ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construire, conjecturer, démontrer...        niveau 4è

Prends une feuille blanche (format A4, non quadrillée). Vers le centre de la feuille, trace un segment [AB] de longueur 7 cm environ (cette mesure n'est pas importante pour la suite) incliné comme ci-dessous :

Complète maintenant la figure au moyen du programme suivant :

1.  Construis le milieu M de [AB]   (règle et compas sans utiliser la règle graduée);

2.  Trace le cercle (c1) de centre A passant par M;

3.  Place le point C sur (c1), dans la partie située "au-dessus" de la droite (AB), de sorte que
     le triangle MCA soit équilatéral;

4. Trace le cercle (c2) de centre C passant par M. Il coupe (c1) en D (autre que M);

5. Trace la demi-droite [DC);

6. Trace la parallèle à (AC) passant par B. Elle coupe [DC) en E;

7. Le cercle (c2) coupe [CE] en F.

♦  1. Fais une figure soignée.

Vérifier la figure : ››››

♦  2. Questions :

a/ Le quadrilatère AMCD est un losange; en effet : par construction, le triangle AMC est équilatéral, donc AM = CM; les cercles (c1) et (c2) ont donc même rayon; par suite AM = CM = AD = CD.
Le quadrilatère AMCD ayant quatre côtés de même mesure est un losange.

b/ Par hypothèse, on a (AC) // (BE) et puisque AMCD est un losange, ses côtés opposés sont parallèles; c'est dire que (DE) est parallèle à (AB); en conséquence, le quadrilatère ABEC a ses côtés opposés parallèles : c'est un parallélogramme.

 b/ Notons R le rayon commun des cercles (c1) et (c2). ABEC étant un parallélogramme, on a AB = CE. M étant le milieu de [AB], on a alors CE = AB = 2R. Mais CF est un rayon de (c2), donc FE = R; c'est dire que CF = FE : F, qui est un point de [CE] est donc bien le milieu de ce segment.

 ➔   Prolongements :

d/ Colorier le triangle qui est l'image de DCA dans la translation qui transforme M en B.
e/ Dénombrer, en justifiant, tous les losanges de la figure.