ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Tangente au cercle             tangente commune à deux cercles : méthode élémentaire , usage des homothéties
        
cas de deux cercles tangents | tangente et angle inscrit | exercices cercles tangents

La tangente (du latin tangere = toucher) en un point d'un cercle est une droite qui « touche »  le cercle sans le « couper ». Une sécante (du latin secare = couper) est une droite rencontrant (coupant) le cercle en deux points.

On considère un cercle (c) de centre O et une droite (d); on appelle H le pied de la perpendiculaire à (d) qui passe par O.

  Déplacez la droite (d); lorsqu'elle touche le cercle, elle est tangente en H au cercle; puis elle est sécante en deux points A et B. Lorsqu'il y a tangence, on dit que H est le point de contact de la tangente.

On retiendra :

  • la tangente en un point d'un cercle est la perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact.

  • D'un point M extérieur à un cercle on peut mener deux tangentes à ce cercle; elles touchent le cercle en A et B
    et on a
    MA = MB.       la droite (OM) est un axe de symétrie de la figure.

Construction sans équerre de la tangente en un point A d'un cercle de centre O :

Construction sans équerre d'une tangente à un cercle de centre O passant par un point A extérieur à ce cercle. :

Construction des tangentes à deux cercles tangents ou non... :

Cercles tangents intérieurement :   

Considérons un cercle (c) de centre O, de rayon R, et sa tangente (T) en un point K. On sait que cette tangente est perpendiculaire au rayon [OK]. Traçons intérieurement au cercle (c) un cercle (c') de rayon r < R admettant la même tangente : on a [O'K] perpendiculaire à (T) et les centres O et O' sont alignés avec K. En conclusion :

Lorsque les cercles sont tangents intérieurement (le cercle de rayon r < R est à l'intérieur du cercle de rayon R), l'unique tangente commune aux deux cercles est la perpendiculaire au point de contact à la droite des centres.

Cercles tangents extérieurement ou non... : 

  Le cas de cercles tangents extérieurement est plus subtil et les constructions proposées ci-dessous s'appliquent sans modification à la construction des tangentes extérieures et intérieures à deux cercles de rayons distincts, tangents ou non :

a) Tangentes extérieures :    

Considérons deux cercles (c) et (c') de centres respectifs O et O', de rayon R et r. Si R = r, la construction ne pose pas vraiment problème. Supposons donc les rayons distincts : R > r.

Nous allons montrer que (T) est une des deux tangentes communes à (c) et (c'). La seconde s'obtient au moyen du point M' ou par symétrie axiale d'axe (OO'). Par raison de symétrie les tangentes se coupent en un point P de la droite des centres.

Preuve : par construction, (T) est tangente en A au cercle (c) car [OA], rayon de (c), est perpendiculaire à (T). On a donc (T) // (MO'). Traçons la parallèle à (MA) issue de O'; elle coupe (T) en B. Le quadrilatère ABO'M est un parallélogramme ayant un angle droit : c'est un rectangle. Par conséquent O'B = AM = r et (O'B) est perpendiculaire à (T) : c'est dire (T) est également tangente à (c') au point B.

Lorsque les cercles sont tangents extérieurement, la construction est en tout point semblable et les cercles admettent 3 tangentes communes :

b) Tangentes intérieures :    

L'étude est très proche de la précédente. Les cercles sont supposés non sécants. Le cercle auxiliaire (m) est ici de rayon R + r et la figure ci-dessous fera aisément comprendre la construction des deux tangentes intérieures (en rouge) :

 

Tangentes communes à deux cercles (cas général, par usage des homothéties, équations) :


  
Un cercle, trois tangentes et un triangle... , Construction d'un cercle tangent à deux demi-droites
Cercles tangents et angle inscrit , Trois cercles tangents deux à deux : #1 et 2 , #3


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