ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Petit théorème de Fermat             « grand » théorème

Si p est un entier naturel premier alors, pour tout entier a, l'entier a p aura même reste que a
dans la division euclidienne par p

 On peut aussi énoncer que ap - a est divisible par p ou que ap a  [p] en utilisant le concept de congruence (notation ) mis en place par Gauss. Rappelons ici que la réciproque de ce théorème est fausse, par exemple : 2341 2  [341] et pourtant 341 = 11 x 31 n'est pas premier.

  • si a est un multiple de p (0 compris), le cas est trivial : ap - a est divisible par p.

  • si a n'est pas multiple de p, la liste des restes possibles de la division de a par p est :

1 , 2 , 3, ..., (p - 1)

0 est exclu car p ne divise pas a. Étudions alors la liste de produits a , 2a , 3a , ... (p - 1)a, obtenue en multipliant tous les restes par a. Tous ces nombres sont distincts et non nuls et il en est de même modulo p. En effet, un élément de la liste est de la forme :

k x a  avec 1 k p -1

En conséquence, la liste a , 2a , 3a , ... (p - 1) constitue encore, modulo p et dans un ordre sans doute différent, la liste 1 , 2 , 3, ..., (p - 1). On peut alors écrire, modulo p :

a x 2a x 3a x ... x (p - 1)a   1 x 2 x 3 x ... x (p - 1)

Ce qui s'écrit finalement : ap-1 x (p - 1)! (p - 1)!  [p]. Mais (p - 1)! n'est pas nul modulo p, puisque c'est le produit de p - 1 éléments non nuls de l'anneau intègre Z/pZ. Par suite :

ap-1 1  [p] , ou encore ap a  [p] 

Théorème de Wilson :


© Serge Mehl - www.chronomath.com