ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Ovale & Ove                    » Courbe en œuf (équant) , Ovales de Cassini , Ovales de Descartes , Anse de panier

♦  Nom de la courbe : ovale

♦  Étymologie : du latin ovum = œuf : donc, qui a la forme d'un œuf.

 !    Il y a souvent confusion entre ovale et ellipse. Ovale (dans le plan) et ovoïde (dans l'espace) signifient qui ressemble à un œuf. Par table ovale, on entend généralement une table ressemblant plutôt à la forme d'un stade correspondant géométriquement au raccordement d'un rectangle à deux demi-cercles (à droite) : ni elliptique, ni ovale ! Par contre, un visage ovale correspond bien à la nature de la courbe en question, bien qu'il puisse être plus ou moins elliptique...

♦  Équation : l'ovale ne possède pas d'équation mathématique simple : il faut le définir par morceaux, à moins d'utiliser des fonctions logiques. C'est une forme géométrique très complexe ! Deux types d'ovales sont étudiés ici :

• L'un ressemble à s'y méprendre à une ellipse : l'ovale elliptique.

• L'autre est  l'ove géométrique, défini par morceaux, dont nous allons tracer une section plane et donner une équation paramétrique en évitant une définition multiple par morceaux.

♦  Applications : architecture, bibelots, ...

1. Tracer un segment [AB]; reportez le en [BC] puis [CD];
2. Tracer les cercles de centre B et C de même rayon BA. Ils se coupent en E et F;
3. Tracez les symétriques K et M de E et F par rapport à B; de même placez N et L;
4. De E comme centre, tracer l'arc de rayon EK jusqu'en L;
5. De F comme centre, tracer l'arc de rayon FM jusqu'en N;

Vous obtenez ce bel "ovale elliptique", réunion de deux anses de panier :

L'ove, de forme ovoïde (bien sûr), est un motif architectural utilisé dans les frises gréco-romaines; en fait un œuf en pierre. Les architectes grecs et romains les utilisaient couramment sous les chapiteaux des colonnes ou des temples. On peut l'obtenir par révolution d'un ovale (le vrai celui-là) autour de son axe de symétrie :

Approche géométrique de l'ovale :           

1. Tracez un segment [AB], petit axe en quelque sorte de notre "ovale";

2. Tracez la médiatrice de [AB] et le cercle de diamètre [AB];

3. La médiatrice coupe le demi-cercle inférieur en C;

4. Tracez les demi-droites [AC) et [BC);

5. Le cercle de centre A passant par B coupe [AC) en D;

6. Le cercle de centre B passant par A  coupe [BC) en E;

7. Le cercle de centre C passant par E définit un arc inférieur ED, extrémité de la "coquille".

Posons OA = a.
Plaçons l'origine au milieu de [AB]. Remarquer que ^ABE = ^BAD = π/4.

• Équation du cercle de centre O, de rayon OB = OA = a : x = a × cost, y = a x sint, restreint à [0,π].

• Équation du cercle de centre B, de rayon BA = BE = 2a : x = 1 + 2a x cost, y = 2a x sint, restreint à [π,5π/4].

• Équation du cercle de centre A, de rayon AB = AD = 2a : x = -1 + 2a x cost, y = 2a x sint, restreint à [2π - π/4, 2π], soit [7π/4, 2π].

• AD = BE = 2a et un petit calcul élémentaire fournit AC = BC = a√2. Le cercle de centre C de rayon CE = CD, a pour équation x = (2a - a√2) x cost, y = -1 + (2a - a√2) x sint; on le  restreint à [5π/4, 7π/4].

x(t) = cos(t)*(t<=π)+(1+2cos(t))*(t>π)*(t<=5π/4)+(2-sqrt(2))cos(t)*(t>5π/4)*(t<=7π/4)
         +(-1+2cos(t))*(t>7π/4)

y(t) = sin(t)*(t<=π)+2sin(t)*(t>pi)*(t<=5π/4)+(-1+(2-sqrt(2))*sin(t))*(t>5π/4)*(t<=7π/4)
         +2sin(t)*(t>7π/4)

 ➔  Une écriture comme (t<=k) vaut 1 si t ≤ k, 0 sinon. Par suite (t>π*(t<=5π/4) représente la fonction caractéristique de l'intervalle [π,5π/4] :  1 si t est élément de cet intervalle, 0 sinon. Un traceur de courbes comme Advanced Grapher admet les fonctions logiques. Mais, direz-vous, ces fonctions logiques sont plus informatiques que mathématiques !

Sur [0,2π[, on a 0 ≤ t/π ≤ 1, on peut alors simuler la fonction caractéristique 1_[a,b] d'un intervalle [a,b] de [0,2π[ utilisant la fonction mathématique partie entière E(x) : si n ≤ x < n + 1, E(x) = n :

 1_[a,b](t) = E(t/a) × [1 - E(t/b)]

Les grapheurs utilisent la notation int (pour integer = entier). On a alors l'équation (pas vraiment simple...), avec t décrivant [0,2π], la valeur t = 2π réintroduit le point A(-1;0), ce qui n'est donc pas un problème :

x(t) = cos(t)*(1-int(t/π))+(1+2cos(t))*int(t/π)*(1-int(4t/5/π))
         +(2-sqrt(2))cos(t)*int(4t/5/π)*(1-int(4t/7/π))+(-1+2cos(t))*int(4t/7/π)*(1-int(t/2/π))

y(t) = sin(t)*(1-int(t/π))+2sin(t)*int(t/π)*(1-int(4t/5/π))
         +(-1+(2-sqrt(2))sin(t))*int(4t/5/π)*(1-int(4t/7/π))+2sin(t)*int(4t/7/π)*(1-int(t/2/π))