ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Un calcul de π par développement en série de Fourier               » calcul de ζ(2) , calcul de ζ(4)

On considère la fonction numérique 2π-périodique, définie sur [-π,+π] par f(x) = x/2.

a/ Justifier que f est développable en série de Fourier.

b/ Calculer le développement en série de Fourier de f. Étudier le cas x = π.

c/ Déduire du développement trouvé la valeur de la somme

a/ La représentation graphique de f a été obtenue en représentant la fonction x →x/2 sur l'intervalle [-π,+π] et en dupliquant le segment obtenu par translations de vecteurs V(±2π,0).

La fonction f est périodique et continue par morceaux, elle est donc développable en série de Fourier et la série convergera en tout point vers f(x) si f est continue en x et vers [f(x⁺) + f(x^-)]/2 sinon (résultat établi par Dirichlet).

b/ La série de Fourier associée à f est :

avec :

Mais f est impaire, donc tous les a_n sont nuls. On calcule facilement les b_n en intégrant x x →x.sin nx par parties sur [0,π] (par parité), en remarquant que cos nπ = (-1)ⁿ et sin nπ = 0. On trouvera b_n = (-1)ⁿ⁺¹/n et, pour tout réel x, la série de Fourier associée à f est :

En x = π, f est discontinue : f(π^-) = -f(π⁺) = π/2, donc [f(π^-) + f(π⁺)]/2 = 0, ce qui est conforme au résultat trouvé car sin nπ = 0.

c/ Faisons x = π/2 dans le développement en série de Fourier. En ce point f est continue et f(π/2) = π/4. On a donc :

Si n est pair, sin nπ/2 = 0 et si n est impair, n = 2k + 1 (k = 0, 1, 2, ..), on a sin(2k + 1)π/2 = (-1)^k.
Par suite :

On retrouve ici un résultat établi par Grégory et Leibniz :