ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Nombres premiers sexy...

A l'instar des nombres premiers jumeaux dont la différence est 2, deux nombres premiers n et p, n > p, sont dits sexy, si n - p = 6 (du latin sex = six, comme sexy, on l'a bien compris...).

  Pour info, on parle aussi de nombres premiers cousins si n - p = 4.

On remarque que 5, 11, 17, 23, 29 est une suite finie de nombres premiers sexy mais 29 + 6 = 35 n'est pas premier : nous dirons que cette suite est d'ordre 5 ou de longueur 5.

La seule suite de nombres sexy d'ordre 5 est 5, 11, 17, 23, 29 et on ne peut pas trouver des suites de nombres sexy d'ordre supérieur à 5.

 Preuve au moyen des congruences :   

Le seul nombre premier divisible par 5 est 5 lui-même. Ainsi, toute suite de nombres sexy d'ordre au moins égal à 5, ne commençant pas à 5, commence par un nombre premier p ≡ a [5] avec a  ≥ 1.

On sait que tout nombre premier est de la forme 6a ± 1, a = 1, 2, ... ( voyez ici) et les restes de la division par 5 sont 0, 1, 2, 3 ou 4. Par conséquent, vu que 6 ≡ 1 [5], la suite des restes modulo 5 des nombres p + 6, p + 12, ..., p + 17 augmente de 1 à chaque addition de 6 : un de ces restes sera nécessairement 5 : on tombe sur un multiple de 5 non premier.

Preuve élémentaire :   

 On sait que tout nombre premier est de la forme 6a ± 1, a = 1, 2, ... ( voyez ici). La table de multiplication par 6 montre que tout multiple de 6 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.  Par conséquent, tout nombre de la forme 6a + 1 se termine par l'un des 5 chiffres 1, 3, 5, 7 ou 9. De même 6a - 1 = 6(a - 1) + 5 aura pour chiffre des unités : 5, 7, 9, 1, et 3. Et il en est alors de même de tout nombre obtenu en lui ajoutant 6 puisqu'il sera alors lui-même de la forme 6k ± 1 avec k = a + 1 :

(6a - 1) + 6 = 6(a + 1) -1      et     (6a + 1) + 6 = 6(a + 1) + 1

Ainsi, à l'exception de 6a - 1 = 5 (a = 1), nombre premier de départ, l'un des cinq nombres obtenus se terminera par 5 et sera alors non premier.
 

Programmation JavaScript de l'algortithme :

On se propose maintenant de rechercher, au moyen d'un programme informatique, des suites de nombres premiers sexy en précisant la valeur de départ et l'ordre voulu.

  Au delà de l'ordre 4, le temps de calcul est significatif... (c'est un euphémisme). Attention, un ordre supérieur à 5 n'est pas contrôlé par le programme... : votre navigateur devrait vous avertir au bout d'un certain temps...

Dans ce programme, || désigne le" OU logique", && est le "ET logique", != signifie "différent de". La fonction prem() est identique à celle étudiée dans la recherche de primarité d'un nombre donné.




  On remarquera que :

Cela s'explique facilement par le fait que la suite des chiffres des unités des nombres 6a ± 1 augmentés de 6 est cyclique  et tout nombre se terminant par 5 ne peut être premier.

 

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
var p,t
function sexy()
{
nd=2;
nd=prompt("Nombre de départ = ",nd);
if (nd==null) {return} else {nd=eval(nd)};
ord=4;
ord=prompt("Ordre = ",ord);
if (ord==null) {return} else {ord=eval(ord)};
t=0;ok=1;p=nd-1;
while (ok==1)
{
while (t==0)
{
p = p+1;t=prem(p);
}
nd=p;liste=nd.toString();
for(i=1;i<=ord-1;i++)
{
p=nd+6*i;t=prem(p);
if (t==0) {break} else {liste=liste+"-"+p.toString()};
}
if (t==1) {nd=nd+6;if (!confirm(liste))return}
p=nd;
}
}
function prem(p)
{
if (p==2||p==3||p==5) {return 1}
d=1 ; a=0 ; rst = 1; rst2=1; t=0
if (p%3 !=0 && p%2 !=0)
{
while (d*d<=p && rst*rst2 >0)
{a++
d=6*a-1 ; rst = p % d
d = d+2 ; rst2 = p % d
}
if(rst==0 || rst2==0) {t=0} else {t=1}
}
return t
</SCRIPT>

Nombres premiers en progression arithmétique :                  Tao , Deligne , Bombieri


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