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BRUN Viggo, norvégien, 1885-1978

Source portrait et éléments biographiques : https://no.wikipedia.org/wiki/Viggo_Brun | https://nbl.snl.no/Viggo_Brun

Viggo Brun étudia à l'université d'Oslo avant de rejoindre l'université de Göttingen (1910) où il se spécialise en théorie des nombres, s'intéressant tout particulièrement à la distribution des nombres premiers. De retour en Norvège (1915), il enseigna à Drøbak et obtiendra (1923) un poste à l'Institut Norvégien de Technologie (NTH, fondé en 1910 à Trondheim, au nord d'Oslo). Il fut professeur à l'université d'Oslo de 1946 jusqu'à sa retraite en 1955.

Malgré d'importantes avancées, la distribution des nombres premiers reste un problème ouvert. Un des objectifs préalables de Viggo Brun est la preuve de la conjecture de Goldbach qui résiste encore de nos jours depuis 1742 ! Quoique simplissime dans son énoncé : tout entier pair autre que 2 est la somme de deux nombres premiers, elle n'aura sans doute de preuve que si cette distribution est connue.

C'est quoi un problème ouvert ? :

Crible et constante de Brun :

Rappelons que l'on qualifie de jumeaux deux nombres premiers n et p tels que p = n + 2. Par exemple11 et 13, 29 et 31. Dans le cadre de l'étude de leur distribution, Brun généralise le crible d'Eratosthène pour la recherche des nombres premiers inférieurs à un entier donné et prouve en 1919 un résultat conjecturé par Hardy et Littlewood qui lui permit quelques avancées dans l'étude de la conjecture de Goldbach ( réf. 1) :

 S'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, alors la série de terme général 1/n + 1/p avec n et p premiers jumeaux est convergente.

(1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19)  + (1/29 + 1/31) + ...

En savoir plus sur les nombres premiers jumeaux :

Quoique "fortement" conjecturée, l'infinité des nombres premiers jumeaux est encore un problème ouvert malgré des progrès récents comme ceux de Terence Tao.

Si la série est convergente, sa somme S, parfois appelée constante de Brun, a été calculé grâce aux ordinateurs (par Thomas R. Nicely depuis 1996 et affiné ensuite) comme valant environ : 1,9021605832 à 10-11 près. (c'est encore aujourd'hui, septembre 2017, un problème ouvert).

  Dirichlet , Tao

Hardy et Littlewood ont aussi montré que si l'on appelle π2(x) le nombre de nombres premiers jumeaux inférieurs à x, on devrait avoir pour x "grand" :

où C, dite constante des nombres premiers jumeaux est donnée par la formule :

C a été évaluée comme valant approximativement 0,66016. Certains auteurs considèrent C comme étant le double de ce nombre, soit 1,32032. Le mathématicien chinois Jie Wu (univ. Paris-Sud) a établi en 1990 , dans un mémoire intitulé Sur la suite des nombres premiers jumeaux, publié dans la revue Acta Arithmetica, la majoration :

 

Sous le titre Goldbach's conjecture and the twin prime problem, il confirme et affine son résultat en 2004 dans la même revue () où le coefficient 3,418 est ramené à 3,3996. C'est dire que :

Recherche de nombres premiers jumeaux :                  Recherche de nombres premiers :

 Pour en savoir plus :

  1. Crible de Brun sur Numdam : http://www.numdam.org/article/SDPP_1965-1966__7_2_A1_0.pdf

  2. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France. Un chapitre
    est consacré aux nombres premiers jumeaux et au cas plus général de nombres premiers en progression arithmétique.

  3. Dictionnaire des mathematiques :algèbre, analyse, géométrie
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, théorie des nombres, Éd. Albin Michel, Paris, 1997/98

  4. Twin Primes sur WolframMathworld, le site de Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html

  5. The Goldbach Conjecture par Yuan Wang (en lecture partielle) sur Google Livres :
    https://books.google.fr/books?id=g4jVCgAAQBAJ


Vitali Littlewood
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