ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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SIERPINSKI Waclaw,
polonais, 1882-1969
Waclaw Sierpinski fit ses études
de mathématiques et physiques à Varsovie, sa ville
natale, sous l'autorité de la Russie impériale car à cette époque les russes se
partageaient la Pologne avec l'Autriche et la Prusse (Allemagne). Sierpinski
obtient son doctorat (1906) portant sur la théorie des nombres, dirigé par le
mathématicien russe Guerogui Voronoï à
l'université de Cracovie (située sur la Vistule au sud de la Pologne). Avant la
première guerre mondiale, Sierpinski enseigna
à Lvov (ville universitaire anciennement polonaise, dans l'actuel Ukraine) puis à Varsovie.
De confession juive, déporté par les nazis lors de la seconde guerre mondiale, il put reprendre
son enseignement et ses travaux à Varsovie à l'issue de la guerre.
Sierpinski ambitionnait de fonder une école mathématique polonaise, ce qu'il réussira avec deux jeunes mathématiciens polonais Zygmunt Janiszewski (1888-1920) et Stephan Mazurkiewicz (1888-1945) en créant la revue mathématique Fundamenta mathematicae (1920), encore présente aujourd'hui.
Tous trois, et plus tard A. Lindenbaum, s'attachèrent aux fondements des mathématiques, à la difficile construction axiomatique des ensembles et à l'hypothèse du continu. Professeur éminent, Sierpinski fut membre de nombreuses sociétés savantes à travers le monde et publia certains de ses travaux en français : Leçons sur les nombres transfinis (1928), L'hypothèse du continu (1934), Les ensembles analytiques et projectifs (1950).
» Cantor , Zermelo , Russel , Gödel , Cohen, ...
Outre ces sujets fondamentaux, on doit à Sierpinski de nombreux résultats en topologie (avec son compatriote Kuratowski), en théorie des nombres (équations diophantiennes en particulier, Théorie élémentaire des nombres, 1964) et sur les premiers objets fractals que Benoît Mandelbrot, mathématicien français d'origine polonaise, étudia tout particulièrement dans les années 1970.
Les mathématiciens qualifient souvent «
d'élémentaire » une publication ne relevant pas de résultats nouveaux, fruits
d'une recherche intensive sur un sujet précis et pointu. Cela ne signifie
hélas nullement qu'une telle publication se lise comme un polar!
» Hilbert , Peano , Julia , Von Koch Conjecture de Sierpinski : »
| Carpette (ou tapis) de Sierpinski : |
Il s'agit d'une figure fractale dont on obtient facilement une approche selon l'algorithme suivant :
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Dessinez un carré de côté c (on a choisi ici 9 cm);
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Ôtez-lui le carré central de côté c/3;
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Faites la même opération sur les carrés de côté c/3 restants;
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Répétez la même opération sur tous les carrés restants ainsi formés;
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etc., und so weiter...
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| Triangle de Sierpinski (1915) : |
On obtiendra une approche de cette figure fractale selon l'algorithme suivant :
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Dessinez un triangle équilatéral "assez grand", disons 16 cm de côté;
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Ôtez-lui le triangle équilatéral défini par les milieux des côtés du triangle précédent;
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Faites la même opération sur les (trois) triangles équilatéraux restants ainsi formés;
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Répétez la même opération sur tous les triangles équilatéraux restants ainsi formés;
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etc., und so weiter...
Vous devriez obtenir quelque chose comme... : »
| Nombres de Sierpinski : |
Sierpinski s'intéressa à deux types de nombres :
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Ceux de la forme nn + 1 (comme 5, 28, 257, ...) en recherchant lesquels sont premiers. Il prouva que de tels nombres premiers sont des nombres de Fermat Fp
avec p de la forme k + 2k.
Par exemple, si n = 2, on obtient F1
= 5, premier. Si n = 4, on obtient 257 = F4 = 257, premier. -
Ceux, impairs, notés ici s, tels que s × 2n + 1 soient composés (non premiers) pour tout entier naturel n. Le plus petit est, semble-t-il, s = 78557, découvert en 1962.
Les calculs pour vérifier cette assertion ne sont pas terminés... Ces nombres font encore aujourd'hui l'objet de recherches dans le cadre de la théorie des nombres et de ses applications, cryptologie en particulier : nouvelle branche de l'arithmétique dans l'art de communiquer des messages codés.
Sierpinski prouva (1960, » réf. 2) qu'il existe une infinité de tels nombres s dans un mémoire intitulé « Sur un problème concernant les nombres k.2n + 1 » :
| Nombres quasi-parfaits : |
Un nombre parfait est un entier naturel qui égale la somme de ses diviseurs propres (autres que lui même), c'est le cas, par exemple de 6 = 1 + 2 +3 ou de 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. En 1964, Sierpinski pose le problème de l'existence de nombres n dont la somme des diviseurs propres serait non plus n mais n + 1.
Malgré la puissance des ordinateurs actuels, cette recherche reste aujourd'hui infructueuse. On sait seulement qu'un tel nombre (s'il existe) est un carré impair supérieur à 1035 et qu'il possède au moins 7 diviseurs premiers.
Nombres amicaux & quasi-amicaux : » Nombres pratiques : » Nombres puissants : »
