ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Miroirs paraboliques             » Miroirs sphériques | » Heinrich Hertz

Rappelons ici brièvement les lois de la réflexion que l'on retrouvera de façon plus développée à la page des miroirs sphériques :

La loi fondamentale de la réflexion exprime que l'angle d'incidence i d'un rayon avec la normale à la surface réfléchissante est égal à l'angle de r réflexion (incidence : du latin incidere = tomber sur).

L'usage de la parabole, plus justement du paraboloïde, est utilisé dans la fabrication des projecteurs, des "spots" et des phares automobiles : l'ampoule est placée au foyer d'un réflecteur parabolique. On connaît déjà depuis longtemps les formes familières des relais hertziens et des radars (armée, tours de contrôle des aéroports). Ce sont des paraboloïdes de révolution, c'est à dire engendrés par la rotation d'une parabole autour de son axe de symétrie. De nos jours, nombreux sont les particuliers à posséder leur « parabole » pour recevoir la télévision par satellite.

Le terme parabole est incorrect mais pour une fois que les mathématiques entrent à la maison, ne chicanons pas!

Une telle forme parabolique est capable de recevoir et de renvoyer dans une direction précise de la lumière, des faisceaux d'ondes radioélectriques et des sons (micro et haut-parleurs directionnels).

Le four solaire d'Odeillo près de Font-Romeu, dans les Pyrénées orientales, mis en place en 1970 par le CNRS et l'université de Perpignan, capte l'énergie des rayons solaires au moyen d'une batterie de 63 miroirs plans motorisés de 45 m² (héliostats) exposés au sud, réfléchissant chacun les rayons solaires sur un gigantesque miroir constitué de multiples facettes planes (couvrant près de 2600 m² : 54 m de hauteur, 48 m de large) lui conférant une forme parabolique. D'une puissance d'un mégawatt (1000 kilowatts), il permet d'atteindre au foyer des températures de l'ordre de 3500° :

Ce four fait suite à l'installation du premier four solaire au monde (50 kilowatts) construit à Mont-Louis (à une quinzaine de kilomètres de Font-Romeu) en 1949 par le physicien et chimiste français Félix Trombe (1906-1985).

Miroir parabolique & « parabole » de réception satellite :      

Si un miroir parabolique (paraboloïde) reçoit en son intérieur un rayon lumineux (zM) parallèle à son axe (Oy), notons (p) le plan défini par (zM) et (Oy). Dans ce plan, la section du paraboloïde est une parabole de sommet O d'axe Oy.

Par raison de symétrie, la tangente et la normale en M sont des droites perpendiculaires de (p). Notons T et N les points de rencontre respectifs avec l'axe (Oy).

Prouvons alors cette propriété fondamentale de la parabole :

• Tout rayon (zM) parallèle à l'axe du paraboloïde est réfléchi en [MF) où F est un point fixe de l'axe appelé foyer.

Quitte à décevoir les puristes (adeptes de la géométrie pure), montrons ce résultat par une méthode analytique :

Si y = ax² (a > 0) est l'équation de notre parabole de sommet O, d'axe (Oy). Notons M(x_o,y_o) le point d'impact du rayon lumineux (zM). L'équation de la tangente est y = y_o + 2ax_o(x - x_o). Par suite, celle de la normale est y = yo - (x - xo)/(2ax_o) puisque la tangente est perpendiculaire à la normale.

Par conséquent l'ordonnée de T (x = 0) est : y_o - 2ax_o² = -y_o et celle de N est y_o + 1/(2a). Ainsi : le milieu F de [NT] ne dépend pas de M : en effet, ses coordonnées sont :

x = (0 + 0)/2 = 0   et  y = [-y_o + (y_o + 1/(2a)]/2 = 1/(4a).

Les lois de la réflexion expriment que l'angle d'incidence i du rayon (zM) avec la normale (MN) à la surface réfléchissante est égal à l'angle de r réflexion : c'est dire ici que l'on doit avoir ^NMz' = ^NMz.

Or, les angles ^MNF et ^NMz sont égaux (alternes-internes) et, dans un triangle rectangle, ici TMN, la médiane MF issue de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse : le triangle MFN est donc isocèle et par suite :

En conséquence le rayon (zM] se réfléchit en [Mz') = [MF) et on retrouve ainsi la présence du foyer : point d'accumulation de lumière, d'onde, de chaleur ou de son suivant le cas.

 ➔  Le paraboloïde est un récepteur mais aussi un émetteur. D'après le principe du retour inverse de la lumière, on conçoit que si une lampe est placée en F, les rayons lumineux émis sont renvoyés en un faisceau de rayons parallèles à l'axe du paraboloïde : on obtient un projecteur.

Cette remarquable double fonctionnalité (émetteur-récepteur) permet au paraboloïde d'être utilisé dans les relais hertziens afin de couvrir des régions accidentées où la télévision et la téléphonie mobile, par exemple, "ne passeraient pas" : la photo ci-dessus et le schéma ci-contre illustrent cet usage.

 i  Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) : physicien allemand. Il prouva la nature électromagnétique de la lumière pressentie par Maxwell en montrant que les ondes électromagnétiques se propagent à la même vitesse comme les rayons X ou gamma. On a donné le nom de ondes hertziennes aux ondes électromagnétiques émises dans le domaine des télécommunications. Le hertz est la fréquence d'une onde de période 1 seconde. Ce grand physicien meurt prématurément à l'âge de 36 ans atteint de la maladie de Wegener (maladie auto-immune des artères).