ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

A la découverte d'un losange...       niveau 5è/4è

On considère un triangle ABC dont on trace la bissectrice [Ax) de l'angle Â. Soit D le point de [Ax) tel que CA = CD. La perpendiculaire à (AD) passant par C coupe (AB) en E.         1. Faire une figure soignée.

Vérifier la figure :

2. Il s'agit de prouver que le quadrilatère ACDE est un losange. Montrer successivement :             2a.  AED est isocèle de sommet principal E;             2b.  E est le symétrique de C par rapport à (AD);             2c.  Conclure.

Si tu sèches après avoir bien cherché :

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= figure =

La position de E varie suivant les valeurs de l'angle  : il se peut que E soit situé sur le prolongement du côté [AB]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution à compléter :

2a.  AED est isocèle de sommet principal E :

Il nous faut prouver que EA = ED :

Par hypothèse, CA = ....., le triangle ACD est donc ............... de sommet principal C.

On peut alors affirmer que la droite (CE), ......................... à (AC), est la hauteur issue du sommet principal, elle est donc également ....................de la base [AD] et par suite EA = ........, ce qu'il fallait démontrer.

2b.  E est le symétrique de C par rapport à (AD) :

La droite (.....) est la bissectrice de l'angle ^CAB, on a donc ^CAD = ^...........

Par conséquent les demi-droites [AC) et [.....) sont symétriques par rapport à (.....). Le symétrique de C par rapport à (AD) est donc situé sur [AE) et sur la médiatrice de [.......] : c'est donc le point E puisque EA = ED.

Par symétrie par rapport à (AD), on a EA = ........

En résumé :

ED = ....... = ....... = CD

Le quadrilatère ACDE ayant ses quatre côtés de ......................... est un losange.