ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Nombres premiers jumeaux       programme JavaScript , conjectures de Polignac

Deux nombres premiers n et p, n > p, sont dits jumeaux si n - p = 2.

 On parle aussi de nombres premiers cousins si n - p = 4, de nombres premiers sexy si n - p = 6.

Ces nombres, qu'étudièrent de nombreux mathématiciens dont Dirichlet, Hardy et Littlewood, font encore aujourd'hui l'objet de recherches dans le cadre de la distribution des nombres premiers dans l'ensemble N des entiers naturels.

Il fut prouvé (1960) par le mathématicien chinois Chen Jingrun le résultat suivant :

Il existe une infinité de nombres premiers n tels que n + 2 soit premier ou  produit de deux nombres premiers.

Chen Jingrun et la conjecture de Goldbach :

  Chen Jingrun ou Jing-Run (1933-1996) : mathématicien chinois, fils d'un employé des postes père de douze enfants, la famille subit durement, dès 1937, la guerre sino-japonaise et la seconde guerre mondiale. Le jeune Jingrun n'est scolarisé qu'à partir de 1945. Il a alors 12 ans et rattrape rapidement les années perdues. Il entreprend des études scientifiques dès 1949 à l'université de Xia Men (ville côtière de la Chine orientale, face à Taïwan). Diplômé en 1953, il sera vite reconnu en tant que spécialiste en théorie analytique et additive des nombres où il obtient des avancées remarquables sur les conjectures de Goldbach et de Waring. Dans les années 1960, sa notoriété est internationale (olus d'infos : réf.6).

Voici la table  des nombres premiers jumeaux inférieurs pour p ≤ 1997 :

  L'étude et la recherche des nombres premiers jumeaux au moyen d'ordinateurs a permis de mettre en défaut les premiers microprocesseurs Intel Pentium II qui virent le jour en 1995.

Conjecture des nombres premiers jumeaux :    

Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux consécutifs. En d'autres termes :
il existe un entier p premier tel que p + 2n est premier pour tout n de N.

Conjecture faible des nombres premiers jumeaux :    

En mai 2013, une importante avancée est apportée par Yitang Zhang, un autre mathématicien chinois, en prouvant une conjecture dite faible des nombres premiers jumeaux, à savoir :

Il existe un entier N, N ≤ 70 000 000 et une infinité de nombres premiers p tels que
l'intervalle ]p, p + N] contienne un nombre premier.

  Yitang Zhang (1955-), mathématicien chinois qui étudia à Pékin puis à l'université Perdue (Indiana, USA) où il obtient son doctorat en 1991. Zhang enseigne actuellement  aux États-Unis à l'université du New Hampshire.

Terence Tao, médaille Fields 2006, s'empare du sujet et le propose au projet Polymath regroupant les meilleurs mathématiciens du monde intéressés par la conjecture. La borne N = 70 000 000 est alors ramenée à 600 quelques mois plus tard. L'objectif de Zhang et du groupe Polymath est de ramener à N à 2 : la conjecture des nombres premiers jumeaux sera alors un théorème !

Les recherches en arithmétique atteignent de nos jours un très haut niveau d'exploration : elles font intervenir l'analyse numérique et complexe, l'analyse harmonique, la géométrie algébrique; la fonction ζ (zêta) de Riemann y joue un rôle clé.

Nombres premiers en progression arithmétique :                  Tao , Deligne , Bombieri

Programme JavaScript de recherche des nombres premiers jumeaux :

Le programme JavaScript ci-dessous recherche les nombres premiers à partir de n = 11 en s'assurant que p = n + 2 l'est aussi. On peut choisir la valeur de départ. Dans tous les cas, le programme calcule aussi la somme :

S = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (...) + (1/n + 1/p)

car il fut prouvé (1919) par le mathématicien suédois Viggo Brun que si il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, la série ci-dessus est convergente. Le nombre S, parfois appelée constante de Brun, a été récemment (1996) calculé comme valant :

1,9021605778 à 2.10-9 près

 La fonction prem() est identique à celle étudiée dans la recherche de primarité d'un nombre donné.

La recherche des nombres premiers jumeaux est effectuée dans une boucle de pas 6 car on sait que tout entier premier est de la forme 6k ± 1 , avec k entier non nul.

Ainsi, tout entier n premier tel que n + 2 soit aussi premier est de la forme 6k - 1, k non nul ou 6k + 5, k entier éventuellement nul. On peut donc "gagner" du temps avec cette constatation.

Le programme "démarre" à priori à n = 11 sachant que les couples (3,5) et (5,7) sont jumeaux. Pour une bonne compréhension du listing : || désigne le" OU logique", && est le "ET logique", != signifie "différent de". Un écriture comme r = a%b renvoie dans r le reste de la division euclidienne de a par b. Consultez aussi la page JavaScript.

 Attention au temps de calcul pour n > 10000. La somme S ne vaut alors encore que 1,6... Il est tout à fait illusoire de chercher à obtenir environ 1,9.




 

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
var p,t
function jumeaux()
{
n$=11;t=0 ; n=11; s=1/3+2/5+1/7
n$=prompt("Nombre de départ > 7 : ",n$)
if (n$==null || isNaN(n)) {return} else {n0=eval(n$)}
if (n0<=11) {n0=11}
n0 = Math.floor(n0/6)*6 + 5 
   // Math.floor(n0) = partie entière <=n0
while (t!=1)
{
p=n
t=prem()
if (t==1)
{
p=n+2
t=prem()
if (t==1) {s=s+1/n+1/p}
if (t==1 && n>=n0) { if (!confirm(n+" et "+p+" sont premiers jumeaux"+"\n"
+"C = (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (...)"+"\n"+"C = "+s)) return
}
}

n=n+6
t=0
}
}

function prem()
{
d=1 ; a=0 ; rst = 1; rst2=1; t=0
if (p%3 != 0 && p%2 !=0)  
// a%b donne le reste de la division de a par b
{
while (d*d<=p && rst*rst2 >0)
{
a++
d=6*a-1 ; rst = p % d ; d = d+2 ; rst2 = p % d
}
if(rst==0 || rst2==0) {t=0} else {t=1}
}
return t
}

</SCRIPT>


Nombres premiers sexy :
     Nombres premiers de Sophie Germain :
Conjecture de Polignac :

Intéressant aussi un "théorème" dite conjecture de Polignac (Compte rendu de l'Académie des Sciences, 15 octobre 1849, ref.5) selon laquelle :

Tout entier pair est différence, d'une infinité de manières, de deux nombres premiers consécutifs

  Alphonse de Polignac (1817-1890), polytechnicien, officier d'artillerie, ses quelques travaux en mathématiques portent sur l'arithmétique et notamment sur les nombres premiers.

  Par nombres premiers consécutifs, on entend deux nombres premiers p et q, p < q, pour lesquels il n'existe pas un nombre premier n vérifiant p < n < q. Les nombres premiers jumeaux en sont un cas particulier. Le cas général de nombres premiers consécutifs en progression arithmétique fut étudié par Legendre, Dirichlet, Brun et Bombieri.

Par exemple :

Cette conjecture n'a pas été invalidée à ce jour (janvier 2014). Si elle s'avère exacte, alors il y a évidemment une infinité de nombres premiers jumeaux : considérer le cas de 2 = 5 - 3 = 7 - 5 = 13 - 11 = ... = 619 - 617 = 1999 - 1997 =  ...

La conjecture de Polignac n'est pas sans rappeler celle de Goldbach, tout aussi simple dans son énonciation.

                 Conjecture de Goldbach  :

  Un second "théorème" de Polignac énoncé en fait en tant qu'induction (conjecture) dans le même article est faux :

Il est en effet facile de vérifier au moyen d'un petit programme que 127, 149, 251, 331, 337, ..., 1549, ..., 9959, ... ne vérifient pas la conjecture contrairement à l'affirmation de Polignac assurant la vérification jusqu'à 3 millions.

A l'époque, un tel calcul à la main semble douteux ! A raison de seulement 15 minutes en moyenne par test pour 1 500 000 nombres impairs (essayez le test pour n = 1 277 989...), cela nécessiterait 43 ans de calcul 24h/24... Et en admettant une étourderie pour 127, replonger dans l'erreur pour 149, 251, 331, 337, 373, 509, etc., et cela 262 fois entre 3 et 10000, c'est beaucoup pour un mathématicien... L'Académie des Sciences est plus regardante de nos jours...


               Voir le listing  


 

 Pour en savoir plus :

  1. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France
    un chapitre est consacré aux nombres premiers jumeaux.
  2. Nombres premiers jumeaux : http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html
  3. Répartition des nombres premiers par J.-L. Nicolas, Séminaire Delange-Pisot-Poitou :
    http://archive.numdam.org/article/SDPP_1967-1968__9_2_A12_0.pdf
  4. Nombres premiers jumeaux, frères ou ennemis ?, par Jean-Paul Delahaye :
    http://www.lifl.fr/~jdelahay/SIME/JPD/PLS_Nb_premiers_jumeaux.pdf
  5. Dictionnaire des mathematiques :algèbre, analyse, géométrie
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, théorie des nombres, Éd. Albin Michel, Paris, 1997/98

  6. Compte rendu de l'Académie des Sciences, 15 octobre 1849, article d'A. de Polignac (page 400) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2986m/f401.image.langFR
  7. Biographie de Chen Jingrun : A brief outline of his life and works
    http://actamath.com/Jwk_sxxb_en/EN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=5053


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