

  L'arc contenu dans ^BCt est l'arc capable de l'angle 180° - α.

 


1.  Une application des angles inscrits    et points cocycliques :

2.  Triangle mobile    une application des angles inscrits :

3.  Triangle orthique et bissectrices  une application des angles inscrits

4.  Formule des sinus attribuée à Al-Kashi    un usage intéressant des angles inscrits :

5.  Vigie   angles inscrits

6.  tangente commune à deux cercles   tangente et angle inscrit
7.  Résolution de triangles


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