ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 ZERMELO Ernst,
allemand, 1871-1953 |
Étudiant à
Halle et Fribourg (Freiburg im Breisgau), Zermelo obtint son doctorat à Berlin
(1894) portant sur le calcul des variations (Untersuchungen
zur Variations-Rechnung), supervisé par
Fuchs et Schwarz. Il enseigna
à Göttingen,
Zürich et Fribourg.
Auteur de son célèbre axiome du choix, proposé en 1904, il s'intéressa tout particulièrement à l'axiomatisation (1908) de la théorie des ensembles de Cantor : Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (Études sur les fondements de la théorie des ensembles).
Sept axiomes (ou 8, le huitième étant dû à Fraenkel en 1922) dits parfois ZF ou ZFC, pour signifier respectivement axiomes de Zermelo-Fraenkel et axiomes de Zermelo-Fraenkel + axiome du Choix, et dans ce dernier cas nous avons 9) afin de lever certaines ambiguïtés et contradictions de ladite théorie.
Dans les années 1920, ces axiomes firent l'objet de modifications mineures par Skolem et Von Neumann. Ce dernier fut à l'origine, avec Bernays et Gödel de la notion de classe et des axiomes NBG.
Dans ses Études sur les fondements de la théorie des ensembles de 1908, Zermelo apportait également une seconde preuve de son théorème de bon ordre.
Axiomes de la théorie des ensembles selon Zermelo-Fraenkel : »
| L'axiome du choix (1904), querelle et crise des fondements : |
Ce célèbre axiome de la logique mathématique pose le problème de la
notion d'existence mathématique et a fait couler beaucoup
d'encre... Après les contradictions engendrées par l'usage de la
théorie des
ensembles de Cantor, observées notamment par Frege
et Russel, Zermelo est à l'origine de la déstabilisation de
la science mathématique au début du 20è
siècle, que l'on appela la crise des
fondements. Récemment encore, de
nombreux mathématiciens le contestaient. On peut
l'énoncer de plusieurs manières équivalentes,
plus ou moins complexes.
La plus simple est l'assertion
équivalente de Russell
:
Le produit cartésien de toute classe d'ensembles non vides est non vide
ou encore :
Pour toute classe d'ensembles non vides et disjoints, en nombre fini ou non, il existe un algorithme (dit fonction de choix) permettant d'extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble non vide.
L'axiome du choix ne pose problème que dans le cas d'un nombre infini non dénombrable d'ensembles : choisir, c'est discerner un élément parmi d'autres. Dans le cas fini ou dénombrable, les éléments peuvent être rangés, comptés; on peut alors choisir. Mais dans le cas infini non dénombrable, comment choisir dans un ensemble continu ? Des mathématiciens, et non des moindres, comme Peano, Hadamard, Lebesgue, Baire et Borel refusèrent l'axiome du choix.
Un exemple d'usage intéressant : »
Cette querelle de l'axiome du choix dura près de 60 ans. En 1930, Hilbert, dans ses Fondements de la Géométrie (Grundlagen der Geometrie), exprime son inquiétude mais garde espoir : "Du paradis que Cantor a créé pour nous, nul ne doit pouvoir nous chasser".
En 1938, Gödel
montre que si la théorie des ensembles est cohérente
sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse
du continu, alors elle le demeure avec
leurs adjonctions.
En 1963, Paul
J. Cohen montre l'indépendance de
l'axiome du choix et de l'hypothèse
du continu de Cantor que l'on croyait
liés, en démontrant l'indécidabilité de
l'hypothèse du continu. Il met ainsi fin à la querelle
et permet de distinguer les résultats qui peuvent être
démontrés avec ou sans l'axiome du choix.
Brouwer et l'axiome (ou principe) du tiers exclu d'Aristote : »
| Bon ordre, Ensemble bien ordonné, théorème de Zermelo : |
Cantor se posa la question de savoir (1883) s'il existait, dans tout ensemble, une relation d'ordre de sorte que toute partie non vide admette un plus petit élément.
Par plus petit élément x d'une partie A non vide d'un ensemble ordonné (E,‹), on entend un élément m de A tel que pour tout x dans A, m ‹ x (l'appartenance de m à A est fondamental : » borne inférieure)
Si tel est le cas pour un ensemble E, on parle de bon ordre et on dit que E est bien ordonné. Son plus petit élément est souvent appelé son 1er élément.
➔ Une relation de bon ordre est une relation d'ordre total : deux éléments a et b sont toujours comparables : a ‹ b ou b ‹ a.
Ordre, ordre partiel, ordre total, treillis, vocabulaire des ensembles ordonnés : »
∗∗∗
Soit E un ensemble muni d'une relation binaire
notée
‹ telle
que pour tous éléments a et b on ait a ‹ b
ou b ‹ a.
On suppose en outre que toute partie non vide admet un plus petit élément au
sens de la relation ‹.
Montrer que la relation
‹ est
un ordre total dans E. Indication
: il suffit de montrer la transitivité.
Dans une lettre envoyée à Hilbert, Zermelo démontra (1904) que si on admet l'axiome du choix :
Tout ensemble E peut être bien ordonné
C'est à dire qu'il existe un ordre sur E qui est un bon ordre. Il est aussi prouvé qu'axiome du choix et existence d'un bon ordre sur tout ensemble sont des propositions équivalentes.
Le cas de N = {0, 1, 2, ..., } est trivial : l'ordre total usuel ≤ est manifestement un bon ordre à condition de ranger les entiers en ordre croissant. on parlera alors de (N,≤).
Si on renverse l'ordre en considérant (N,≥), soit N = {..., 3, 2, 1, 0}, on n'a plus de bon ordre !
(N,≤), soit Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} n'est manifestement pas bien ordonné.
N × N muni de l'ordre lexicographique est bien ordonné (heureusement pour les dicos...).
Et, concernant R, aucun bon ordre n'a été exhibé aujourd'hui !
Bon ordre sur Z :
On peut ranger les éléments de Z en associant à tout entier n de N son opposé - n placé entre n et n + 1 : de la façon suivante :
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ..., k, -k, k+1, ..., n, -n, n+1, ...}
Z étant dénombrable, on peut numéroter ses éléments zo, z1, z2, ... en respectant le rangement ci-dessus :
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ..., zi, zi+1, ..., n, -n, n+1, ...}
Tout élément de Z s'identifie ainsi à un zi. Définissons alors la relation binaire ‹ dans Z par :
∀(a,b)∈Z × Z : si a = zi et b = zj, alors a ‹ b ⇔ i ≤ j.
On vérifiera facilement que l'on définit ainsi un bon ordre sur Z.
Bon ordre sur Q :
Une relation de bon ordre sur Q+ - {0} est donnée par le procédé diagonal qui a servi à montrer sa dénombrabilité. Dans la liste, on devra supprimer les éléments redondants comme 2/2, 4/2, etc. Puis, comme pour Z, on insère les opposés et on y définit le bon ordre ‹ de la même façon.
Q = {0, 1/1, -1/1, 2/1, -2/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 3/1, -3/1, 4/1, -4/1, 3/2, -3/2, ...}
Bon ordre et nombres ordinaux : » Les 23 problèmes de Hilbert : » » Zorn
∗∗∗
L'ensemble totalement ordonné (N,≥) n'est pas bien ordonné.
Notons ω* son ordinal.
Montrer qu'une condition
nécessaire
et suffisante pour qu'un ensemble ordonné soit bien ordonné
est qu'il ne contienne aucune partie d'ordinal
ω*.
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➔ Pour en savoir plus :
, par Jean Cavaillès
Russell