Sept axiomes (ou 8, le huitième étant dû à Fraenkel) dits parfois ZF ou ZFC, pour signifier respectivement axiomes de Zermelo-Fraenkel et axiomes de Zermelo-Fraenkel + axiome du Choix, et dans ce dernier cas nous avons 9) afin de lever certaines ambiguïtés et contradictions de ladite théorie.

L'axiome du choix (1904) :

Le célèbre axiome pose le problème de la notion d'existence mathématique et a fait couler beaucoup d'encre... Après les contradictions observées par l'usage de la théorie des ensembles de Cantor, il est à l'origine de la déstabilisation de la science mathématique au début du 20è siècle, qui l'on appela la crise des fondements. Récemment encore, de nombreux mathématiciens le contestaient. On peut l'énoncer de plusieurs manières équivalentes, plus ou moins complexes.

La plus simple est l'assertion équivalente de Russell :

Le produit cartésien de toute classe d'ensembles non vides est non vide

ou encore :

Pour toute classe d'ensembles non vides et disjoints, en nombre fini ou non, il existe un algorithme (dit fonction de choix) permettant d'extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble non vide.

L'axiome du choix ne pose problème que dans le cas d'un nombre infini non dénombrable d'ensembles : choisir, c'est discerner un élément parmi d'autres. Dans le cas fini ou dénombrable, les éléments peuvent être rangés, comptés; on peut alors choisir. Mais dans le cas infini non dénombrable, comment choisir dans un ensemble continu ? Des mathématiciens, et non des moindres, comme Peano, Hadamard, Lebesgue, Baire et Borel refusèrent l'axiome du choix.

Cette querelle de l'axiome du choix dura près de 60 ans. En 1930, Hilbert, dans ses Fondements de la Géométrie, exprime son inquiétude mais garde espoir : "Du paradis que Cantor a créé pour nous, nul ne doit pouvoir nous chasser". En 1938, Gödel montre que si la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse du continu, alors elle le demeure avec leurs adjonctions.

En 1963, Paul J. Cohen montre l'indépendance de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu de Cantor que l'on croyait liés, en démontrant l'indécidabilité de l'hypothèse du continu. Il met ainsi fin à la querelle et permet de distinguer les résultats qui peuvent être démontrés avec ou sans l'axiome du choix.

Si tel est le cas pour un ensemble E, on parle de bon ordre et on dit que E est bien ordonné. Son plus petit élément est souvent appelé son 1er élément.

Zermelo démontra que si on admet l'axiome du choix :

Tout ensemble E peut être bien ordonné

C'est à dire qu'il existe un ordre sur E qui est un bon ordre. Il est aussi prouvé qu'axiome du choix et existence d'un bon ordre sur tout ensemble sont des propositions équivalentes.

Le cas de N = {0, 1, 2, ..., } est trivial : l'ordre total usuel est manifestement un bon ordre à condition de ranger les entiers en ordre croissant. on parlera alors de (N,).

• Si on renverse l'ordre en considérant (N,), soit N = {..., 3, 2, 1, 0}, on n'a plus de bon ordre !

• (N,), soit Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} n'est manifestement pas bien ordonné.

• NN muni de l'ordre lexicographique est bien ordonné (heureusement pour les dicos...).

• Et, concernant R, aucun bon ordre n'a été exhibé aujourd'hui !

On a un résultat fort intéressant :