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Preuve du "petit" théorème de Fermat             « grand » théorème

Les trois preuves ci-dessous sont (très) largement inspirées de celles de Robert Carmichael (1879-1967) dans son traité The Theory of numbers, Ch. 4, §23 et §24, pages 52 et suivantes de la pagination pdf.

Méthode 1 :   

Au §23 de son traité, Carmichael démontre en fait un théorème dû à Euler : si m et a sont des entiers naturels premiers entre eux, alors aφ(m) 1  [m], où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler (totient). Le développement ci-dessous est calqué sur sa démarche.

Rappelons le "petit" théorème de Fermat :

Si p est un entier naturel premier alors, pour tout entier a, l'entier a p aura même reste
que a dans la division euclidienne par p

 En utilisant le concept de congruence (notation ) mis en place par Gauss, on peut aussi énoncer que :

ap a  [p]

Rappelons ici que la réciproque de ce théorème est fausse, par exemple : 2341 2  [341] et pourtant 341 = 11 x 31 n'est pas premier.

1 , 2 , 3, ..., (p - 1)

0 est exclu car p ne divise pas a. Étudions alors la liste de produits a , 2a , 3a , ... (p - 1)a, obtenue en multipliant tous les restes par a. Tous ces nombres k x a, 1 k p -1, sont distincts et non nuls et il en est de même modulo p. En effet :

En conséquence, la liste a , 2a , 3a , ... (p - 1)a constitue encore, modulo p et dans un ordre sans doute différent, la liste 1 , 2 , 3, ..., (p - 1). On peut alors écrire, modulo p :

a 2a 3a ... (p - 1)a 1 2 3 ... (p - 1)

Ce qui peut s'écrire finalement :

ap-1 (p - 1)! (p - 1)!  [p]

Mais (p - 1)! n'est pas nul modulo p, puisque c'est le produit de p - 1 éléments non nuls de l'anneau intègre Z/pZ. Par suite :

ap-1 1  [p] , ou encore ap a  [p] 

  Attention, on peut multiplier une congruence par un entier mais, généralement, pas la diviser ap   a  [p] n'implique généralement pas ap-1 1  [p], cela est vrai dans ce cas puisque p étant premier et ne divisant pas a, a et p sont premiers entre eux. Congruences.

Comme évoqué au début de cette page, on remarque que p étant premier, ap-1 1  [p] peut s'écrire au moyen du totient d'Euler : aφ(p) 1  [p].

Méthode 2 :   

Soit à démontrer que si p est premier et p ne divise pas a, alors ap a  [p]. En développant (a + 1)p selon la formule du binôme, les combinaisons du développement sont des multiples de p à l'exception des termes de degré 0 et p. D'où (a + 1)p ap + 1 [p] et, par suite,  (a + 1)p - (a + 1) ≡ ap - a [p]. Ce résultat indique une récurrence portant sur a : lorsque a = 1, on a ap - a = 0 divisible par p, donc (1 + 1)p - (1 + 1) = 2p - 2  est divisible par p, ou, si l'on préfère 2p ≡ 2 [p] et, par récurrence : ap ≡ a [p].

Méthode 3 :   

Et on peut faire plus court comme l'écrit Carmichael : a, non nul, étant donné dans N, quels que soient les entiers α1, α2, ... , αa, on a clairement :

1 + α2 + ... + αa)p ≡ α1p + α2p + ... + αap  [p] 

Lorsque les αi sont tous égaux à 1, vous obtenez (1 + 1 + ... + 1)p ≡ 1p + 1p + ... + 1p  [p] , soit ap ≡ a [p] ou, si l'on préfère, puisque p étant premier et ne divisant pas a, a et p sont premiers entre eux : ap-1 1  [p].   Congruences.

Nombres de Carmichael :


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