ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cette proposition, complétée par la 13ème du même livre, est équivalente au théorème d'Al Kashi, usant du cosinus et parfois appelé théorème de Pythagore généralisé. Le source du texte (en italique, ci-dessous) est issu de : Les Œuvres d'Euclide, page 54, Ed. Albert Blanchard, traduction de F. Peyrard - 1819

Proposition 13 :           

Dans les triangles acutangles, le carré du côté qui sous-tend un angle aigu est plus petit que les carrés des côtés qui comprennent cet angle aigu, de deux fois le rectangle compris sous le côté de l'angle aigu sur lequel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise intérieurement de la perpendiculaire à cet angle aigu.

»  Rappelons que acutangle est utilisé pour qualifier un triangle ayant ses trois angles aigus. Dans le cas contraire (un angle obtus), on parle de triangle obtusangle.

En cherchant à faire plus actuel, cela pourrait donner :

Dans un triangle acutangle, le carré d'un côté opposé à l'un quelconque des angles est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, diminué du double de l'aire du rectangle mesuré par un des côtés de l'angle et par la projection orthogonale, sur ce dernier, de l'autre côté.

Au moyen de la figure :

Démonstration : dans ABH et BCH, l'application du théorème de Pythagore fournit respectivement :

• c² = x² + h²
• a² = (b - x)² + h²

En développant la seconde égalité et en remplaçant x² + h² par par c², on obtient la formule souhaitée. On pourra vérifier que l'on pouvait choisir la hauteur issue de C "tombant" sur le côté [AB] et obtenir le même résultat.

 ➔   Prolongement : démontrer que la formule a² = b² + c² - 2bc.cos reste valable lorsque le triangle est obtusangle ( obtus et, dans ce cas, la hauteur issue de B "tombe" à l'extérieur du triangle). Ce résultat fait l'objet de la proposition 12 des Éléments :

Proposition 12 :          

Dans les triangles obtusangles, le quarré du côté qui sous-tend un angle obtus est plus grand que les quarrés des côtés qui comprennent l'angle obtus, de deux fois le rectangle compris sous celui des côtés de l'angle obtus sur le prolongement duquel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise extérieurement de la perpendiculaire à l'angle obtus.