ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Preuve du "petit" théorème de Fermat             » « grand » théorème

» Les trois preuves ci-dessous sont (très) largement inspirées de celles de Robert Carmichael (1879-1967) dans son traité The Theory of numbers, Ch. 4, §23 et §24, pages 52 et suivantes de la pagination pdf.

Méthode 1 :   

Au §23 de son traité, Carmichael démontre en fait un théorème dû à Euler : si m et a sont des entiers naturels premiers entre eux, alors a^φ(m) ≡ 1  [m], où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler (totient). Le développement ci-dessous est calqué sur sa démarche.

Rappelons le "petit" théorème de Fermat :

Si p est un entier naturel premier alors, pour tout entier a, l'entier a ^p aura même reste
que a dans la division euclidienne par p

 En utilisant le concept de congruence (notation ≡) mis en place par Gauss, on peut aussi énoncer que :

a^p ≡ a  [p]

 !   Rappelons ici que la réciproque de ce théorème est fausse, par exemple : 2³⁴¹ ≡ 2  [341] et pourtant 341 = 11 x 31 n'est pas premier.

• si a est un multiple de p (0 compris), le cas est trivial : a^p - a est divisible par p.

• si a n'est pas multiple de p, la liste des restes possibles de la division de a par p est :

0 est exclu car p ne divise pas a. Étudions alors la liste de produits a , 2a , 3a , ... (p - 1)a, obtenue en multipliant tous les restes par a. Tous ces nombres k x a, 1 ≤ k ≤ p -1, sont distincts et non nuls et il en est de même modulo p. En effet :

• ka n'est pas divisible par p : sinon, p étant premier, il est premier avec tout nombre lui étant inférieur. Ainsi p est premier avec k et il devrait diviser a (usage anachronique d'un théorème de Gauss bien connu des Ter S, spé Math...), ce qui est contraire à notre hypothèse.
  

• si k et k' sont distincts, alors ka et k'a le sont aussi modulo p : plaçons-nous dans Z/pZ, et supposons au contraire ka ≡ k'a  [p]. On a alors a(k - k') ≡ 0  [p]; or Z/pZ est un anneau intègre puisque p est premier. Par suite a ≡ 0  [p] ou k - k' ≡ 0  [p]. Ces deux éventualités sont à rejeter car d'une part a n'est pas multiple de p, d'autre part k et k ' représentent des restes distincts dans la division par p.

En conséquence, la liste a , 2a , 3a , ... (p - 1)a constitue encore, modulo p et dans un ordre sans doute différent, la liste 1 , 2 , 3, ..., (p - 1). On peut alors écrire, modulo p :

a × 2a × 3a × ... × (p - 1)a ≡ 1 × 2 × 3 × ... × (p - 1)

Ce qui peut s'écrire finalement :

a^p-1 × (p - 1)! ≡ (p - 1)!  [p]

Mais (p - 1)! n'est pas nul modulo p, puisque c'est le produit de p - 1 éléments non nuls de l'anneau intègre Z/pZ. Par suite :

 !   Attention, on peut multiplier une congruence par un entier mais, généralement, pas la diviser a^p ≡  a  [p] n'implique généralement pas a^p-1 ≡ 1  [p], cela est vrai dans ce cas puisque p étant premier et ne divisant pas a, a et p sont premiers entre eux. » Congruences.

 ➔   Comme évoqué au début de cette page, on remarque que p étant premier, a^p-1 ≡ 1  [p] peut s'écrire au moyen du totient d'Euler : a^φ(p) ≡ 1  [p].

Méthode 2 :   

Soit à démontrer que si p est premier et p ne divise pas a, alors a^p ≡ a  [p]. En développant (a + 1)^p selon la formule du binôme, les combinaisons du développement sont des multiples de p à l'exception des termes de degré 0 et p. D'où (a + 1)^p ≡ a^p + 1 [p] et, par suite,  (a + 1)^p - (a + 1) ≡ a^p - a [p]. Ce résultat indique une récurrence portant sur a : lorsque a = 1, on a a^p - a = 0 divisible par p, donc (1 + 1)^p - (1 + 1) = 2^p - 2  est divisible par p, ou, si l'on préfère 2^p ≡ 2 [p] et, par récurrence : a^p ≡ a [p].

Méthode 3 :   

Et on peut faire plus court comme l'écrit Carmichael : a, non nul, étant donné dans N, quels que soient les entiers α₁, α₂, ... , α_a, on a clairement :

(α₁ + α₂ + ... + α_a)^p ≡ α₁^p + α₂^p + ... + α_a^p  [p] 

Lorsque les α_i sont tous égaux à 1, vous obtenez (1 + 1 + ... + 1)^p ≡ 1^p + 1^p + ... + 1^p  [p] , soit a^p ≡ a [p] ou, si l'on préfère, puisque p étant premier et ne divisant pas a, a et p sont premiers entre eux : a^p-1 ≡ 1  [p].  » Congruences.