ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Chemin optique & miroirs convexes            »  cas concave

Précisons tout d'abord le sens de convexe et concave : vu de l'extérieur, un miroir concave possède un "creux" : du latin concavus, formé sur cum = avec au sens de qui possède, et cavea = cavité. Un miroir convexe est "bombé" (vu de l'extérieur) : du latin convexus. On dit aussi d'un miroir, avec un sens évident qu'il est plan-convexe, biconcave, etc.

 ➔  On remarquera que concave ou convexe n'a guère de sens si on ne précise pas ce qu'est l'intérieur ou l'extérieur de l'objet considéré, une courbe en particulier : un disque est convexe, la surface d'un ballon aussi mais pour ce dernier (objet 3D équivalent à une sphère), une bestiole qui serait dedans verrait sa surface comme concave ! De même pour un cercle (convexe vu de l'extérieur, concave vu de l'intérieur. Pour lever l'ambigüité un domaine Δ sera dit convexe si tout segment d'extrémités A et B choisies dans Δ est entièrement contenu dans Δ.     

La notion de convexité, ensembles, espaces, fonctions :  »

Fermat énonça en son temps que la nature agit toujours par les voies les plus courtes. Il appela cette assertion principe d'économie naturelle. En fait, concernant la lumière, celle-ci utilise un chemin extrémal : minimal (réflexion dans un miroir plan ou convexe par exemple) ou maximal (cas d'un miroir concave).

Une formulation mathématique de ce principe est aujourd'hui le suivant :

Le trajet, noté [AB], passant par un point M, suivi par la lumière entre deux points A et B est celui qui
rend stationnaire (extrémal) l'intégrale curviligne :

où Γ est un chemin d'origine A, d'extrémité B, contenant M, n est l'indice (de réfraction) du milieu, c la vitesse de la lumière, v la vitesse de la lumière dans ce milieu (transparent) considéré : n = c/v. Le trajet [AB] est appelé chemin optique.

Si t est le temps mis par la lumière pour aller de A à B : on a [AB] = vt; la vitesse v étant constante dans le milieu considéré, il suit que si [AB] est stationnaire, alors il en est de même de t.

En partant du principe, appliqué avec succès à la réfraction, que la lumière "faisait en sorte" de minimiser son temps de parcours (principe du moindre temps) et connaissant bien sûr le cas des miroirs concaves, Fermat se trompait et il s'en sortait par une galipette.

» On pourra lire une lettre de Fermat, datée de 1657, à Marin Cureau de la Chambre, conseiller du roi Louis XIII, lequel avait écrit un traité sur la lumière : Oeuvres de Fermat mises en ligne par l'université du Michigan, Tome deuxième, pages 354 et suivantes :  http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR8792.0002.001.

On apprit plus tard, grâce à Huygens, que la lumière est de nature ondulatoire; cette propriété permit de retrouver les lois de la réflexion et de la réfraction.

le chemin optique sur un miroir convexe est minimal : le principe de Fermat est respecté.

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :