ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Du Bois-Reymond Paul David Gustav, allemand, 1831-1889

 Paul du Bois-Reymond ne doit pas être confondu avec son frère Emil (1818-1896), physiologiste allemand qui introduisit l'usage de l'électricité dans la physiologie expérimentale.

Peut-être influencé par son frère aîné, Paul du Bois-Reymond commence des études de médecine mais s'oriente finalement vers la physique mathématique qu'il étudie à Königsberg. A Berlin, il soutiendra une thèse (1859) sur l'équilibre des fluides sous la direction de Kummer. Du Bois-Reymond enseigna dans diverses universités allemandes dont Heidelberg et tout, particulièrement, Tübingen (1874-84).

Par ses recherches Du Bois-Reymond est conduit tout naturellement à l'étude d'équations différentielles et aux dérivées partielles, aux équations intégrales (on lui doit d'ailleurs l'appellation) et donc à leurs solutions exprimées sous la forme de séries entières ou trigonométriques. Il s'intéressa au calcul des variations (équation de Euler-Lagrange) et au problème de Sturm-Liouville.

Critère de du Bois-Reymond pour les séries numériques (également dit de Dedekind) :

Soit (an) et (bn) deux suites à termes réels ou complexes. Si la série Σan est convergente et si la série Σ(bn+1- bn) est absolument convergente, alors la série Σanbn est convergente.

  Ces problèmes de convergence amènent Du Bois-Reymond à l'usage d'une notation pratique pour l'équivalence de suites numériques toujours utilisée de nos jours (Annales de Mathématiques pures et appliquées, 1870-71) :

On dit que deux suites (an) et (bn) sont équivalentes si le rapport an/bn admet une limite finie pour n infini. On note alors an ~ bn .

Fonctions équivalentes :  Critère d'Abel , critère de Dirichlet

Problème de du Bois-Reymond :

Après les travaux de Dirichlet sur les conditions de convergence de séries de Fourier, et dans l'étonnement général, du Bois-Reymond exhibe (1876) une fonction numérique pathologique qui, bien que continue, voit sa série de Fourier diverger en 0 (au voisinage duquel elle oscille).

Du Bois-Reymond prouva le résultat suivant :

Toute série trigonométrique qui converge vers une fonction continue est la série de Fourier de cette fonction.

Inversement, le problème fut de savoir à quelle condition la série de Fourier d'une fonction continue converge (au moins) presque partout (elle pourrait diverger en un nombre fini ou dénombrable de points). La réponse ne fut apportée qu'en 1966, par le mathématicien suédois Lennart Carleson, dans l'espace de Hilbert L2 des fonctions de carré intégrable.

Espace L2 et série de Fourier : 

Constantes de du Bois-Reymond :

 Ce sont les nombres Cn définis par :

Le nombre C2 s'exprime en fonction de e = exp(1) :

Pour en savoir plus :


Dedekind  Maxwell
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