ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 VIVIANI Vincenzo,
italien, 1622-1703 |
Ingénieur,
physicien, astronome, disciple de Galilée
(il travailla comme lui sur la chute des corps), Viviani naquit et vécut à
Florence et fut
aussi élève et ami
de
Torricelli.
On lui doit, en particulier, un important traité sur les coniques (1659) basé sur les sections coniques et d'Apollonius de Perge dont il édita la traduction. Viviani traduisit également la physique d'Archimède et les Éléments d'Euclide (1690).
Au lycée ou à l'université, son nom vous est peut-être familier : on lui doit un théorème de géométrie élémentaire utilisé utilisé de nos jours dans les diagrammes statistiques :
Théorème de Viviani :
Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d'un point intérieur au triangle aux trois côtés est égale à sa hauteur.
Avec les notations de la figure ci-dessous, pour tout M intérieur à ABC, on a MI + MJ + MK = AH.
Les figures illustrant ce théorème sont générées au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java
(»
extension CheerpJ
) :
En déplaçant M vous constatez
l'invariance de la somme MI + MJ + MK : elle égale AH .
Vous
pouvez modifier le triangle en déplaçant ses sommets.
∗∗∗ Étude et preuve de ce théorème Conjecture d'Erdös : »
| Courbe (ou fenêtre) de Viviani également évoquée sous la locution problème de la voûte quarrable : |
Ce problème fut posé par Viviani en 1692 à la communauté
mathématique : on considère une voûte hémisphérique et
plus particulièrement le quart de cette voûte. Comment y découper une fenêtre de
sorte que le reste de la surface soit quarrable ?
Par
quarrable, on entend dont l'aire peut s'écrire a2, aire d'un
carré de côté constructible a.
Wallis donna la solution de ce
problème, intersection d'un cylindre et d'une sphère faisant apparaître une
sorte de lemniscate :
Ci-dessus, la courbe de Viviani
empruntée à Roger Assouly, avec son aimable autorisation
sur son site
Courbes et
surfaces mathématiques.
Recherchons, au moyen des coordonnées sphériques, l'équation de la courbe de Viviani (en rouge ci-dessous), frontière de la fenêtre du même nom (en bleu ci-contre), intersection de la sphère de centre O, de rayon R et du cylindre d'axe vertical de rayon R/2 centré sur (Ox) :
Les équations de la sphère et du cylindre peuvent s'écrire respectivement x2 + y2 + z2 = R2 et x2 + y2 - Rx = 0, z réel. Un point M(x,y,z) de la courbe qui se projette en H sur le plan horizontal (Ox,Oy) vérifie donc :
OH2 = x2 + y2 = Rx
Or, x = OH × cosθ. Par suite x2 = OH2cos2θ = Rxcos2θ. Et comme x est non nul : x = Rcos2θ. Mais on sait que x = Rcosθcosφ. Par conséquent : cosθ = cosφ, soit dans [0,π/2] : θ = φ.
Ainsi, l'équation en coordonnées sphériques de notre courbe (restreinte à x et y positifs).
r = R (constant : rayon de la sphère)
θ = φ sur l'intervalle [0,π/2]
et une équation paramétrique sera alors :
x = Rcos2θ , y = Rsinθcosθ , z = Rsinθ
Étude du problème et de la courbe : »
Pascal