ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Nombres premiers jumeaux       programme JavaScript , conjectures de Polignac

Deux nombres premiers n et p, n > p, sont dits jumeaux si n - p = 2.

 On parle aussi de nombres premiers cousins si n - p = 4, de nombres premiers sexy si n - p = 6.

Ces nombres, qu'étudièrent de nombreux mathématiciens dont Dirichlet, Hardy et Littlewood, font encore aujourd'hui l'objet de recherches dans le cadre de la distribution des nombres premiers dans l'ensemble N des entiers naturels.

Il fut prouvé (1960) par le mathématicien chinois Chen Ching-Yun le résultat suivant :

Il existe une infinité de nombres premiers n tels que n + 2 soit premier ou  produit de deux nombres premiers.

Chen Ching-Yun et la conjecture de Goldbach :

Chen Ching-Yun, également écrit Chen Jingrun, 1933-1996), spécialiste en théorie analytique des nombres,

Voici la table  des nombres premiers jumeaux inférieurs pour p ≤ 1997 :

  L'étude et la recherche des nombres premiers jumeaux au moyen d'ordinateurs a permis de mettre en défaut les premiers microprocesseurs Intel Pentium II qui virent le jour en 1995.

Conjecture des nombres premiers jumeaux :    

Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux consécutifs. En d'autres termes : il existe p premier tel que p + 2n est premier pour tout n de N.

Conjecture faible des nombres premiers jumeaux :    

En mai 2013, une importante avancée est apportée par Yitang Zhang, un autre mathématicien chinois, en prouvant une conjecture dite faible des nombres premiers jumeaux, à savoir :

Il existe un entier N, N ≤ 70 000 000 et une infinité de nombres premiers p tels que
l'intervalle ]p, p + N] contienne un nombre premier.

  Yitang Zhang (1955-), mathématicien chinois qui étudia à Pékin puis à l'université Perdue (Indiana, USA) où il obtient son doctorat en 1991. Zhang enseigne actuellement  aux États-Unis à l'université du New Hampshire.

Terence Tao, médaille Fields 2006, s'empare du sujet et le propose au projet Polymath regroupant les meilleurs mathématiciens du monde intéressés par la conjecture. La borne N = 70 000 000 est alors ramenée à 600 quelques mois plus tard. L'objectif de Zhang et du groupe Polymath est de ramener à N à 2 : la conjecture des nombres premiers jumeaux sera alors un théorème !

Les recherches en arithmétique atteignent de nos jours un très haut niveau d'exploration : elles font intervenir l'analyse numérique et complexe, l'analyse harmonique, la géométrie algébrique; la fonction ζ (zêta) de Riemann y joue un rôle clé.

Nombres premiers en progression arithmétique :                  Tao , Deligne , Bombieri

Programme JavaScript de recherche des nombres premiers jumeaux :

Le programme JavaScript ci-dessous recherche les nombres premiers à partir de n = 11 en s'assurant que p = n + 2 l'est aussi. On peut choisir la valeur de départ. Dans tous les cas, le programme calcule aussi la somme :

S = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (...) + (1/n + 1/p)

car il fut prouvé (1919) par le mathématicien suédois Viggo Brun que si il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, la série ci-dessus est convergente. Le nombre S, parfois appelée constante de Brun, a été récemment (1996) calculé comme valant :

1,9021605778 à 2.10-9 près

 La fonction prem() est identique à celle étudiée dans la recherche de primarité d'un nombre donné.

La recherche des nombres premiers jumeaux est effectuée dans une boucle de pas 6 car on sait que tout entier premier est de la forme 6k ± 1 , avec k entier non nul.

Ainsi, tout entier n premier tel que n + 2 soit aussi premier est de la forme 6k - 1, k non nul ou 6k + 5, k entier éventuellement nul. On peut donc "gagner" du temps avec cette constatation.

Le programme "démarre" à priori à n = 11 sachant que les couples (3,5) et (5,7) sont jumeaux. Pour une bonne compréhension du listing : || désigne le" OU logique", && est le "ET logique", != signifie "différent de". Un écriture comme r = a%b renvoie dans r le reste de la division euclidienne de a par b. Consultez aussi la page JavaScript.

 Attention au temps de calcul pour n > 10000. La somme S ne vaut alors encore que 1,6... Il est tout à fait illusoire de chercher à obtenir environ 1,9.




 

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
var p,t
function jumeaux()
{
n$=11;t=0 ; n=11; s=1/3+2/5+1/7
n$=prompt("Nombre de départ > 7 : ",n$)
if (n$==null || isNaN(n)) {return} else {n0=eval(n$)}
if (n0<=11) {n0=11}
n0 = Math.floor(n0/6)*6 + 5 
   // Math.floor(n0) = partie entière <=n0
while (t!=1)
{
p=n
t=prem()
if (t==1)
{
p=n+2
t=prem()
if (t==1) {s=s+1/n+1/p}
if (t==1 && n>=n0) { if (!confirm(n+" et "+p+" sont premiers jumeaux"+"\n"
+"C = (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (...)"+"\n"+"C = "+s)) return
}
}

n=n+6
t=0
}
}

function prem()
{
d=1 ; a=0 ; rst = 1; rst2=1; t=0
if (p%3 != 0 && p%2 !=0)  
// a%b donne le reste de la division de a par b
{
while (d*d<=p && rst*rst2 >0)
{
a++
d=6*a-1 ; rst = p % d ; d = d+2 ; rst2 = p % d
}
if(rst==0 || rst2==0) {t=0} else {t=1}
}
return t
}

</SCRIPT>


Nombres premiers sexy :
     Nombres premiers de Sophie Germain :
Conjecture de Polignac :

Intéressant aussi un "théorème" dite conjecture de Polignac (Compte rendu de l'Académie des Sciences, 15 octobre 1849, ref.6) selon laquelle :

Tout entier pair est différence, d'une infinité de manières, de deux nombres premiers consécutifs

  Alphonse de Polignac (1817-1890), polytechnicien, officier d'artillerie, ses quelques travaux en mathématiques portent sur l'arithmétique et notamment sur les nombres premiers.

  Par nombres premiers consécutifs, on entend deux nombres premiers p et q, p < q, pour lesquels il n'existe pas un nombre premier n vérifiant p < n < q. Les nombres premiers jumeaux en sont un cas particulier. Le cas général de nombres premiers consécutifs en progression arithmétique fut étudié par Legendre, Dirichlet, Brun et Bombieri.

Par exemple :

Cette conjecture n'a pas été invalidée à ce jour (janvier 2014). Si elle s'avère exacte, alors il y a évidemment une infinité de nombres premiers jumeaux : considérer le cas de 2 = 5 - 3 = 7 - 5 = 13 - 11 = ... = 619 - 617 = 1999 - 1997 =  ...

La conjecture de Polignac n'est pas sans rappeler celle de Goldbach, tout aussi simple dans son énonciation.

                 Conjecture de Goldbach  :

  Un second "théorème" de Polignac énoncé en fait en tant qu'induction (conjecture) dans le même article est faux :

Il est en effet facile de vérifier au moyen d'un petit programme que 127, 149, 251, 331, 337, ..., 1549, ..., 9959, ... ne vérifient pas la conjecture contrairement à l'affirmation de Polignac assurant la vérification jusqu'à 3 millions.

A l'époque, un tel calcul à la main semble douteux ! A raison de seulement 15 minutes en moyenne par test pour 1 500 000 nombres impairs (essayez le test pour n = 1 277 989...), cela nécessiterait 43 ans de calcul 24h/24... Et en admettant une étourderie pour 127, replonger dans l'erreur pour 149, 251, 331, 337, 373, 509, etc., et cela 262 fois entre 3 et 10000, c'est beaucoup pour un mathématicien... L'Académie des Sciences est plus regardante de nos jours...


               Voir le listing  


 

 Pour en savoir plus :

  1. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France
    un chapitre est consacré aux nombres premiers jumeaux.
  2. Nombres premiers jumeaux : http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html
  3. Répartition des nombres premiers par J.-L. Nicolas, Séminaire Delange-Pisot-Poitou :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SDPP/SDPP_1967-1968__9_2/SDPP_1967-
  4. Dictionnaire des mathematiques :algèbre, analyse, géométrie
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, théorie des nombres, Éd. Albin Michel, Paris, 1997/98

  5. Compte rendu de l'Académie des Sciences, 15 octobre 1849, article d'A. de Polignac (page 400) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2986m/f401.image.langFR


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