ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

TAO Terence Chi-Shen, australien, 1975-             Médaille Fields 2006

Source Portrait : site du prix Fayçal. Sources biographiques : » réf. 9.

Terence Chi-Shen Tao est un mathématicien d'origine chinoise né à Adélaïde (Australie du sud), d'un père médecin et d'une mère professeur de mathématiques et de sciences physiques à Hong-Kong, qui émigrèrent en Australie en 1972.

Enfant prodige, il se distinguera en mathématiques dès l'école primaire. Un système éducatif intelligent permit d'offrir au jeune Terence un enseignement adapté à ses hautes capacités. A 11 ans (1986), il fut admis à se présenter aux Olympiades Internationales de Mathématiques (» les OIM) et obtint une médaille de bronze. En 1987, il obtint une médaille d'argent et en 1988 à Canberra (Australie), une médaille d'or (rang 13 avec 34 points sur 42).

Terence entre à l'université d'Adelaïde l'année suivante à peine âgé de 14 ans et y soutiendra sa première thèse à 17 ans (1992) portant sur les opérateurs de convolution (algèbre et analyse de Clifford) intitulée : Convolution operators generated by right-monogenic and harmonic kernels. Bénéficiant d'une bourse d'études et encouragé par Erdös, Terence poursuit des études complémentaires en la très renommée Princeton University et soutient une seconde thèse Three Regularity Results in harmonic analysis (1996). L'université de Californie (UCLA sise à Los Angeles, USA) lui offre alors un poste de professeur adjoint. Il en deviendra titulaire en l'an 2000.

Terence Tao a obtenu la médaille Fields 2006 pour ses travaux en théorie analytique et additive des nombres. Depuis, il semble à l'abri du besoin : la même année, il recevait le prix MacArthur (plus rémunérateur : 500 000 $, de quoi encourager de nouvelles vocations...). Il est également lauréat 'entre autres !) du prix Salem 2000, du prix Clay Research 2003, du prix Ostrowski 2005, du prix Fayçal 2010 pour les mathématiques (partagé avec Bombieri), du prix Crafoord 2012 (partagé avec Bourgain) pour ses travaux novateurs en analyse harmonique, outil essentiel, depuis Dirichlet, de la théorie analytique des nombres et du récent et fabuleux Breaktrough prize in Mathematics (2015), d'un montant de 3 millions de dollars US !

Ci-dessus, Terence Tao en compagnie de Paul Erdös en 1985, photo postée sur son compte Google+ par  Tao en 2013 pour commémorer le centenaire de la naissance du célèbre mathématicien hongrois; en 1985, ce dernier rendait visite à son ami George Szekeres (1911-2005), chimiste et mathématicien australien d'origine hongroise, professeur à l'université d'Adelaïde qui fut à l'origine d'olympiades mathématiques en Australie auxquelles participa brillamment le jeune Terence.

Les Olympiades Internationales de Mathématiques :    

Les Olympiades Internationales de Mathématiques (OIM, IMO en anglais) sont un concours international. Elles furent instaurées en 1959 par la Roumanie en réunissant 7 pays de l'axe soviétique de l'époque. Aujourd'hui, elles concernent une centaine de pays dont un pays organisateur. La France les organisa à Paris en 1983. Les candidats (6 au maximum sélectionnés par leur pays) sont des lycéens (relevant donc de l'enseignement secondaire) âgés de 20 ans au plus. Le concours consiste en deux épreuves de 4h30 comportant 3 problèmes notés chacun sur 7 points dans le domaine de l'algèbre, l'analyse, la géométrie, l'analyse combinatoire. Chaque pays participant peut proposer des problèmes. Suivant ses résultats un candidat peut recevoir une médaille de bronze, d'argent ou d'or.

Dans le classement par pays, la France, pourtant dans les premiers rangs de la recherche en mathématique et des médaillés Fields (second rang mondial après les USA) ne s'est jamais placée dans les trois premières places et son classement va plutôt en se dégradant (» statistiques sur Wikipedia). On pourra se rendre compte de la nature et de la difficulté des sujets en consultant les archives des problèmes sur le site des OIM :

Site des OIM (version fr) :       Page d'Igor Kortchemski (ENS Paris) : »          » Maryam Mirzakhani

La conjecture "faible" de Goldbach :

Dans le cadre de la théorie additive des nombres, la conjecture de Goldbach selon laquelle :

Tout entier pair autre que 2 est la somme de deux nombres premiers

reste un "casse-tête" depuis 1742. La conjecture faible de Goldbach concerne les entiers impairs, à savoir que :

Tout nombre impair au moins égal à 7 est somme de trois nombres premiers

Après l'importante avancée (1995) du mathématicien français Olivier Ramaré (CNRS/univ. Lille) portant la somme à au plus six nombres premiers :

 Tout entier pair autre que 2 est la somme d'au plus six nombres premiers,

Tao réussit à ramener la somme à au plus cinq en juillet 2012 (» ref. 9). En mai 2013, le mathématicien franco-péruvien Harald Andrès Helfgott résolut complètement la conjecture. On pourra lire une critique de Tao à propos de cette preuve (» ref. 9b). 

Nombres premiers en progression arithmétique et théorème de Green-Tao :

On sait depuis Euclide que l'ensemble des nombres premiers est infini. Dès lors, les mathématiciens du monde entier se sont penchés sur la question de leur distribution dans l'ensemble des entiers naturels.

Les mathématiciens s'intéressent également à des séquences plus générales de nombres premiers en progression arithmétique : p, p + r, p + 2r, p + 3r, ... comme par exemple, les cas r = 2 des nombres premiers jumeaux ou r = 6 des nombres premiers sexy :

On sait depuis Euclide que l'ensemble des nombres premiers est infini. Le cas des nombres premiers jumeaux retient l'attention des mathématiciens car rien empêche a priori de rencontrer des séquences consécutives infinies de tels nombres p, p + 2, p + 4, p + 6, ..., p + 2n avec n arbitrairement grand. En 1837, Dirichlet prouve une conjecture de  Legendre selon laquelle :

Si a et b sont premiers entre eux, il existe une infinité d'entiers n tels que  p = a + nb soit premier.

 !   Cela ne signifie nullement que n parcourt N tout entier : il peut exister pour certains a et b des séquences consécutives infinies mais cela n'est pas assuré.

Théorème de Green-Tao :    

Tao et Ben Green ont montré en 2004, par un raisonnement d'une rare complexité usant de la combinatoire, de la théorie ergodique et de l'analyse harmonique dans les groupes topologiques (domaines où a priori, on ne les attendait pas), qu'il existe des séquences de longueur arbitrairement grandes. Sans cependant formuler un algorithme de construction :

The primes contain arbitrarly long arithmetic progressions
L'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues

 i  Ben green (1977-), mathématicien anglais spécialiste en théorie additive des nombres et en sa problématique inverse (combinatoire additive), professeur à l'université d'Oxford, ami de Terence Tao, il fut un des étudiants de Timothy Gowers qui dirigea sa thèse (Topic in arithmetic combinatorics, Cambridge, 2003). Il est lauréat du prix Salem 2005.

Le sujet fut relancé en mai 2013 lorsque le mathématicien américain chinois Yitang Zhang publia dans les Annals of Mathematics la preuve de l'existence d'une infinité de nombres premiers en progression arithmétique dont la raison était au plus égale à  70 000 000. En juillet, l'article subit quelques menues corrections et fut validé.

 i  Yitang Zhang (1955-), mathématicien chinois qui étudia à Pékin puis à l'université Perdue (Indiana, USA) où il obtient son doctorat en 1991. Zhang enseigne actuellement  aux États-Unis à l'université du New Hampshire.

La raison r = 70 000 000 apparaît éléphantesque comparée à r  = 2, raison associée aux nombres premiers  jumeaux. Mais la dynamique est lancée. Terence Tao propose le sujet au projet collaboratif Polymath8 (8è problème). Le mathématicien canadien James Maynard (médaille Fields 2022) participe aux recherches et améliore la méthode de Zhang : en octobre 2013, r est ramené à 600 (réf.7). Le 4 janvier 2014, Tao ramène r à 272 et Maynard à 246 rappelant que si la conjecture de d'Elliott-Halberstam est validée, alors  r ≤ 12 !

Conjecture de la discrépance :     

En octobre 2015, Terence Tao, grâce à des avancées sur un sujet parallèle dans le cadre du projet Polymath (11è problème) a résolu une conjecture arithmétique d'Erdös énoncée dans les années 1930 dite conjecture de la discrépance (néologisme issu de l'anglais discrepancy = divergence). Sur ce sujet, d'énoncé simple mais éminemment complexe, comme le sont les conjectures arithmétiques contemporaines, on pourra lire un article de Sean Bailly dans la revue Pour la Science n°458, partiellement en ligne (réf.10) et, pour les plus au fait de ces problèmes, la preuve de Tao (» réf.11).

 ➔  Pour en savoir plus :

  1. Home Page de Terence Tao, professeur à l'université de Californie : http://www.math.ucla.edu/~tao/

  2. Sources biographiques :
      a/ Tao, l'éducation réussie d'un surdoué, par J.-P. Delahaye (Pour la Science) : http://www.lifl.fr/~delahaye/pls/192.pdf
      b/ Terence Tao, the Mozart of mathematics :
      http://graviton.co.in/2013/07/17/terence-tao-the-mozart-of-mathematics/ 
      c/ Terence Tao, first UCLA math prof to win fields medal (univ. Los Angeles) :
          http://newsroom.ucla.edu/portal/ucla/Terence-Tao-Mozart-of-Math-7252.aspx.
     d/ Blog de Terence Tao relatif à ses recherches et divers sujets mathématiques à l'ordre du jour :
     http://terrytao.wordpress.com/

  3. 29è olympiade mathématique internationale (1988) à laquelle participa Terence Tao : ..\pdf\1988-eng.pdf

  4. Prix du roi Fayçal (The King Faisal foundation) : http://www.kff.com/

  5. La conjecture des nombres premiers jumeaux en voie d'être démontrée, dans Le Journal de la Science :
     http://blog.univ-reunion.fr/benne/la-conjecture-des-nombres-premiers-jumeaux-en-voie-detre-demontree/

  6. Théorème de Green-Tao par Erica Klarreich sur Quanta Magazine : Mathematicians Team Up on Twin Primes Conjecture, https://www.simonsfoundation.org/quanta/20131119-together-and-alone-closing-the-prime-gap/

  7. a) Small gaps between primes par James Maynard ( r ≤  600) : http://arxiv.org/pdf/1311.4600.pdf
    Dans ce même mémoire, en admettant la conjecture d'Elliott-Halberstam, r ≤ 12.
    b) Polymath8b : Intervalles bornés avec de nombreux nombres premiers, d'après Maynard (article de Terence Tao, 2013) :
      https://terrytao.wordpress.com/2013/11/19/polymath8b-bounded-intervals-with-many-primes-after-maynard/

  8. » Autres articles sur la Cornell University Library :
          - Maynard : http://arxiv.org/find/math/1/au:+Maynard_J/0/1/0/all/0/1
          - Tao : http://arxiv.org/find/math/1/au:+Tao_T/0/1/0/all/0/1

  9. Conjecture faible de Goldbach :
    a) Tout nombre impair supérieur à 1 est somme d'au plus cinq nombres premiers par Terence Tao (juillet 2012) :
    https://arxiv.org/pdf/1201.6656v4.pdf (07/2012).
    b) Tao minimise la preuve du français Helfgott : http://obamaths.blogspot.com/2013/05/conjecture-de-goldbach-terence-tao.html
    c) La conjecture faible de Goldbach par Harald A. Helfgott : https://arxiv.org/pdf/1305.2897v1.pdf (13 mai 2013)
    d) La conjecture de Goldbach ternaire : http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2014/140/smf_gazette_140_5-56.pdf

  10. Conjecture de la discrépance d'Erdös :
    http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-terence-tao-demontre-la-conjecture-de-la-discrepance-de-paul-erdos-36013.php

  11. The Erdos discrepancy problem par Terence Tao sur Cornell University Library : http://arxiv.org/abs/1509.05363.
    La preuve de Tao est ici au format pdf : http://arxiv.org/pdf/1509.05363v5.pdf

Hairer  Mirzakhani Maryam
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