ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GOLDBACH  Christian, prussien, 1690-1764

Après des études de médecine et de mathématiques en la célèbre université de Königsberg, Goldbach parcourt l'Europe et rencontre les grands mathématiciens de son époque. Il se lie d'amitié avec Euler et s'établit finalement en Russie à l'invitation de la cour impériale où il aura, en plus de son enseignement des mathématiques, de hautes fonctions administratives.

A l'académie des sciences de Saint-Pétersbourg, Goldbach rencontra les frères Bernoulli (Daniel et Nicolas II) avec lesquels il entretint de nombreuses correspondances.

Les travaux de Goldbach porteront sur les séries infinies, les équations algébriques, les intégrales elliptiques. Ses célèbres conjectures arithmétiques ouvrent la voie de la théorie additive des nombres chère à (entre autres) Waring, Lagrange, Hardy, Littlewood, Ramanujan, Selberg, Bombieri, Vinogradov, ...

Rappelons que l'on appelle conjecture, toute assertion (proposition) que l'on considère comme vraie mais que l'on ne sait pas prouver dans l'état actuel de la connaissance. Notons ici qu'une assertion est une proposition avancée comme vraie. Cependant, on parle souvent d'assertion fausse pour signifier que finalement, ce n'est pas une assertion (proposition fausse)...
Pour en savoir un peu plus sur le vocabulaire : lemme, proposition, théorème Euclide. Voir aussi : conjectures citées dans ChronoMath


Conjecture de Goldbach (1742) et variantes :

Tout entier pair autre que 2 est la somme de deux nombres premiers

Cette célèbre conjecture, d'une rare simplicité dans son énoncé, fut confirmée par Euler auquel Goldbach avait fait appel après en avoir vainement prouvé la véracité. Malgré quelques avancées récentes, elle reste à ce jour (août 2017) un problème ouvert. Au 20è siècle, Hardy a montré que la conjecture est liée à la non moins célèbre hypothèse de Riemann et pourrait en être une conséquence.

Grâce à la puissance de calcul des ordinateurs modernes, Tomas Oliveira e Silva, professeur d'informatique à l'université d'Aveiro (Portugal) a pu tester, entre les années 2005 et 2012, tous les nombres pairs de 4 à 4 000 000 000 000 000 000 (quatre milliards de milliards, réf.1). Comme espérée, la conjecture ne fut pas prise en défaut. En mai 2013, il acheva la vérification des calculs jusqu'à quatre cents millions de milliards.

Programme JavaScript de la conjecture de Goldbach :

En 1930, le mathématicien russe Lev Shnirelmann a prouvé le résultat suivant :

Il existe un un entier naturel k tel que tout entier supérieur à 2 est la somme d'au plus k nombres premiers

Mais quid de l'entier k ?

Lev Guenrikovitch Shnirelman (1905-1938) : mathématicien russe qui étudia à l'université d'État de Moscou (université Lomonosov). Il obtint son doctorat sous la direction de Nikolaï Lusin en 1929. Ses travaux portèrent sur la topologie et son application au calcul des variations, ainsi qu'en théorie additive des nombres. En 1938, la dictature de Joseph Staline est à son apogée. Surveillé par le NKVD, police politique du pouvoir, futur KGB, Shnirelman est arrêté en 1938. Libéré quelques mois plus tard mais gravement déprimé, il se suicide le 24 septembre 1938.

En 1966, un jeune mathématicien chinois, Chen Jingrun, fit un grand pas dans la résolution de la conjecture en prouvant que :

Tout entier pair autre que 2 est la somme d'un nombre premier et d'un produit d'au plus 5 facteurs premiers.

En 1995, le mathématicien français Olivier Ramaré (Université Lille1) a établi que :

Tout entier pair est la somme d'au plus six nombres premiers

avec comme corollaire immédiat, puisque tout entier impair autre que 1 est de la forme  2n + 1 = 2(n - 1) + 3 avec n ≥ 1 :

Tout entier supérieur à 1 est la somme d'au plus sept nombres premiers

Une dépêche du journal en ligne Le Monde.fr en date du 21 mai 2012, intitulée La difficile ascension vers la résolution d'un problème mathématique nous apprend que l'australien Terence Tao (médaille Fields 2010) a prouvé que la somme peut se réduire à cinq nombres premiers. Olivier Ramaré écrit :

Avec la méthode que j'avais utilisée et que Terence Tao poursuit, nous savons que nous ne pourrons pas aller jusqu'à la démonstration finale. Il y a un obstacle théorique. On a même du mal à s'approcher d'une méthode différente permettant d'aborder cette ultime question. Peut-être qu'on ne verra pas la démonstration avant mille ans ! (...) Ces travaux sont cependant intéressants car pour aborder la démonstration finale, nous avons besoin de comprendre les entiers et les nombres premiers. Les outils et méthodes développés dans des cas plus 'simples' pourront donc être utiles. On ne sait jamais...


  Une assertion comparable à celle de Goldbach, encore non prouvée et non mise en défaut à ce jour, affirme :

Tout entier pair est différence de deux nombres premiers jumeaux

La décomposition n'est généralement pas unique, comme le montre le cas suivant : 24 = 5 + 19 = 7 + 17


Conjecture faible de Goldbach :    

On parle de conjecture faible (ou impaire) de Goldbach pour exprimer que :

Tout nombre impair au moins égal à 7 est somme de trois nombres premiers

       7 = 2 + 2 + 3  ;  87 = 31 + 19 + 37 (par exemple...), ...

Il est clair que la preuve de la conjecture sur les entiers pairs entraîne celle sur les entiers impairs : en effet, tout nombre impair est de la forme 2n + 1 = 2(n - 1) + 3 ; si la conjecture de Goldbach est vraie, alors 2(n - 1), pour n au moins égal à 3, peut s'écrire p + q, p et q premiers. 2n + 1 = p + q + 3, p 2, q 2.

Cette conjecture faible fut partiellement prouvé par Vinogradov en 1937 : en apportant la preuve qu'il en est ainsi pour tout entier impair supérieur à . Mais en mai 2013, un jeune mathématicien péruvien, Harald A. Helfgott, diplômé de Princeton, lauréat de trois prix mathématiques internationaux, chargé de recherches au CNRS, attaché à l'ENS Paris, a soumis un preuve de la conjecture en mai 2013 ! Vérification en cours auprès des spécialistes...

  http://arxiv.org/abs/1305.2897 | http://www.mpim-bonn.mpg.de/webfm_send/210.    à suivre...

Autres conjectures évoquées dans ChronoMath :
Théorie des partitions :

On parle plus généralement de la théorie des partitions pour exprimer des problèmes combinatoires de décomposition, non seulement de nombres mais aussi d'ensembles, soumise à diverses conditions.

Il en est ainsi, par exemple, de savoir combien un entier naturel admet de décompositions en sommes d'entiers :

Un distributeur de billets de banque doit déterminer la (ou les) combinaison(s) de billets disponibles dont la somme correspond à votre demande. Par exemple, si vous demandez 120 €, quelles sont toutes les combinaisons possibles si le distributeur possède des billes de 5, 10, 20 et 50 euros ?

Partition d'un entier naturel :

On peut aussi s'intéresser au nombre maximum de régions que l'on peut tracer sur une surface afin d'en obtenir une partition telle que deux régions quelconques possèdent (au moins une) une frontière commune. Pour le plan ou la sphère, ce nombre correspond au nombre chromatique.

Comme pour la conjecture de Goldbach, ces problèmes d'apparence simple (dans leur exposition) sont très difficiles. Le premier relève de l'analyse complexe, il fut en particulier étudié par Hardy, Ramanujan et Rademacher. Le second relève de la topologie algébrique.

Les trois types de théorie des nombres :


Pour en savoir plus :

  1. La page de Tomas Oliveira e Silva : http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html
  2. La conjecture de Goldbach, par Bruno Martin sur le site Images des mathématiques du CNRS :
    http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Goldbach-1473.html
  3. Un site (en anglais) consacré, entre autres sujets, aux conjectures : http://www.primepuzzles.net/conjectures/
  4. Théorie des partitions et systèmes modulaires par André Blanchard (journées arithmétiques de Grenoble, 1973) :
    http://archive.numdam.org/article/MSMF_1974__37__9_0.pdf
  5. The Goldbach Conjecture par Yuan Wang (en lecture partielle) sur Google Livres :
    https://books.google.fr/books?id=g4jVCgAAQBAJ


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