ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ZERMELO Ernst, allemand, 1871-1953

Étudiant à  Halle et Fribourg (Freiburg im Breisgau), Zermelo obtint son doctorat à Berlin (1894) portant sur le calcul des variations (Untersuchungen zur Variations-Rechnung), supervisé par Fuchs et Schwarz. Il enseigna à Göttingen, Zürich et Fribourg.

Auteur de son célèbre axiome du choix, proposé en 1904, il s'intéressa tout particulièrement à l'axiomatisation (1908) de la théorie des ensembles de Cantor : Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (Études sur les fondements de la théorie des ensembles.

Sept axiomes (ou 8, le huitième étant dû à Fraenkel en 1922) dits parfois ZF ou ZFC, pour signifier respectivement axiomes de Zermelo-Fraenkel et axiomes de Zermelo-Fraenkel + axiome du Choix, et dans ce dernier cas nous avons 9) afin de lever certaines ambiguïtés et contradictions de ladite théorie.

Dans les années 1920, ces axiomes firent l'objet de modifications mineures par Skolem et Von Neumann. Ce dernier fut à l'origine, avec Bernays et Gödel de la notion de classe et des axiomes NBG.

Dans ses Études sur les fondements de la théorie des ensembles de 1908, Zermelo apportait également une seconde preuve de son théorème de bon ordre.

Axiomes de la théorie des ensembles selon Zermelo-Fraenkel :

L'axiome du choix (1904), querelle et crise des fondements :

Le célèbre axiome pose le problème de la notion d'existence mathématique et a fait couler beaucoup d'encre... Après les contradictions observées par l'usage de la théorie des ensembles de Cantor, il est à l'origine de la déstabilisation de la science mathématique au début du 20è siècle, qui l'on appela la crise des fondements. Récemment encore, de nombreux mathématiciens le contestaient. On peut l'énoncer de plusieurs manières équivalentes, plus ou moins complexes.

La plus simple est l'assertion équivalente de Russell :

Le produit cartésien de toute classe d'ensembles non vides est non vide

ou encore :

Pour toute classe d'ensembles non vides et disjoints, en nombre fini ou non, il existe un algorithme (dit fonction de choix) permettant d'extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble non vide.

L'axiome du choix ne pose problème que dans le cas d'un nombre infini non dénombrable d'ensembles : choisir, c'est discerner un élément parmi d'autres. Dans le cas fini ou dénombrable, les éléments peuvent être rangés, comptés; on peut alors choisir. Mais dans le cas infini non dénombrable, comment choisir dans un ensemble continu ? Des mathématiciens, et non des moindres, comme Peano, Hadamard, Lebesgue, Baire et Borel refusèrent l'axiome du choix.

Un exemple d'usage intéressant :

Cette querelle de l'axiome du choix dura près de 60 ans. En 1930, Hilbert, dans ses Fondements de la Géométrie (Grundlagen der Geometrie), exprime son inquiétude mais garde espoir : "Du paradis que Cantor a créé pour nous, nul ne doit pouvoir nous chasser".

En 1938, Gödel montre que si la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse du continu, alors elle le demeure avec leurs adjonctions.

En 1963, Paul J. Cohen montre l'indépendance de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu de Cantor que l'on croyait liés, en démontrant l'indécidabilité de l'hypothèse du continu. Il met ainsi fin à la querelle et permet de distinguer les résultats qui peuvent être démontrés avec ou sans l'axiome du choix.

Brouwer et l'axiome (ou principe) du tiers exclu d'Aristote :

Bon ordre, Ensemble bien ordonné, théorème de Zermelo :

Cantor se posa la question de savoir (1883) s'il existait, dans tout ensemble, une relation d'ordre de sorte que toute partie non vide admette un plus petit élément.

Par plus petit élément x d'une partie A non vide d'un ensemble ordonné (E,), on entend un élément m de A tel que pour tout x dans A, m x    (l'appartenance de m à A est fondamental : borne inférieure)

Si tel est le cas pour un ensemble E, on parle de bon ordre et on dit que E est bien ordonné. Son plus petit élément est souvent appelé son 1er élément.

Remarquer qu'une relation de bon ordre est une relation d'ordre total : deux éléments a et b sont toujours comparables : a b ou b a.      

Ordre, ordre partiel, ordre total, treillis, vocabulaire des ensembles ordonnés :


Soit E un ensemble muni d'une relation binaire telle que pour tous éléments a et b on ait a b ou b a.
On suppose en outre que toute partie non vide admet un plus petit élément au sens de la relation .
Montrer que la relation est un ordre total dans E. 
Indication : il suffit de montrer la transitivité.

Dans une lettre envoyée à Hilbert, Zermelo démontra (1904) que si on admet l'axiome du choix :

Tout ensemble E peut être bien ordonné

C'est à dire qu'il existe un ordre sur E qui est un bon ordre. Il est aussi prouvé qu'axiome du choix et existence d'un bon ordre sur tout ensemble sont des propositions équivalentes.

Le cas de N = {0, 1, 2, ..., } est trivial : l'ordre total usuel est manifestement un bon ordre à condition de ranger les entiers en ordre croissant. on parlera alors de (N,).

  Bon ordre sur Z :    

On peut ranger les éléments de Z en associant à tout entier n de N son opposé - n placé entre n et n + 1 : de la façon suivante :

Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ..., k, -k, k+1, ..., n, -n, n+1, ...}

Z étant dénombrable, on peut numéroter ses éléments zo, z1, z2, ... en respectant le rangement ci-dessus :

Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ..., zi, zi+1, ..., n, -n, n+1, ...}

Tout élément de Z s'identifie à un zi. Pour tout couple (a,b) de ZZ, si a = zi  et b = zj, posons a b pour signifier i j. On vérifiera facilement que l'on définit ainsi un bon ordre sur Z.

  Bon ordre sur Q :    

Une relation de bon ordre sur Q+ - {0} est donnée par le procédé diagonal qui a servi à montrer sa dénombrabilité. Dans la liste, on devra supprimer les éléments redondants comme 2/2, 4/2, etc. Puis, comme pour Z, on insère les opposés et on y définit le bon ordre de la même façon.

Q = {0, 1/1, -1/1, 2/1, -2/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 3/1, -3/1, 4/1, -4/1, 3/2, -3/2, ...}

  Zorn           Bon ordre et nombres ordinaux :                   Les 23 problèmes de Hilbert :                     


L'ensemble totalement ordonné (N,) n'est pas bien ordonné. Notons
ω* son ordinal. Montrer qu'une condition nécessaire
et suffisante pour qu'un ensemble ordonné soit bien ordonné est qu'il ne contienne aucune partie d'ordinal
ω*  

 Pour en savoir plus :


Steinitz  Russell
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