ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

A l'instar des nombres premiers jumeaux dont la différence est 2, deux nombres premiers n et p, n > p, sont dits sexy, si n - p = 6 (du latin sex = six, comme sexy, on l'a bien compris...).

 i  Pour info, on parle aussi de nombres premiers cousins lorsque n - p = 4.

• Par exemple : (7,13), (47,53) sont des couples d'entiers premiers sexy.

On remarque que 5, 11, 17, 23, 29 est une suite finie de nombres premiers sexy mais 29 + 6 = 35 n'est pas premier : nous dirons que cette suite est d'ordre 5 ou de longueur 5.

• la suite 13, 19 est d'ordre 2; il en est de même de 37, 43.

• la suite 7, 13, 19 est d'ordre 3 (19 + 6 = 25 n'étant pas premier); il en est de même de 17, 23, 29;

• la suite 11, 17, 23, 29 est d'ordre 4. il en est de même de 41, 47, 53, 59.

• La suite 5, 11, 17, 23, 29 est d'ordre 5.

 ➔  La seule suite de nombres sexy d'ordre 5 est 5, 11, 17, 23, 29 et il n'existe aucune suite de nombres sexy d'ordre supérieur à 5.

♦ Preuve au moyen des congruences :   

Le seul nombre premier divisible par 5 est 5 lui-même. Ainsi, toute suite de nombres sexy d'ordre au moins égal à 5, ne commençant pas à 5, commence par un nombre premier p ≡ a [5] avec a  ≥ 1.

On sait que tout nombre premier est de la forme 6a ± 1, a = 1, 2, ... (» voyez ici) et les restes de la division par 5 sont 0, 1, 2, 3 ou 4. Par conséquent, vu que 6 ≡ 1 [5], la suite des restes modulo 5 des nombres p + 6, p + 12, ..., p + 17 augmente de 1 à chaque addition de 6 : un de ces restes sera nécessairement 5 : on tombe sur un multiple de 5 non premier.

♦ Preuve élémentaire :   

 On sait que tout nombre premier est de la forme 6a ± 1, a = 1, 2, ... (» voyez ici). La table de multiplication par 6 montre que tout multiple de 6 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.  Par conséquent, tout nombre de la forme 6a + 1 se termine par l'un des 5 chiffres 1, 3, 5, 7 ou 9. De même 6a - 1 = 6(a - 1) + 5 aura pour chiffre des unités : 5, 7, 9, 1, et 3. Et il en est alors de même de tout nombre obtenu en lui ajoutant 6 puisqu'il sera alors lui-même de la forme 6k ± 1 avec k = a + 1 :

(6a - 1) + 6 = 6(a + 1) -1      et     (6a + 1) + 6 = 6(a + 1) + 1

Ainsi, à l'exception de 6a - 1 = 5 (a = 1), nombre premier de départ, l'un des cinq nombres obtenus se terminera par 5 et sera alors non premier.
 

On se propose maintenant de rechercher, au moyen d'un programme informatique, des suites de nombres premiers sexy en précisant la valeur de départ et l'ordre voulu.

 !  Au delà de l'ordre 4, le temps de calcul est significatif... (c'est un euphémisme). Attention, un ordre supérieur à 5 n'est pas contrôlé par le programme... : votre navigateur devrait vous avertir au bout d'un certain temps...

Dans ce programme, || désigne le" OU logique", && est le "ET logique", != signifie "différent de". La fonction prem() est identique à celle étudiée dans la recherche de primarité d'un nombre donné.

 ➔  On remarquera que :

• les suites d'ordre 2 commencent par un nombre se terminant par 1, 7 ou 3;

• les suites d'ordre 3 commencent par un nombre se terminant par 1 ou 7;

• les suites d'ordre 4 commencent par un nombre se terminant par 1;

• la suite d'ordre 5 commence par 5 !

Cela s'explique facilement par le fait que la suite des chiffres des unités des nombres 6a ± 1 augmentés de 6 est cyclique  et tout nombre se terminant par 5 ne peut être premier.

Nombres premiers en progression arithmétique :  »           »  Tao , Deligne , Bombieri